?【壓軸必刷】2022中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題4一線三等角模型
經(jīng)典例題



【例1】（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點A，直線l，直線l，垂足分別為點D，E．求證：．

（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若，則______．
【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．
（1）當∠BDA＝105°時，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；點D從點B向點C運動時，∠BDA逐漸變 ．（填“大”或“小”）
（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE？請說明理由．
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．


【例3】在正方形中，點在射線上（不與點，重合），連接，，過點作，并截?。c，在同側(cè)），連接．
（1）如圖1，點在邊上．
①依題意補全圖1；
②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，點在邊的延長線上，其他條件均不變，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．

【例4】（1）模型探究：如圖1，D、E、F分別為△ABC三邊BC、AB、AC上的點，且∠B＝∠C＝∠EDF＝a．△BDE與△CFD相似嗎？請說明理由；
（2）模型應(yīng)用：△ABC為等邊三角形，其邊長為8，E為AB邊上一點，F(xiàn)為射線AC上一點，將△AEF沿EF翻折，使A點落在射線CB上的點D處，且BD＝2．
①如圖2，當點D在線段BC上時，求AEAF的值；
②如圖3，當點D落在線段CB的延長線上時，求△BDE與△CFD的周長之比．

【例5】．如圖，已知等邊△ABC的邊長為6，點D是邊BC上的一個動點，折疊△ABC，使得點A恰好與邊BC上的點D重合，折痕為EF（點E、F分別在邊AB、AC上）．
（l）當AE：AF＝5：4時，求BD的長；
（2）當ED⊥BC時，求EB的值；
（3）當以B、E、D為頂點的三角形與△DEF相似時，求BE的長．

【例6】在△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）如圖1，分別過A、C兩點作經(jīng)過點B的直線的垂線，垂足分別為M、N，求證：△ABM∽△BCN；
（2）如圖2，P是邊BC上一點，∠BAP＝∠C，tan∠PAC=255，求tanC的值；
（3）如圖3，D是邊CA延長線上一點，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC=35，ADAC=25，直接寫出tan∠CEB的值．

培優(yōu)訓練




1．如圖1，AB＝12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝8．點P在線段AB上以每秒2個單位的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由B點向點D運動．它們的運動時間為t（s）．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝2時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；
（2）如圖2，將圖1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點Q的運動速度為每秒x個單位，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x，t的值；若不存在，請說明理由．
2．如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的三角形，∠BAC＝∠EDF＝120°，AB＝AC=3．現(xiàn)將△ABC和△DEF按如圖所示的方式疊放在一起，△ABC保持不動，△DEF運動，且滿足：點E在邊BC上運動（不與點B，C重合），且邊DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于點M．

（1）求證：∠BAE＝∠MEC；
（2）當E在BC中點時，請求出ME：MF的值；
（3）在△DEF的運動過程中，△AEM能否構(gòu)成等腰三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的BE的長；若不能，則請說明理由．
3．如圖，在△ACB中，AB＝AC，點E在邊BC上移動（點E不與點B，C重合），滿足∠DEF＝∠B，且點D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．
（1）求證：△BDE∽△CEF；
（2）當點E移動到BC的中點時，且BD＝3，CF＝2，則DEEF的值為　62　．

4．在綜合實踐課上，李老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學們開展數(shù)學活動．已知，在等腰紙片中，，，將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺（，）按如圖所示放置，頂點在線段上滑動（點不與，重合），三角尺的直角邊始終經(jīng)過點，并與的夾角，斜邊交于點．
（1）當時，______°；
（2）當?shù)扔诤沃禃r，？請說明理由；
（3）在點的滑動過程中，存在是等腰三角形嗎？若存在，請求出夾角的大??；若不存在，請說明理由．


5．已知直線l1：y＝﹣x+b與x軸交于點A，直線l2：y＝x﹣與x軸交于點B，直線l1、l2交于點C，且C點的橫坐標為1．
（1）求直線l1的解析式和點A的坐標．
（2）直線l1與y軸交于點D，將l1向上平移9個單位得l3，l3與x軸、y軸分別交于點E、F，點P為l3上一動點，連接AP、BP，當△ABP的周長最小時，求△ABP的周長和點P的坐標．
（3）將l1繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的直線l4過點G（﹣2，0），過點C作l5平行于x軸，點M、N分別為直線l4、l5上兩個動點，是否存在點M、點N，使△BMN是以點M為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

6．如圖，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，現(xiàn)將該三角形放置在平面直角坐標系中，點B坐標為（0，2），點C坐標為（6，0）．
（1）過點A作AD⊥x軸，求OD的長及點A的坐標；
（2）連接OA，若Р為坐標平面內(nèi)不同于點A的點，且以O(shè)、P、C為頂點的三角形與△OAC全等，請直接寫出滿足條件的點P的坐標；
（3）已知OA＝10，試探究在x軸上是否存在點Q，使△OAQ是以O(shè)A為腰的等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

7．已知：是經(jīng)過的頂點C的一條直線，．E、F是直線上兩點，．
（1）若直線經(jīng)過的內(nèi)部，．
①如圖1，，，直接寫出，，間的等量關(guān)系：__________．
②如圖2，與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出與的數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論進行證明；
（2）如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進行證明．


