2022—2023學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平檢測高一數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁，22題，全卷滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂層. 如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上. 寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（   ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求得，根據(jù)虛部定義求得結(jié)果.【詳解】 ，∴z的虛部為：2故選：A2. 已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)t的值為（   ）A. 0 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列式求值.【詳解】，且，由題意可知，，得.故選：D3. 如圖所示，在三棱臺中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（   ）A. 三棱錐 B. 四棱錐C. 三棱柱 D. 三棱臺【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形和棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征，即可得出結(jié)論．【詳解】三棱臺中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點(diǎn)，四邊形為底面的四棱錐．故選：B．4. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則（   ）A. 1 B.  C. 3 D. 1或3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理，，即，，解得.故選：C5. 已知，，復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，，，若，，三點(diǎn)共線，則的最小值為（   ）A. 9 B. 8 C. 6 D. 4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)共線可得，利用均值不等式求解即可.詳解】由題意，，，，由三點(diǎn)共線可得，，化簡可得，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：B6. 在矩形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，若，則（   ）A.  B. 1 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出的坐標(biāo)，利用可得答案.【詳解】以為原點(diǎn)，分別以為軸的正半軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，因?yàn)?/span>，可得，即，解之得，所以.故選：D.7. 在中，CD為角C的平分線，若，，則等于（   ）A. 0 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由為角的平分線，，可得，設(shè)，，然后在中利用正弦定理可得，化簡計(jì)算可得答案【詳解】因?yàn)?/span>為角的平分線，所以因?yàn)?/span>，所以所以不妨設(shè)，因?yàn)樵?/span>中，，所以因?yàn)樵?/span>中，， 所以所以.故選：C8. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍為（   ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)，中點(diǎn)為，化簡可得，再根據(jù)余弦定理結(jié)合余弦函數(shù)的范圍可得，進(jìn)而可得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，中點(diǎn)為，則即，故，即，.故，因?yàn)?/span>，故，則，故，故的取值范圍為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題. 每小題5分，共20分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9. 若復(fù)數(shù)滿足，則（   ）A. B. 是純虛數(shù)C. D. 若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則【答案】ACD【解析】【分析】對A，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解，再求共軛復(fù)數(shù)即可；對B，求得判斷即可；對C，根據(jù)模長公式求解即可；對D，根據(jù)復(fù)數(shù)域中二次方程兩根共軛與韋達(dá)定理求解即可.【詳解】對A，，則，故，A正確；對B，不為純虛數(shù)，故B錯誤；對C，，，故C正確；對D，由題意，的復(fù)數(shù)根分別為與，故，故D正確；故選：ACD10. 下列說法正確的是（   ）A. 向量，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B. 已知中，點(diǎn)P為邊AB的中點(diǎn)，則必有C. 若，則P是的垂心D. 若G是的重心，則點(diǎn)G滿足條件【答案】BC【解析】【分析】對A，根據(jù)基底向量不共線判斷即可；對B，根據(jù)基底向量的運(yùn)用判斷即可；對C，化簡可得，進(jìn)而根據(jù)垂心的性質(zhì)判斷即可；對D，由重心可得，即可判斷【詳解】對A，，故共線，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故A錯誤；對B，根據(jù)平面向量基本定理可得中，點(diǎn)P為邊AB的中點(diǎn)，則必有，故B正確；對C，由可得，即，故，同理，，故P是的垂心，故C正確；對D，若G是的重心，則點(diǎn)G滿足條件，則，故D錯誤；故選：BC11. 已知，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（   ）A. 若，則為等腰三角形B. 若，則為等腰或直角三角形C. 若為銳角三角形，若，則D. 若，，，則有兩解【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得或判斷A，由正弦定理及正切函數(shù)性質(zhì)判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性判斷C，由已知兩邊及一邊對角確定三角形個數(shù)判斷方法判斷D.【詳解】， ，或，即或，故A錯誤；，，即，由知，故為等腰三角形，故B錯誤；為銳角三角形，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性知，故C正確；，，，，故有兩解，故D正確.故選：CD12. 已知函數(shù)在上單調(diào)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（   ）A. 的周期為B. 若，則C. 將的圖象向右平移個單位長度后對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)D. 函數(shù)在上有1個零點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據(jù)題意確定周期范圍，再根據(jù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱中心求解即可；對于B，由A，結(jié)合余弦函數(shù)的最值與周期性質(zhì)判斷即可；對于C，根據(jù)三角函數(shù)平移性質(zhì)判斷即可；對于D，根據(jù)余弦函數(shù)值直接求解即可.【詳解】對于A，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，所以的最小正周期T滿足，即，所以，因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，得，所以當(dāng)時，，所以，故A錯誤；對于B，，，則分別為，則為半周期，即，故B正確；對于C，將的圖象向右平移個單位長度后得的圖象，為奇函數(shù)，故C正確；對于D，，即，令，當(dāng)時，，故僅有，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 如圖所示，等腰直角三角形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的周長為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法可得原圖形三邊長，進(jìn)而可得周長.