注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡指定位置上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知復數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由共軛復數(shù)的概念得，進而根據(jù)復數(shù)的乘法運算可得.
【詳解】由可得，
故，
故選：C
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合求出集合，再求出，最后根據(jù)補集的定義求出.
【詳解】已知，集合.
當時，兩邊同時立方可得；
當時，兩邊同時立方可得；
當時，兩邊同時立方可得；
當時，兩邊同時立方可得；
當時，兩邊同時立方可得.
所以. 所以.
因為，，所以.
故選：B.
3. 為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有點（ ）
A. 向左平移個單位B. 向右平移個單位
C. 向左平移個單位D. 向右平移個單位
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的圖象變換判斷即得.
【詳解】函數(shù)，
因此把函數(shù)圖象上的所有點向左平移個單位得到函數(shù)的圖象.
故選：C
4. 下列散點圖中，線性相關系數(shù)最小的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用散點圖變化趨勢，判斷相關系數(shù)的正負，由散點的集中程度確定大小，即可得到答案．
【詳解】觀察選項A的散點圖，這些點緊密地聚集在一條直線附近.其線性相關系數(shù)接近于；
選項B的散點圖中，線性負相關程度不及A，比較分散，即線性相關系數(shù)要比選項A的大.
選項C的散點圖里，散點呈現(xiàn)出一定的上升趨勢，變量和之間具有強的線性相關關系，其線性相關系數(shù)為正數(shù).
選項D的散點圖中，散點比較分散，線性相關程度比選項A要弱，線性相關系數(shù)的比選項A的大.
綜合比較四個選項，選項A，線性負相關程度最強，所以線性相關系數(shù)最小.
故選：A.
5. 生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù)，生物豐富度指數(shù)越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由變?yōu)椋?，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】結合題意，利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意得，，
由，可得，
所以.
故選：.
6. 設直線，點，已知點到的距離與它到的距離之比為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設點，根據(jù)條件計算可得點的軌跡是以原點為中心，焦點在軸上的橢圓，結合橢圓定義可得結果.
【詳解】設點，則點到的距離，，
由得，，
∴點的軌跡是以原點為中心，焦點在軸上的橢圓，其中，
根據(jù)橢圓定義得，.
故選：D.
7. 已知函數(shù)，若對，且，都有，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知及單調(diào)性定義知在上單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性有在上單調(diào)遞減，結合二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設，，且，都有，
所以在上單調(diào)遞減，易知在上單調(diào)遞減，
當時，滿足題設，
當時，或，
綜上，.
故選：A
8. 已知是與的等比中項，直線與圓交于兩點，則的最大值為（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由題意，，圓心到直線的距離為，利用圓的弦長公式得，換元后利用基本不等式求最值即可.
【詳解】
因是與的等比中項，故，，
圓的圓心坐標為，半徑，
設圓心到直線的距離為，則，
則，
設，
則，
當且僅當時等號成立，
故選：B
【點睛】關鍵點睛：本題解題關鍵是巧妙變形得到，進而巧妙換元結合基本不等式求最值.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設向量，則（ ）
A. 是⊥的充分條件B. 是⊥的必要條件
C. 是的必要條件D. 是的充分條件
【答案】AC
【解析】
【分析】AB選項，由得到方程，求出或，A正確，B錯誤；CD選項，根據(jù)向量平行得到方程，求出或，C正確，D錯誤.
【詳解】AB選項，，解得或，
故是⊥的充分條件，A正確，B錯誤；
CD選項，令，解得或，
故是的必要條件，C正確，D錯誤.
故選：AC
10. 設為三個平面，且，則（ ）
A. 若∥，則∥
B. 若∥，則∥
C. 若，則
D. 若與所成的角相等，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】對于A：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理分析判斷；對于B：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理分析判斷；對于C：根據(jù)面面垂直、線面平行的性質(zhì)定理分析判斷；對于D：舉反例說明即可.
【詳解】對于選項A：因為∥，，
根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得：∥，故A正確；
對于選項B：因為∥，，，由線面平行的性質(zhì)定理可得∥，
同理可得∥，所以∥，故B正確；
對于選項C：因為，則存在，使得，
又因為，則∥，且，，
可得∥，所以，故C正確；
對于選項D：例如正四面體，
根據(jù)對稱性可知平面與平面、平面所成的角相等，
且平面平面，但與平面不垂直，故D錯誤；
故選：ABC.
