一線三等角概念
“一線三等角”是一個(gè)常見的相似模型，指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。不同地區(qū)對(duì)此有不同的稱呼，“K 形圖”，“三垂直”，“弦圖”等，以下稱為“一線三等角”。
“一線三等角”的兩種基本類型
三等角都在直線的同側(cè)


2.三等角分居直線的兩側(cè)
3.在初三各學(xué)校的考試和中考試題中，一線三等角的相似屬于壓軸題的熱點(diǎn)題型之一，本專題從中考試題和初三各名校的試題中，精選一線三等角相似模型的經(jīng)典好體，并根據(jù)角度區(qū)別把一線三等角模型細(xì)分為三類題型：三垂直模型、一線三銳角、一線三鈍角，適合于初三學(xué)生進(jìn)行壓軸題專項(xiàng)突破時(shí)使用。
類型一：三垂直模型
1.（雅禮）如圖，點(diǎn)是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作，使，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在雙曲線上移動(dòng)，則的值為 .

【解答】解：過A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝（x＜0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在雙曲線y＝上移動(dòng)，∴S△AOC＝×|﹣8|＝4，S△BOD＝|k|，∵OB⊥OA，
∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，
∴△AOC∽△OBD，∵OA＝2OB，∴＝（）2＝，∴＝，∴|k|＝2．
∴k＜0，∴k＝﹣2，故答案為：﹣2．
2.（青竹湖）如圖，，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且軸，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交雙曲線于另一點(diǎn)，則的面積為 .

【解答】解：∵反比例函數(shù) 的圖象過點(diǎn)A（﹣1，a），∴a＝﹣＝4，
∴A（﹣1，4），過A作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，∴AE＝4，OE＝1，∵AB∥x軸，∴BF＝4，
∵∠AOB＝90°，∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，∴∠EAO＝∠BOF，∴△AEO∽△OFB，
∴＝，∴OF＝16，∴B（16，4），∴k＝16×4＝64，∵直線OA過A（﹣1，4），
∴直線AO的解析式為y＝﹣4x，∵M(jìn)N∥OA，∴設(shè)直線MN的解析式為y＝﹣4x+b，∴4＝﹣4×16+b，
∴b＝68，∴直線MN的解析式為y＝﹣4x+68，∵直線MN交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，
∴M（17，0），N（0，68），解得，或，∴C（1，64），
∴△OBC的面積＝S△OMN﹣S△OCN﹣S△OBM＝﹣﹣＝510，
故答案為510．
3．（廣益）如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，OA⊥AB，則k的值為 ．
【解答】解：過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥AM于N，∵∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAN＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BAN＝∠AOM，∴△AOM∽△BAN，∴＝，
∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，∴A（2，），B（k，1），∴OM＝2，AM＝，AN＝﹣1，BN＝k﹣2，∴＝，解得k1＝2（舍去），k2＝8，
∴k的值為8，故答案為：8．
4．（長沙中考2020）在矩形ABCD中，E為上的一點(diǎn)，把沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．
（1）求證：
（2）若，求EC的長；
（3）若，記，求的值．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE是△ADE翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE，∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，∴AF=AD=4，∴BF=，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得△ABF∽△FCE，∴，∴，∴EC=．
（3）解：由（1）得△ABF∽△FCE，∴∠CEF=∠BAF=，∴tan+tan=，
設(shè)CE=1，DE=x，∵，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，∴，∴，∴，∴，
∴，∴x2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，CF=，EF=x=2，
AF= AD==，∴tan+tan==．
5.（廣益）矩形中，，，將矩形折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．
（1）如圖1，若點(diǎn)恰好在邊上．
①求證：△∽△；②求的長；
（2）如圖2，若是的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，求的長．