8．如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．
（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．

9．如圖，在平面直角坐標系中，已知、分別在坐標軸的正半軸上．

（1）如圖1，若a、b滿足，以B為直角頂點，為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，則點C的坐標是（________）；
（2）如圖2，若，點D是的延長線上一點，以D為直角頂點，為直角邊在第一象限作等腰直角，連接，求證：；
（3）如圖3，設(shè)，的平分線過點，直接寫出的值．
10．如圖，在等腰中，，點、分別在軸、軸上．

（1）如圖①，若點的橫坐標為5，求點的坐標；
（2）如圖②，若軸恰好平分，交軸于點，過點作軸于點，求的值；
（3）如圖③，若點的坐標為，點在軸的正半軸上運動時，分別以、為邊在第一、第二象限中作等腰，等腰，連接交軸于點，當點在軸上移動時，的長度是否發(fā)生改變？若不變求的值；若變化，求的取值范圍．
11．綜合與探究：在平面直角坐標系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b滿足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0

（1）求A，B兩點的坐標
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C點的坐標
（3）已知AB＝，試探究在x軸上是否存在點P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
12．在中，，，直線MN經(jīng)過點C，且于D點，于E點．
（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：；
（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系．

13．已知：A、B兩點在直線l的同一側(cè)，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO＝2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP＝90°不變，BP邊與直線l相交于點P．
（1）當P與O重合時（如圖2所示），設(shè)點C是AO的中點，連接BC．求證：四邊形OCBM是正方形；
（2）請利用如圖1所示的情形，求證：ABPB=OMBM；
（3）若AO＝26，且當MO＝2PO時，請直接寫出AB和PB的長．

14．學習概念：
三角形一邊的延長線與三角形另一邊的夾角叫做三角形的外角．如圖1中∠ACD是△AOC的外角，那么∠ACD與∠A、∠O之間有什么關(guān)系呢？
分析：∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO
∴∠ACD＝∠A+　∠O　，
結(jié)論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的　和　．
問題探究：
（1）如圖2，已知：∠AOB＝∠ACP＝∠BDP＝60°，且AO＝BO，則△AOC　≌　△OBD；
（2）如圖3，已知∠ACP＝∠BDP＝45°，且AO＝BO，當∠AOB＝　45　°，△AOC≌△OBD；
應(yīng)用結(jié)論：

（3）如圖4，∠AOB＝90°，OA＝OB，AC⊥OP，BD⊥OP，請說明：AC＝CD+BD．
拓展應(yīng)用：
（4）如圖5，四邊形ABCD，AB＝BC，BD平分∠ADC，AE∥CD，∠ABC+∠AEB＝180°，EB＝5，求CD的長．
15．四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點E在BD上，點F在射線CD上，且AE＝EF，∠AEF＝90°
（1）如圖①，若∠ABE＝∠AEB，AG⊥BD，垂足為G，求證：BG＝GE；
（2）在（1）的條件下，猜想線段CD，DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖②，若∠ABE＝a，∠AEB＝135°，CD＝a，求DF的長（用含a，α的式子表示）

16．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過點C在△ABC外作射線CE，且∠BCE＝α，點B關(guān)于CE的對稱點為點D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CE于點M，N．
（1）依題意補全圖形；
（2）當α＝30°時，直接寫出∠CMA的度數(shù)；
（3）當0°＜α＜45°時，用等式表示線段AM，CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

17．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為線段CB上一點且滿足CD＝CA，連接AD，過點C作CE⊥AB于點E．
（1）如圖1，∠B＝30°，BD＝2，AD與CE交于點P，則∠CPD＝　75°　，AE＝　3+12??；
（2）如圖2，若點F是線段CE延長線上一點，連接FD．若∠F＝45°，求證：AE＝FE．

18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到Rt△A′B′C，A′C與AB交于點D．
（1）如圖1，當A′B′∥AC時，過點B作BE⊥A′C，垂足為E，連接AE．
①求證：AD＝BD；
②求S△ACES△ABE的值；
（2）如圖2，當A′C⊥AB時，過點D作DM∥A′B′，交B′C于點N，交AC的延長線于點M，求DNNM的值．

19．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為直線CB上一點，且滿足CD＝CA，連接AD，過點C作CE⊥AB于點E．
（1）若AB＝10，CD＝CA＝6，則BD＝　2　，CE＝　245??；
（2）如圖2，若點F是線段CE延長線上一點，連接FD，若∠F＝45°，求證：AE＝EF；
（3）如圖3，設(shè)直線CE與直線AD交于點G，在線段CD的延長線上取一點H，使得DH＝CB，連接HG交直線AB于點I，若∠CGH＝∠B，請直接寫出線段AC和AI之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．

20．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142．點D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF．
（1）如圖1，若AD＝BD，點E與點C重合，AF與DC相交于點O，請直接寫出BD與DO的數(shù)量關(guān)系．
（2）已知點G為AF的中點．
①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長．
②如圖3，若DG∥BC，EC＝2，求ADBD的值．