【詳解】由題意，，則，故原圖形中，，，周長為.故答案為：14. 已知向量，滿足，，，則向量，的夾角為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，，得到，解得答案.【詳解】設(shè)與的夾角為，，則，解得，，故.故答案為：15 化簡：  ________.【答案】－1【解析】【詳解】原式)(.故答案為 【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)有：先切化弦，再通分；利用輔助角公式化簡；同角互化.16. 某公園有一個人工湖，若要測量如圖所示的人工湖的口徑A、B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在人工湖岸邊取C、D兩點(diǎn)，測得m，，，，則A、B兩點(diǎn)的距離為__________m.【答案】【解析】【分析】中根據(jù)角度關(guān)系易得，再在中，由正弦定理得到BD，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】在中，因?yàn)?/span>，故，，所以，則．在中，因?yàn)?/span>，所以由正弦定理，得．在中，因?yàn)?/span>，所以由余弦定理得，故m．故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知，都是銳角，， .（1）求和的值；（2）求的值.【答案】（1）,    （2）【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角的正余弦公式求解；（2）根據(jù)角的變換，利用兩角差的正弦公式求解.【小問1詳解】是銳角，，，，，，.【小問2詳解】，都是銳角，，又，，.18. 已知半圓圓心為O，直徑，C為半圓弧上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，若P為半徑OC上的動點(diǎn)，以O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.（1）求在上投影向量的坐標(biāo)；（2）若，當(dāng)y取得最小值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及y的最小值.【答案】（1）    （2）最小值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）先求解在上投影向量大小，進(jìn)而可得投影向量坐標(biāo)；（2）設(shè)，即可表示出、，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【小問1詳解】因?yàn)榘雸A的直徑，所以，， 又，，則，即．故，，在上投影為，故在上投影向量的坐標(biāo)為【小問2詳解】設(shè)，                        由（1）知，，故，   ∴， 又∵，∴當(dāng)時，有最小值為，      此時點(diǎn)的坐標(biāo)為19. 在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，.（1）若點(diǎn)A位于第四象限，求m的取值范圍；（2）若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（3）若，且，求的取值范圍.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)確定實(shí)部、虛部的符號，列不等式組求解；（2）根據(jù)對稱確定點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)，再由向量對應(yīng)復(fù)數(shù)即為兩點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)之差得解；（3）由復(fù)數(shù)相等列出方程組，消參數(shù)可得的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)值域，配方求值域即可.【小問1詳解】由題意對應(yīng)點(diǎn)A位于第四象限，故，解得，即m的取值范圍.小問2詳解】點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，【小問3詳解】，，即，由，可知，故的取值范圍為.20. 在①；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且__________.（1）求角C；（2）若的內(nèi)切圓半徑，，求的外接圓半徑R.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）選擇①根據(jù)兩角和的正切公式化簡可得角，選擇②根據(jù)余弦定理化簡，再根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換求解即可，選擇③由正弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解；（2）由余弦定理及三角形面積公式聯(lián)立求解可得，進(jìn)而根據(jù)正弦定理求解即可.【小問1詳解】選擇①：由已知得，所以，在中，，所以．選擇②：由題意，故，由正弦定理，即，又，故，因?yàn)?/span>，故選擇③：由已知及正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以．【小問2詳解】由余弦定理得，①由等面積公式得．即．整理得，②聯(lián)立①②，解得，由正弦定理，即21 已知向量，，記函數(shù).（1）將化為形式，并求最小正周期T；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（3）將函數(shù)圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到的圖象，若在區(qū)間上至少有100個最大值，求a的取值范圍.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積坐標(biāo)公式及三角恒等變換化簡即可得解；（2）根據(jù)自變量的范圍求出的范圍，利用正弦函數(shù)求解；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求出,利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得.【小問1詳解】,【小問2詳解】當(dāng)時，，，，即函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.【小問3詳解】將函數(shù)圖象向右平移個單位，得到，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到的圖象,令，要使在區(qū)間上至少有100個最大值，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，.22. 對于函數(shù)，若存在非零常數(shù)M，使得對任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“M函數(shù)”；對于函數(shù)，若存在非零常數(shù)M，使得對任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“嚴(yán)格M函數(shù)”.（1）求證：，是“M函數(shù)”；（2）若函數(shù)，是“函數(shù)”，求k的取值范圍；（3）對于定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)對任意的正實(shí)數(shù)M，均是“嚴(yán)格M函數(shù)”，若，求實(shí)數(shù)a的最小值.【答案】（1）證明見解析    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“M函數(shù)”的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性，取證明即可；（2）由題意恒成立，化簡可得，進(jìn)而由余弦函數(shù)的最值求解即可；（3）由題意可得在R上為減函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性求解不等式可得，換元令，再根據(jù)同角三角函數(shù)的公式求解的最大值即可.【小問1詳解】取，則，此時對任意的，都有成立，故是“函數(shù)”.【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，是“函數(shù)”，故恒成立，即，即恒成立.又，故，，即k的取值范圍為【小問3詳解】由題意，對任意的，對任意的正實(shí)數(shù)M，都有成立，故在R上為減函數(shù)，又，故，易得，可令，則，即，故實(shí)數(shù)a的最小值為
 
 

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