圖1 圖2
【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠BEP＝90°，
由折疊知，∠DPE＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠CPD＝90°，∴∠BEP＝∠CPD，∵∠B＝∠C＝90°，
∴△EBP∽△PCD；
②∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝12，由折疊知，PE＝AE，DP＝
AD＝12，在Rt△DPC中，CP＝＝4，∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP2，∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）2，∴AE＝18﹣6；
（2）如圖，過點(diǎn)P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．則四邊形AGHD是矩形，設(shè)EG＝x，則BG＝4﹣x，∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（負(fù)值已經(jīng)舍棄），
∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，
∴＝，∴＝，∴BF＝3．
6．（長郡）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，已知點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，，連接，經(jīng)過點(diǎn)且與相切于點(diǎn)，與邊相交于另一點(diǎn)．
(1)若圓心在軸上，求的半徑；
(2)若圓心在軸的上方，且圓心到軸的距離為，求的半徑；
(3)在（2）的條件下，若，點(diǎn)是經(jīng)過點(diǎn)，，的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若滿足的點(diǎn)共有個(gè)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【解答】解：（1）∵圓心A在x軸上，⊙A經(jīng)過點(diǎn)O且與QP相切于點(diǎn)P，∴PQ⊥x軸，OP為直徑，
∵tan∠POC＝1，，∴PQ＝OP，∵在Rt△OPQ中，．
∴OP＝18．∴⊙A的半徑為9；
（2）如圖所示，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QB⊥x軸于B，連接AP，
∵PQ是⊙A的切線，∴AP⊥PQ，則∠APQ＝90°，∵AM⊥x軸，QB⊥x軸，∴∠AMP＝∠PBC＝90°，
∴∠PAM＝90°﹣∠APM＝∠QPB，∴△APM∽△PBQ，∴，∵tan∠POC＝1，QB＝18，
∴OB＝QB＝18，∵AM＝2，設(shè)MP＝MO＝x，∴PB＝18﹣2x，∴，解得x＝3或x＝6，
∴MO＝3或MO＝x，∴A（3，2）或A（6，2），∴AP＝＝或AP＝＝2．
∴半徑為或2．
（3）
∵OP＜10，∴BO＝3，P（6，0），∴A（3，2），∵tan∠POC＝1，設(shè)D（a，a），∵，
∴（3﹣a）2+（2﹣a）2＝13，解得：a＝0或a＝5，∴D（5，5），設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx，
將點(diǎn)P（6，0），D（5，5）代入得，，解得：，∴y＝﹣x2+6x，
∵點(diǎn)F可能在點(diǎn)O的左邊或點(diǎn)P的右邊，，則|KFM|＝，
設(shè)直線MF：或，聯(lián)立，，
得或，當(dāng)或，
解得：或，∴直線MF：或，令y＝0，解得：或，
∴或．
7.（麓山國際）有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長邊稱為智慧邊，這兩邊的夾角叫做智慧角．
（1）已知Rt△ABC為智慧三角形，且Rt△ABC的一邊長為，則該智慧三角形的面積為 ；
（2）如圖①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求證：△ABC是智慧三角形；
（3）如圖②，△ABC是智慧三角形，BC為智慧邊，∠B為智慧角，A（3，0），點(diǎn)B，C在函數(shù)y＝上（x＞0）的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為．當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，求k的值．
【解答】解：（1）如圖1，設(shè)∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC＝AC?AB，
①若AC＝，
i）AB＝AC＝2，∴S＝，
ii）BC＝AC＝2，則AB＝，∴S＝，
②若AB＝，
i）AB＝AC，即AC＝，∴S＝，
ii）BC＝AB＝2，則AC＝∴S＝，
③若BC＝，若AB＝AC＝＝1，∴S＝，
若AB＝AC，AB＝，，S＝××＝，
故答案為：或1或或或．
（2）證明：如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，∠B＝30°，
∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°，∵∠ACB＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°，
∴Rt△ACD中，AD＝CD，∴AC＝，∴，
∴△ABC是智慧三角形．
（3）∵△ABC是智慧三角形，BC為智慧邊，∠B為智慧角，∴BC＝AB，∵△ABC是直角三角形，
∴AB不可能為斜邊，即∠ACB≠90°∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°
①當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，過B作BE⊥x軸于E，過C作CF⊥EB于F，過C作CG⊥x軸于G，如圖3，
∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°，∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，
∴△BCF∽△ABE，∴，設(shè)AE＝a，則BF＝AE＝a，∵A（3，0），
∴OE＝OA+AE＝3+a，∵B的縱坐標(biāo)為，即BE＝，
∴CF＝BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝，B（3+a，），
∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a，∴C（1+a，），
∵點(diǎn)B、C在在函數(shù)y＝上（x＞0）的圖象上，∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k
解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝1，∴k＝，
②當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，過C作CM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸于N，如圖4，
∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°，∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°，