21．已知：如圖，等邊△ABC中，D、E分別在AB、AC邊上，且CE＝2AD，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DF，連接EF、BF；
（1）求證：BF平分∠ABC；
（2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值．
（3）若M為DF中點，連接CM與BF延長線交于點N，若CN=52MN，F(xiàn)N＝11，求BF的長．

22．已知：△ABC中，BC＝AC＝10，tanB＝2，射線CD平分∠ACB，交AB于點D．Rt△EFG中，∠GEF＝90°，EF＝5，EG=52，將△ABC與△EFG如圖（1）擺放，使點C與點E重合，B、C、E、F共線，現(xiàn)將△EFG沿著射線CD以每秒5個單位的速度向上平移，設(shè)平移時間為t秒．
（1）求點A到BC的距離；
（2）在平移過程中，當△EFG與△ACD有重疊部分時，設(shè)重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及對應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）如圖（2），當點E與點D重合時，將△EFG繞點D旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的△EFG為△EF1G1，在旋轉(zhuǎn)過程中G1F1所在直線與邊AB交于點M，與邊AC交于點N，當△AMN為以MN為腰的等腰三角形時，求AM的長度．

23．已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠CAB＝30°，∠DAE＝60°，AD＝3，AB=63，且AB，AD在同一直線上，把圖1中的△ADE沿射線AB平移，記平移中的△ADE為△A′DE（如圖2），且當點D與點B重合時停止運動，設(shè)平移的距離為x．
（1）當頂點E恰好移動到邊AC上時，求此時對應(yīng)的x值；
（2）在平移過程中，設(shè)△A′DE與Rt△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量x的取值范圍；
（3）過點C作CF∥AE交AB的延長線于點F，點M為直線BC上一動點，連接FM，得到△MCF，將△MCF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△M′CF′（M的對應(yīng)點為M′，F(xiàn)的對應(yīng)點為F′），問△FMM′的面積能否等于3？若能，請求AM′的長度，若不能，請說明理由．

24．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖1擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，BC＝6cm，EF＝12cm．
如圖2，△DEF從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動．當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動、DE與AC相交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）．解答下列問題：
（1）當t＝　12-63　時，點A在線段PQ的垂直平分線上．
（2）當t為何值時，PQ∥DF？
（3）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．




25．將等邊三角形紙片ABC折疊，使點A落在對邊BC上的點D處，折痕交AB于點E，交AC于點F．
（1）如圖1，當BD＝CD時，求證：AE＝AF；
（2）如圖2，當BDCD=12時，求AEAF的值；
（3）若BDCD=mn，請直接寫出AEAF的值（不需要過程）．



【壓軸必刷】2022中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題4一線三等角模型
經(jīng)典例題



【例1】（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點A，直線l，直線l，垂足分別為點D，E．求證：．

（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若，則______．
【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）3.5
【分析】
（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結(jié)論；
（3）由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結(jié)合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結(jié)論I是EG的中點．
【解析】
解：（1）證明：如圖1中，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（2）解：成立．
理由：如圖2中，
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）如圖3，過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N．

∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI，
∴I是EG的中點．
∴S△AEI=S△AEG=3.5．
故答案為：3.5．
【點睛】
本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．
（1）當∠BDA＝105°時，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；點D從點B向點C運動時，∠BDA逐漸變 ．（填“大”或“小”）
（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE？請說明理由．
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．


【答案】（1），??；（2）2，理由見解析；（3）或80°
【分析】
（1）根據(jù)已知條件， 三角形內(nèi)角和定理和平角的定義，可得，，進而可得∠EDC，∠DEC，根據(jù)題意，可得當點D從點B向點C運動時，逐漸變大，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得∠BDA逐漸變??；
（2）由（1）可得，，只要,即可證明，進而可得；
（3）根據(jù)題意，分為頂角和底角兩種情況討論，進而計算的度數(shù)．
【解析】
（1），，
，
，
，
，
，，
當∠BDA＝105°時，
∠EDC＝，
∠DEC＝；
當點D從點B向點C運動時，逐漸變大，,則∠BDA逐漸變小，
故答案為：，?。?br /> （2），，
當時，
（AAS），
，
（3）△ADE的形狀可以是等腰三角形，或，
，
，
①當時，，
，
；

②當時，，
，
，

③當時，，
，
此時點與點重合，
由題意可知點D不與點B、C重合，
此種情況不存在，
綜上所述，當△ADE是等腰三角形時，或．
【點睛】
本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，分了他了是解題的關(guān)鍵．
【例3】在正方形中，點在射線上（不與點，重合），連接，，過點作，并截?。c，在同側(cè)），連接．
（1）如圖1，點在邊上．
①依題意補全圖1；
②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，點在邊的延長線上，其他條件均不變，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）①見解析；②，見解析；（2），見解析
【分析】
（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；②過點F作FH⊥CB，交CB的延長線于H．證明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解決問題即可；
（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可．
【解析】
解（1）①圖形如圖所示．
②結(jié)論：．
理由：過點作，交的延長線于，