11. 設，已知函數(shù)（ ）
A. 在上單調(diào)遞減
B. 當時，存在最小值
C. 設，則
D. 設，若存在最小值，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A：取，畫圖即可判斷，對于B，由函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對于C,數(shù)形結合即可判斷，對于D：先分析的圖象，結合圖象可知，要使取得最小值，則點在上，點在，分析可解.
【詳解】對于A，取，畫出函數(shù)圖象，
可知在不是單調(diào)遞減；故A錯誤；
對于B：對于B，當時，
當時，；
當時，顯然取得最小值；
當時，，
綜上：取得最小值，故B正確；
對于C，結合圖像，
易知在，且接近于處，距離最小，
當時，，當且接近于處，，
此時，，故C正確；
依題意，，
當時，，易知其圖象為一條端點取不到的單調(diào)遞減的射線；
當時，，易知其圖象是，圓心為，半徑為的圓在軸下方的圖象（即半圓）；
當時，，易知其圖象是一條端點取不到的單調(diào)遞增的曲線；
因為，
結合圖象可知，要使取得最小值，則點在上，
點在，
同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，
此時，因為斜率為，則，
故直線的方程為，
聯(lián)立，解得，則，
顯然要保證在上，才能滿足取得最小值，
所以只需，即都可滿足題意，保證，
否則無最小值，故.D正確；
故選：BCD
【點睛】關鍵點點睛：D選項，解決的關鍵求出，且上，從而可得的取值范圍.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知甲、乙兩人投籃命中率分別為，并且他們投籃互不影響現(xiàn)，每人投籃2次，則甲比乙進球數(shù)多的概率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】甲比乙進球數(shù)多包含以下三種情況：①甲進1球，乙進0球，②甲進2球，乙進1球，③甲進2球，乙進0球，由此能求出甲比乙進球數(shù)多的概率．
【詳解】甲、乙兩人投籃命中率分別為和，并且他們投籃互不影響．現(xiàn)每人分別投籃2次，
甲比乙進球數(shù)多包含以下兩種情況：
①甲進1球，乙進0球，概率為：，
②甲進2球，乙進1球，概率為：，
③甲進2球，乙進0球，概率為：
甲比乙進球數(shù)多的概率．
故答案為：
13. 已知雙曲線的半焦距為，直線過點且與的一條漸近線平行，若原點到的距離為，則的離心率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由點到線的距離公式及求解即可；
【詳解】易知雙曲線漸近線方程為：，
故可設方程為：，即，
由題意可得：，
所以，即，
化簡可得：，
可得：或
又，所以，
所以，可得，
故答案為：
14. 已知函數(shù)，若，則的最小值為__________.
【答案】1
【解析】
【分析】求出函數(shù)的零點，再根據(jù)得到與的關系，最后利用函數(shù)性質(zhì)求出的最小值.
【詳解】令，則或.
由可得；由，即（），可得.
所以函數(shù)的零點為和.
因為恒成立，所以，即.
將代入，可得.
設（），對求導，可得.
令，即，因為，所以，解得.
當時，，，則，所以在上單調(diào)遞減；
當時，，，則，所以在上單調(diào)遞增.
所以在處取得極小值，也是最小值，，即的最小值為.
故答案為：1
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在中，角所對的邊分別為，已知.
（1）求；
（2）已知是邊上的點，，求的最小值.
【答案】（1）
（2）最小值為9
【解析】
【分析】（1）先應用正弦定理角化邊，再結合余弦定理求解即可；
（2）先根據(jù)面積公式列式得出，最后應用基本不等式計算求解最小值即可.
【小問1詳解】
因為，
所以，
即，
可得，
因為，所以.
【小問2詳解】
由可得，
即，
可得，
所以，
當且僅當時等號成立，
所以的最小值為9.
16. 現(xiàn)有4種類別的圖書共7本，其中有2本數(shù)理科學類，3本中外文學類，政治法律類，醫(yī)藥衛(wèi)生類各1本.
（1）把7本圖書隨機擺成一排，求數(shù)理科學類的圖書相鄰，中外文學類的圖書互不相鄰的概率；
（2）從7本圖書中隨機抽取4本，設4本圖書所屬的類別數(shù)為，求的分布列及期望.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，期望為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相鄰、不相鄰問題的處理方法可得結果.
（2）分析得的可能取值為，計算對應的概率可得結果.