∴∠MCA＝∠NAB，∴△MCA∽△NAB，∵BC＝，∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2，
∴AC＝AB，∴△MCA≌△NAB（AAS），∴AM＝BN＝，∴OM＝OA﹣AM＝3﹣，
設(shè)CM＝AN＝b，則ON＝OA+AN＝3+b，∴C（3﹣，b），B（3+b，），
∵點(diǎn)B、C在在函數(shù)y＝上（x＞0）的圖象上，∴（3﹣）b＝（3+b）＝k
解得：b＝，∴k＝18+15，綜上所述，k的值為或。
類型二：一線三銳角
8.（師大梅溪湖）如圖，在△ABC中，，，，，，則CD的長為________.（提示，作輔助線構(gòu)造一線三等角的相似）
【詳解】解：在CD上取點(diǎn)F，使，
，，由，，
，，且，
，，∽，
， ，，
又， ，
∽，，
又，，或舍去，
經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，．故答案為：5．
5．（青竹湖）如圖，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝6，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，作DE⊥AD交射線AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．
（1）求證：AB?CF＝BD?CD；
（2）如圖2，當(dāng)∠AED＝75°時(shí)，求CF的長；
（3）若CD＝3BD，求．
【解答】（1）證明：如圖1中，
∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDC＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADF+∠FDC，∠B＝∠ADF＝45°，∴∠BAD＝∠FDC，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCF，
∴，∴AB?CF＝BD?CD．
（2）解：如圖2中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．
∵∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC＝6，∴BC＝AB＝12，∵AH⊥BC，∴BH＝CH＝6，AH＝BH＝CH＝6，∵AD⊥DE，∠AED＝75°，∴∠ADE＝90°，∠DAE＝15°，∴∠ADH＝∠DAE+∠C＝60°，
∴∠DAH＝30°，DH＝AH?tan30°＝2，∴BD＝6+2，CD＝6﹣2，∵AB?CF＝BD?CD，
∴6?CF＝（6+2）（6﹣2），∴CF＝2．
（3）如圖2﹣1中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)E作EG⊥CD于G．設(shè)BD＝a，則CD＝3a，BC＝4a．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AH＝HB＝HC＝2a，DH＝a，∠C＝∠B＝45°，∵∠AHD＝∠ADE＝∠DGE＝90°，∴∠ADH+∠EDG＝90°，∠EDG+∠DEG＝90°，∴∠ADH＝∠DEG，∴△ADH∽△DEG，設(shè)EG＝CG＝y(tǒng)，CD＝3a，則DG＝3a+y，∴，∴，解得y＝3a，∴CG＝EG＝3a，EC＝3a，
∵CF＝＝a，∴AF＝AC﹣CF＝2a﹣a＝a，EF＝CF+CE＝a+3a＝a，∴＝．
10.（廣益）如圖1，已知直線（k為常數(shù)，k≠0）與x軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，，連接AC，BC。
（1）求△ABC的面積及sin∠ACB；
（2）如圖2，已知P，Q分別是線段AC，BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足∠POQ=60°。
①求AP·BQ的值及△CPQ面積的最大值；
②當(dāng)△AOP與△OQP的面積相等時(shí)，拋物線經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的直線滿足：
對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有成立。記，若函數(shù)與x軸相交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN≤1，求a的取值范圍。
【解答】解：（1）∵y＝kx+2k＝k（x+2），∴A（﹣2，0），∵OC＝，∴OC＝2，
在Rt△AOC中，∵tan∠CAB＝＝，∴∠CAB＝60°，由對(duì)稱性得，OB＝OA，BC＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°∴sin∠ACB＝，
∴S△ABC＝AB?OC＝＝4；
（2）如圖2，
①由（1）知，△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝60°，∴∠APO+∠AOP＝120°，
∵∠POQ＝60°，∴∠BOQ+∠AOP＝120°，∴∠APO＝∠BOQ，∴△AOP∽△BQO，
∴＝，∴AP?BQ＝OA?OB＝4，作PD⊥BC于D，∴PD＝PC?sin∠ACB＝PC，
∵S△CPQ＝CQ?PD＝（AC﹣AP）（BC﹣BQ）＝（4﹣AP）（4﹣BQ）＝5﹣（AP+BQ）
＝5﹣（AP+），∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，∴a2+b2≥2ab，
∴+≥2??＝4，即AP+≥4，∴當(dāng)AP＝2時(shí)，S△CPQ最大＝5﹣4＝；
②如圖3，
∵S△AOP＝S△OQP，∴OA?PG＝?PH，∴OA?AP?sin60°＝OQ?OP?sin60°，∴2AP＝OP?OQ，
∵△AOP∽△BQO，＝，∴OP＝?OQ，∴2AP＝?OQ2，∴OQ＝2，∴P（﹣1，）
如圖4，
由題意得，b＝0，a+c＝，﹣m+n＝，∴y1＝ax2+（），y2＝mx+（m+），
∵對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有y1≥y2成立，∴ax2﹣mx﹣（m+a）＝0，Δ＝m2+4a（m+a）＝0，
∴m＝﹣2a，∴w＝ax2+（）+mx+（m+）＝ax2+（）﹣2ax﹣2a+
＝ax2﹣2ax+（2﹣3a），當(dāng)ax2﹣2ax+（2﹣3a）＝0時(shí)，設(shè)M（b，0），N（c，0），∴b+c＝2，
bc＝，∵M(jìn)N≤1，∴MN2≤1，∴（b﹣c）2≤1，即（b+c）2﹣4bc≤1，∴4﹣4?≤1，
又a＞0，∴0＜a≤．
類型三：一線三鈍角
11.（2016年長沙中考）如圖，直線l：y=﹣x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)Q在第四象限，∠POQ=135°．
（1）求△AOB的周長；
（2）設(shè)AQ=t＞0，試用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P，Q在直線l上運(yùn)動(dòng)到使得△AOQ與△BPO的周長相等時(shí)，記tan∠AOQ=m，若過點(diǎn)A的二次函數(shù)y=ax2+bx+c同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：
①6a+3b+2c=0；
②當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值等于，求二次項(xiàng)系數(shù)a的值．