四邊形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
（2）結(jié)論：．

理由：過點作，交于，
四邊形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
．
【點睛】
本題屬于四邊形綜合題，考查作圖?旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
【例4】（1）模型探究：如圖1，D、E、F分別為△ABC三邊BC、AB、AC上的點，且∠B＝∠C＝∠EDF＝a．△BDE與△CFD相似嗎？請說明理由；
（2）模型應(yīng)用：△ABC為等邊三角形，其邊長為8，E為AB邊上一點，F(xiàn)為射線AC上一點，將△AEF沿EF翻折，使A點落在射線CB上的點D處，且BD＝2．
①如圖2，當點D在線段BC上時，求AEAF的值；
②如圖3，當點D落在線段CB的延長線上時，求△BDE與△CFD的周長之比．

【分析】（1）利用等式的性質(zhì)判斷出∠BED＝∠CDF，即可得出結(jié)論；
（2）①同（1）的方法判斷出△BDE∽△CFD，得出比例式，再設(shè)出AE＝x，AF＝y(tǒng)，進而表示出BE＝8﹣x，CF＝8﹣y，CD＝6，代入比例式化簡即可得出結(jié)論；
②同①的方法即可得出結(jié)論．
【解析】（1）△BDE∽△CFD，
理由：∠B＝∠C＝∠EDF＝a，
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣α，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝180°﹣α，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD；

（2）①設(shè)AE＝x，AF＝y(tǒng)，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
由折疊知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y(tǒng)，∠EDF＝∠A＝60°，
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AC﹣AF＝8﹣y，CD＝BC﹣BD＝6，
∴28-y=8-x6=xy，
∴2y=x(8-y)6x=y(8-x)，
∴xy=1014=57，
∴AEAF=57；

②設(shè)AE＝x，AF＝y(tǒng)，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
由折疊知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y(tǒng)，∠EDF＝∠A＝60°，
在△BDE中，∠ABC+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBE＝∠DCF＝120°，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AF﹣AC＝y(tǒng)﹣8，CD＝BC+BD＝10，
∴2y-8=8-x10=xy，
∴2y=x(y-8)10x=y(8-x)，
∴xy=13．
∵△BDE∽△CFD，
∴△BDE與△CFD的周長之比為DEDF=xy=13．
【例5】．如圖，已知等邊△ABC的邊長為6，點D是邊BC上的一個動點，折疊△ABC，使得點A恰好與邊BC上的點D重合，折痕為EF（點E、F分別在邊AB、AC上）．
（l）當AE：AF＝5：4時，求BD的長；
（2）當ED⊥BC時，求EB的值；
（3）當以B、E、D為頂點的三角形與△DEF相似時，求BE的長．

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝60°，∠B＝60°，∠C＝60°，則∠BDE+∠BED＝120°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EDF＝∠A＝60°，AE＝DE，AF＝DF，則∠BDE+∠FDC＝120°，得到∠BDE＝∠DFC，根據(jù)三角形相似的判定得△BED∽△CDF，根據(jù)相似的性質(zhì)有BDFC=DEFD=BEDC；設(shè)AE＝DE＝5x，AF＝FD＝4x，BE＝6﹣5x，F(xiàn)C＝6﹣4x，則BD=54FC=54（6﹣4x），DC=45BE=45（6﹣5x），即有54（6﹣4x）+45（6﹣5x）＝6，解出x即可計算出BD的長；
（2）由ED⊥BC，得到∠BDE＝90°，而∠B＝60°，AB＝6，BE＝x，則AE＝ED＝6﹣x，利用60°的正弦得到sin60°=EDBE=32，則6﹣x=32x，解方程即可；
（3）討論：當△BED∽△DEF，則BEDE=BDDF，即BEBD=DEDF，由（1）得△BED∽△CDF，BDFC=DEFD=BEDC，則BEBD=BEDC，所以BD＝DC，則AD垂直平分BC，得到EF為△ABC的中位線，即可求出BE；當△BDE∽△DEF，得到∠BDE＝∠DEF，則EF∥BC，也得到EF為△ABC的中位線，即可求出BE．
【解析】（1）∵三角形ABC為等邊三角形，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，∠C＝60°，
∴∠BDE+∠BED＝120°，
又∵折疊△ABC，使得點A恰好與邊BC上的點D重合，折痕為EF，
∴∠EDF＝∠A＝60°，AE＝DE，AF＝DF，
∴∠BDE+∠FDC＝120°，
∴∠BDE＝∠DFC，
∴△BED∽△CDF，
∴BDFC=DEFD=BEDC，
當AE：AF＝5：4，設(shè)AE＝DE＝5x，AF＝FD＝4x，BE＝6﹣5x，F(xiàn)C＝6﹣4x，
∴BDFC=54=BEDC，
∴BD=54FC=54（6﹣4x），DC=45BE=45（6﹣5x）
∴BD+DC＝6，即54（6﹣4x）+45（6﹣5x）＝6，
解得x=710，
∴BD=54（6﹣4×710）＝4；

（2）如圖，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
而∠B＝60°，AB＝6，
設(shè)BE＝x，則AE＝ED＝6﹣x，
∴sinB＝sin60°=EDBE=32，
∴6﹣x=32x，
解得x＝12（2-3），
∴BE＝24﹣123；