【小問1詳解】
記事件：數(shù)理科學類的圖書相鄰，中外文學類的圖書互不相鄰，
則.
【小問2詳解】
的可能取值為，
，
，
，
∴的分布列為
∴.
17. 如圖，在以為頂點的多面體中，平面平面，為的中點

（1）證明：平面；
（2）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成角的大小為.若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1） 先得出平行四邊形得出線線平行，再應用線面平行判定定理證明即可；
（2）先應用面面垂直性質(zhì)定理建系，再設，計算線面角即可求參.
【小問1詳解】
連接交于點，連接，
因為，所以四邊形為平行四邊形，
所以為的中點，
又因為為的中點，
所以，
因為平面平面，
所以平面
【小問2詳解】
因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，
以為坐標原點，在平面內(nèi)，以過點垂直于的方向為軸正方向，
以的方向分別為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
所以，
設平面的一個法向量為，
則，可得，
令，則，
假設在棱上存在一點，使得直線與平而所成角的大小為，
設，
因為，則，
又因為，所以，
則，
化簡得，解得，
因為，所以，
所以在棱上存在一點，使得直線與平面所成角的大小為，
此時.
18. 已知函數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）是否存在，使得曲線關于直線對稱.若存在，求的值；若不存在，請說明理由；
（3）當時，，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）存在，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求導函數(shù)再得出斜率，點斜式寫出切線方程即可；
（2）先根據(jù)定義域得出，再根據(jù)對稱性定義計算求解得出參數(shù)；
（3）法1：分，等情況分類求解導函數(shù)得出單調(diào)性計算求參；法2：先化簡再構造函數(shù)進而結合導函數(shù)討論單調(diào)性計算求解.
【小問1詳解】
當時，，，
則，所以，
可得曲線在點處的切線方程為，
即.
【小問2詳解】
令，
所以的定義域為，
若曲線關于直線對稱，
所以的定義域關于對稱，故，
則有，
所以，
即，
整理得，所以，
故存在，使曲線關于直線對稱.
【小問3詳解】
法1：由題，即，
當時，，
所以即，
令，則，
若，所以，所以不滿足題意；
若，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，可得，
所以不滿足題意；
若，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以滿足題意；
當時，，可得，
所以即，
令，則，
由，所以當時，，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以不滿足題意，
綜上所述，的取值范圍為.
法2：因為，所以即，
設，則，
設，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，
可得，所以在上單調(diào)遞減，可得，
所以不滿足題意，
當時，由得，
若，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，
可得，所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以不滿足題意，
若，則，所以在上單調(diào)遞增，
可得，所以在上單調(diào)遞增，
可得，所以滿足題意，
綜上所述，的取值范圍為.
19. 已知拋物線，點在上，為常數(shù)，，按如下方式依次構造點，過點作軸的垂線交于點，過且斜率為的直線與的另一個交點為.記的坐標為.
（1）當時，求；
（2）設，證明：數(shù)列等差數(shù)列；
（3）設為的面積，證明：為定值.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由點在可得，根據(jù)直線的方程聯(lián)立拋物線方程可得；
（2）由點差法可得，得，進而確定，可得，進而可得，即得，即證；
（3）由，由點差法可，
進而可得直線的斜率為，可得，由直線的方程為，可得到直線的距離為，進而，即證.
【小問1詳解】

因為點在上，所以，解得，
由題意知的坐標為，直線的方程為：，
由，整理得，解得.
【小問2詳解】
法一：由題意知的坐標為，
所以，又，
兩式相減得，即，
由題意知，可得，
所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，可得，
所以，
可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列.
法二：
由題意知的坐標為，
所以直線的方程為，
由，可得，
由題意知是直線與的公共點，所以，
所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，可得，
所以，
所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列.
【小問3詳解】
法一：的三個頂點為，
因為，兩式相減得，即，
所以直線的斜率為，
可得，
直線的方程為，
即，
設到直線的距離為，則
所以，
所以為定值.
法2：
的三個頂點為，
可得，
，
所以
，
所以為定值.
法3：
要證為定值，只需證，
即證與面積相等，
因為，兩式相減得，
即，
所以直線的斜率為，
同理可得直線的斜率為
所以，可得點到直線的距離相等，
所以，即為定值.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問關鍵能用點差法得到，進而，確定是等差數(shù)列，可得，進而依次得到，，；第三問由，可得和直線的方程為，進而得到直線的距離，進而，即證.
2
3
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