【解答】解：（1）在函數(shù)y＝﹣x+1中，令x＝0，得y＝1，∴B（0，1），令y＝0，得x＝1，
∴A（1，0），則OA＝OB＝1，AB＝，∴△AOB周長為1+1+＝2+．
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∠PBO＝∠QAO＝135°，設(shè)∠POB＝x，則∠OPB＝
∠AOQ＝135°﹣x﹣90°＝45°﹣x，∴△PBO∽△OAQ，∴＝，∴PB＝＝，
過點(diǎn)P作PH⊥OB于H點(diǎn)，則△PHB為等腰直角三角形，∵PB＝，∴PH＝HB＝，
∴P（﹣，1+）．
（3）由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它們的周長相等，則相似比為1，即全等，∴PB＝OA，
∴＝1，∴t＝1，同理可得Q（1+，﹣），∴m＝＝﹣1，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，
∴a+b+c＝0，又∵6a+3b+2c＝0，∴b＝﹣4a，c＝3a，對(duì)稱軸x＝2，取值范圍﹣1≤x+1，
①若a＞0，則開口向上，由題意x＝﹣1時(shí)取得最大值＝2+2，即（﹣1）2a+（﹣1）b+c＝2+2，解得a＝．
②若a＜0，則開口向下，由題意x＝2時(shí)取得最大值2+2，即4a+2b+c＝2+2，解得a＝﹣2﹣2．
綜上所述所求a的值為或﹣2﹣2．
12．（2023·浙江寧波·?？既＃c(diǎn)C在的延長線上，且，
（1）如圖（1），若，求證：；
【思考探究】
（2）如圖（2），若，，若，求的值；
【拓展延伸】
如圖（3），連接，若，，若，求n的值．
【解答】解：（1）∵，，∴，
在和中，，∴．
（2）如圖，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，

∵，∴，，∴，
∴，∵，∴，∴，
由（1）可得：，∴，設(shè)，則，，
∴，∴，故答案為：．
（3）如圖，延長至點(diǎn)F，使得，連接，

則，∴，∵，∴，∴，
設(shè)，則，，，∴，
∴，又∵，∴，∴，∴．

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中考幾何模型壓軸題 專題17《一線三等角模型》

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2022年蘇教版中考數(shù)學(xué)壓軸題經(jīng)典模型教案專題04 一線三等角模型

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