（3）∵以B、E、D為頂點的三角形與△DEF相似，
當△BED∽△DEF，
∴BEDE=BDDF，即BEBD=DEDF，
又∵△BED∽△CDF，
∴BDFC=DEFD=BEDC，
∴BEBD=BEDC，
∴BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴EF為△ABC的中位線，
∴BE＝3；
當△BDE∽△DEF，
∴∠BDE＝∠DEF，
∴EF∥BC，
而EF垂直平分AD，
∴EF為△ABC的中位線，
∴BE＝3．

【例6】在△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）如圖1，分別過A、C兩點作經(jīng)過點B的直線的垂線，垂足分別為M、N，求證：△ABM∽△BCN；
（2）如圖2，P是邊BC上一點，∠BAP＝∠C，tan∠PAC=255，求tanC的值；
（3）如圖3，D是邊CA延長線上一點，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC=35，ADAC=25，直接寫出tan∠CEB的值．

【分析】（1）利用同角的余角相等判斷出∠BAM＝∠CBN，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出MP＝MC，進而得出25=MNPN，設(shè)MN＝2m，PN=5m，根據(jù)勾股定理得，PM=MN2+PN2=3m＝CM，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出GHEG=ACAD=52，再同（2）的方法，即可得出結(jié)論．
【解析】（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝90°，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠AMB＝∠NBC，
∴△ABM∽△BCN；

（2）如圖2，過點P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．
∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，
∴MP＝MC
∵tan∠PAC=PNAN=255=25=MNPN
設(shè)MN＝2m，PN=5m，
根據(jù)勾股定理得，PM=MN2+PN2=3m＝CM，
∴tanC=PNCN=5m5m=55；

（3）
在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAC=35，
過點A作AG⊥BE于G，過點C作CH⊥BE交EB的延長線于H，
∵∠DEB＝90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴GHEG=ACAD=52
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴BGCH=AGBH=ABBC=43，
設(shè)BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，
∵AB＝AE，AG⊥BE，
∴EG＝BG＝4m，
∴GH＝BG+BH＝4m+3n，
∴4m+3n4m=52，
∴n＝2m，
∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC=CHEH=314．


培優(yōu)訓練




1．如圖1，AB＝12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝8．點P在線段AB上以每秒2個單位的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由B點向點D運動．它們的運動時間為t（s）．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝2時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；
（2）如圖2，將圖1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點Q的運動速度為每秒x個單位，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x，t的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）利用SAS定理證明△ACP≌△BPQ；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACP＝∠BPQ，進而推出∠CPQ＝90°，可得線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程組可求得結(jié)果．
【解析】（1）結(jié)論：△ACP與△BPQ全等．
理由如下：當t＝2時，AP＝BQ＝2×2＝4，
則BP＝AB﹣AP＝12﹣4＝8，
∴BP＝AC，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP=BQ∠A=∠BCA=PB，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
結(jié)論：PC⊥PQ．
證明：∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即線段PC與線段PQ垂直．

（2）①若△ACP≌△BPQ，
則AC＝BP，AP＝BQ，
∴8=12-2t2t=tx，
解得
t=2x=2；
②若△ACP≌△BQP，
則AC＝BQ，AP＝BP，
8=xt2t=12-2t，
解得
t=3x=83；
綜上所述，當t=2x=2或t=3x=83時，
使得△ACP與△BPQ全等．
2．如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的三角形，∠BAC＝∠EDF＝120°，AB＝AC=3．現(xiàn)將△ABC和△DEF按如圖所示的方式疊放在一起，△ABC保持不動，△DEF運動，且滿足：點E在邊BC上運動（不與點B，C重合），且邊DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于點M．

（1）求證：∠BAE＝∠MEC；
（2）當E在BC中點時，請求出ME：MF的值；
（3）在△DEF的運動過程中，△AEM能否構(gòu)成等腰三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的BE的長；若不能，則請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)△ABC≌△DEF，得∠ABC＝∠DEF，由三角形外角的性質(zhì)得：∠B+∠BAE＝∠AEM+∠MEC，所以∠BAE＝∠MEC；
（2）先證明AC⊥EF，取AB中點H，連結(jié)EH，則EH＝AH，證明△AHE是等邊三角形，計算BC和EM的長可得結(jié)論；
（3）分三種情況討論
①當AM＝AE時，如圖3，
②當AE＝EM時，如圖4，
③當MA＝ME時，如圖5，
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∠AEC＝∠AEM+∠MEC，
∴∠B+∠BAE＝∠AEM+∠MEC，
即∠BAE＝∠MEC；
（2）解：當E為BC中點時，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴AE⊥BC，∠EAM＝∠BAE＝60°，
又∵∠DEM＝30°，
∴AC⊥EF，
取AB中點H，連結(jié)EH，
則EH＝AH
∵∠BAE＝60°，
∴△AHE是等邊三角形，
∴AE＝EH=12AB=32，
∴BC＝2BE＝3，
同理，AM=34，ME=34，
∴FM＝EF﹣EM＝BC﹣EM＝3-34=94，
∴EM：FM＝1：3；
（3）解：能．
分三種情況討論：
①當AM＝AE時，如圖3，
∠AEM＝30°，
∴∠EAM＝120°，
此時點E與點B重合，與題意矛盾，
∴舍去；
②當AE＝EM時，如圖4，
由（1）知，∠BAE＝∠CEM，
∵∠B＝∠C＝30°，AE＝ME，
∴△BEA≌△CEM（AAS），
∴AB＝EC=3，
∴BE＝BC﹣EC＝3-3；
③當MA＝ME時，如圖5，
則∠AEM＝∠MAE＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°，
取BE中點I，連結(jié)AI，
則AI＝IE＝BI，∠AEB＝60°，
∴△AIE是等邊三角形，
設(shè)AI＝x，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+AB2＝BE2，
即x2+(3)2=(2x)2，解得x＝1，
∴BE＝2x＝2，
綜上所述，當BE＝3-3或2時，△AME是等腰三角形．




3．如圖，在△ACB中，AB＝AC，點E在邊BC上移動（點E不與點B，C重合），滿足∠DEF＝∠B，且點D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．
（1）求證：△BDE∽△CEF；
（2）當點E移動到BC的中點時，且BD＝3，CF＝2，則DEEF的值為　62?。?br />
【分析】（1）由相似三角形的判定可證△BDE∽△CEF；
（2）由相似三角形的性質(zhì)可得DBCE=BECF，可求BE＝CE=6，即可求解．
【解析】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵點E是BC的中點，
∴BE＝CE，
∵△BDE∽△CEF，
∴DBCE=BECF，
∴BE2＝DB?CF＝6，
∴BE＝CE=6，
∵△BDE∽△CEF，
∴DEEF=DBCE=36=62，
故答案為：62．
4．在綜合實踐課上，李老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學們開展數(shù)學活動．已知，在等腰紙片中，，，將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺（，）按如圖所示放置，頂點在線段上滑動（點不與，重合），三角尺的直角邊始終經(jīng)過點，并與的夾角，斜邊交于點．
（1）當時，______°；
（2）當?shù)扔诤沃禃r，？請說明理由；
（3）在點的滑動過程中，存在是等腰三角形嗎？若存在，請求出夾角的大??；若不存在，請說明理由．


【答案】（1）50；（2）=5時，，理由見詳解；（3）當α＝45°或90°或0°時，△PCD是等腰三角形
【分析】
（1）先求出∠B=30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）根據(jù)CA＝CB，且∠ACB度數(shù)，求出∠A與∠B度數(shù)，再由外角性質(zhì)得到α＝∠APD，根據(jù)AP＝BC，利用ASA即可得證；
（3）點P在滑動時，△PCD的形狀可以是等腰三角形，分三種情況考慮：當PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分別求出夾角α的大小即可．
【解析】
解：（1）∵，，
∴∠B=（180°-120°）÷2=30°，
∵，
∴180°-100°-30°=50°，
故答案是：50；
（2）當AP＝5時，，
理由為：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝30°，
又∵∠APC是△BPC的一個外角，
∴∠APC＝∠B＋＝30°＋，
∵∠APC＝∠DPC＋∠APD＝30°＋∠APD，
∴＝∠APD，
又∵AP＝BC＝5，
∴；
（3）△PCD的形狀可以是等腰三角形，
則∠PCD＝120°?α，∠CPD＝30°，
PC＝PD時，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝（180°?30°）÷2＝75°，即120°?α＝75°，
∴α＝45°；
②當PD＝CD時，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°?α＝30°，
∴α＝90°；
③當PC＝CD時，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP＝∠CPD＝30°，
∴∠PCD＝180°?2×30°＝120°，
即120°?α＝120°，
∴α＝0°，
此時點P與點B重合，點D和A重合，
綜合所述：當α＝45°或90°或0°時，△PCD是等腰三角形．
【點睛】
本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
5．已知直線l1：y＝﹣x+b與x軸交于點A，直線l2：y＝x﹣與x軸交于點B，直線l1、l2交于點C，且C點的橫坐標為1．
（1）求直線l1的解析式和點A的坐標．
（2）直線l1與y軸交于點D，將l1向上平移9個單位得l3，l3與x軸、y軸分別交于點E、F，點P為l3上一動點，連接AP、BP，當△ABP的周長最小時，求△ABP的周長和點P的坐標．
（3）將l1繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的直線l4過點G（﹣2，0），過點C作l5平行于x軸，點M、N分別為直線l4、l5上兩個動點，是否存在點M、點N，使△BMN是以點M為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

【答案】（1）y＝﹣x﹣3，點A的坐標為（﹣3，0）；（2），P點坐標為（，）；（3）存在，點M的坐標為（﹣8，8）或（，﹣）．
【分析】
（1）利用點C是兩條直線的交點，求出C點坐標，代入直線l1，可求出直線l1的解析式，進而求出點A的坐標；
（2）利用平移求出l3的解析式，構(gòu)造點B關(guān)于l3的對稱點Q，利用兩點之間線段最短找到點P的坐標，利用兩點間距離公式，求出△ABP的周長；
（3）構(gòu)造全等三角形，利用全等邊相等，列出關(guān)系式，進而求出M的坐標．
【解析】
解：（1）將x=1代入直線y=x-，得y=×1-=-4，
故點C的坐標為（1，-4），
將C的坐標（1，-4）代入直線y=-x+b得，
-4=-1+b，
解得b=-3，
∴直線l1：y=-x-3，
令y=0，則-x-3=0，解得x=-3，
故點A的坐標為（-3，0）；
（2）直線l3為l1向上平移9個單位所得，故直線l3的解析式為：y=-x+6，
令x=0，得y=6，令y=0，得x=6，
故點E，點F的坐標分別為（6，0），（0，6），
直線l2：y=x-與x軸交于點B，
令y=0，得x=4，故B點的坐標為（4，0），
取點B關(guān)于l3的對稱點Q，設(shè)點Q的坐標為（a，b），
則線段BQ的中點坐標為（，）在直線l3，
∴①
且即②
聯(lián)立①②得
，
解得：，
∴Q（6，2），
直線AQ的解析式：，
當△ABP的周長最小時，即AP+BP最小，
連接AQ，交直線l3于點P，

此時AP+BP最小，
最小值為，
∵AB=7，
此時△ABP的周長為7+，
由解得，
∴P點坐標為，
（3）設(shè)l4的解析式：y=mx+n，
將C（1，-4），G（-2，0），代入y=mx+n得，
，解得，
∴l(xiāng)4的解析式為：，
1°：當點M在直線l4的上方時，
設(shè)點N（n，-4），點M（s，），
過點N，B分別作y軸的平行線，過點M作x軸的平行線，三條直線分別交于R，S兩點，如圖

則R，S的坐標分別為，
∴RM=s-n，RN=，MS=4-s，SB=，
∵∠NMB=90°，
∴∠NMR+∠SMB=90°，
∵∠BMS+∠MBS=90°，
∴∠NMR=∠MBS，
∵∠S=∠R=90°，MB=MN，
∴△MNR≌△BMS（AAS），
∴RM=SB，RN=SM，
即s-n=，，
解得s=-8，n=-16，
∴點M的坐標為（-8，8），
2°：當點M在直線l4的下方時，
設(shè)點N（n，-4），點M（s，），
過點N，B分別作y軸的平行線，過點M作x軸的平行線，三條直線分別交于R，S兩點，如圖

則R，S的坐標分別為（n，），（4，），
∴RM=s-n，RN=，MS=4-s，SB=，
∵∠NMB=90°，
∴∠NMR+∠SMB=90°，
∵∠BMS+∠MBS=90°，
∴∠NMR=∠MBS，
∵∠S=∠R=90°，MB=MN，
∴△MNR≌△BMS（AAS），
∴RM=SB，RN=SM，
即s-n=，，
解得s=，n=，
∴點M的坐標為（，），
綜上點M的坐標為（-8，8）或（，）．
【點睛】
本題是一道一次函數(shù)綜合問題，考查了求一次函數(shù)的解析式；已知點在直線上的，求點的坐標；利用對稱點，求周長最小值；兩點之間距離公式等，需要有解決一次函數(shù)的綜合能力．
6．如圖，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，現(xiàn)將該三角形放置在平面直角坐標系中，點B坐標為（0，2），點C坐標為（6，0）．
（1）過點A作AD⊥x軸，求OD的長及點A的坐標；
（2）連接OA，若Р為坐標平面內(nèi)不同于點A的點，且以O(shè)、P、C為頂點的三角形與△OAC全等，請直接寫出滿足條件的點P的坐標；
（3）已知OA＝10，試探究在x軸上是否存在點Q，使△OAQ是以O(shè)A為腰的等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）OD＝8，點A的坐標（8，6）；（2）（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）（16，0）或（10，0）或（-10，0）
【分析】
（1）通過證明△BOC≌△CDA，可得CD＝OB＝2，即可求OD的長，進而即可得到A的坐標；
（2）分三種情況：①作△OAC關(guān)于x軸的對稱圖形得到△OP1C；作△OAC關(guān)于直線x=3的對稱圖形得到△OP2C；③作△OP2C關(guān)于x軸的對稱圖形得到△OP3C，
分別求解，即可；
（3）分三種情況：①當以點A為頂角頂點時，且OA是腰；②當以點A為底角頂點時，且OA是腰，形成銳角三角形時；③當以點A為底角頂點時，且OA是腰，形成鈍角三角形時，分別求解即可．
【解析】
解：（1）∵點B坐標為（0，2），點C坐標為（6，0），
∴OB＝2，OC＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCO＋∠ACD＝90°，且∠BCO＋∠OBC＝90°，
∴∠ACD＝∠OBC，且AC＝BC，∠BOC＝∠ADC＝90°，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴CD＝OB＝2，
∴OD＝OC＋CD＝8，AD=OC=6，
∴點A的坐標（8，6）；
（2）①作△OAC關(guān)于x軸的對稱圖形得到△OP1C，
∴△OAC△OP1C，
∴P1（8，-6）；
②∵點O，C關(guān)于直線x=3對稱，
∴作△OAC關(guān)于直線x=3的對稱圖形得到△OP2C，
∴△OAC△CP2O，
∴P2（-2，6）；
③作△OP2C關(guān)于x軸的對稱圖形得到△OP3C，
∴△OP2C△OP3C，即：△OP3C△OCA，
∴P3（-2，-6），
綜上所述：P的坐標為：（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；

（3）①當以點A為頂角頂點時，且OA是腰，
∵AD⊥x軸，
∴點Q1，O關(guān)于直線AD對稱，即：Q1（16，0）；
②當以點A為底角頂點時，且OA是腰，形成銳角三角形時，
則OQ2=OA=10，
∴Q2（10，0）；
③當以點A為底角頂點時，且OA是腰，形成鈍角三角形時，
則OQ3=OA=10，
∴Q2（-10，0），

綜上所述：Q的坐標為：（16，0）或（10，0）或（-10，0）．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理，掌握分類討論思想方法是本題的關(guān)鍵．
7．已知：是經(jīng)過的頂點C的一條直線，．E、F是直線上兩點，．
（1）若直線經(jīng)過的內(nèi)部，．
①如圖1，，，直接寫出，，間的等量關(guān)系：__________．
②如圖2，與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出與的數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論進行證明；
（2）如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進行證明．


【答案】（1）①；②，證明見解析；（2）不成立，，理由見解析
【分析】
（1）①根據(jù)題意，推導得，通過證明，得，，結(jié)合，即可得到答案；
②結(jié)合題意，根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，推導得，通過證明，即可完成證明；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，推導得，通過證明，得，；根據(jù)，即可得到答案．
【解析】
（1）①∵，
∴,
∴
∴
∴
∴，
∵
∴；
②滿足，理由如下：
∵，
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
（2）不成立，，理由如下：
∵，，
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
【點睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和、余角、全等三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解．
8．如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．
（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．

【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由見詳解；（3）可以，110°或80°.
【分析】
（1）利用鄰補角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；
（2）當DC=2時，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．
【解析】
解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，
∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；
（2）當DC=2時，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中，

∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，
∵∠BDA=110°時，
∴∠ADC=70°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=70°，
∴△ADE的形狀是等腰三角形；
∵當∠BDA的度數(shù)為80°時，
∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=40°，
∴△ADE的形狀是等腰三角形．
【點睛】
本題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
9．如圖，在平面直角坐標系中，已知、分別在坐標軸的正半軸上．

（1）如圖1，若a、b滿足，以B為直角頂點，為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，則點C的坐標是（________）；
（2）如圖2，若，點D是的延長線上一點，以D為直角頂點，為直角邊在第一象限作等腰直角，連接，求證：；
（3）如圖3，設(shè)，的平分線過點，直接寫出的值．
【答案】（1）點C的坐標是；（2）見解析；（3）
【分析】
（1）根據(jù)偶次冪的非負性以及算術(shù)平方根的非負性得出的值，過點作軸于點，然后證明，進而得出結(jié)論；
（2）過點E作軸于點M，根據(jù)題意證明，在和中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；
（3）作DF⊥y軸于H，DH⊥x軸于H，DK⊥BA交BA的延長線于K，先證明可得BK＝BF＝b＋2，然后證明Rt△DAH≌Rt△DAK可得BK＝c＋a?2，進一步可得結(jié)果．
【解析】
解：（1）∵，
∴，
∴，
過點作軸于點，

∵為等腰直角三角形，
∴，
∴,
∵，
∴，
在和中，
，
∴,
∴,
∴，
∴點C的坐標是；
（2）證明：過點E作軸于點M，依題意有，

∵為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又，即，
∴，
∴，
即，又，設(shè)與相交于點N，
∴在和中，
，，
∴；
（3）作DF⊥y軸于H，DH⊥x軸于H，DK⊥BA交BA的延長線于K，

則DF＝DH＝2，
∵BD平分∠ABO，DF⊥y軸，DK⊥BA，
∴DF＝DK＝2，
∵，,，
∴,
∴DF＝DH＝DK，BK＝BF＝b＋2，
在Rt△DAH和Rt△DAK中，
，
∴Rt△DAH≌Rt△DAK（HL）
∴AK＝AH＝a?2，
∴BK＝c＋a?2，
∴c＋a?2＝b＋2，
∴a?b＋c＝4．
【點睛】
本題考查了坐標與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，偶次方與算數(shù)平方根的非負性的性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)建出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
10．如圖，在等腰中，，點、分別在軸、軸上．

（1）如圖①，若點的橫坐標為5，求點的坐標；
（2）如圖②，若軸恰好平分，交軸于點，過點作軸于點，求的值；
（3）如圖③，若點的坐標為，點在軸的正半軸上運動時，分別以、為邊在第一、第二象限中作等腰，等腰，連接交軸于點，當點在軸上移動時，的長度是否發(fā)生改變？若不變求的值；若變化，求的取值范圍．
【答案】（1）（0，5）（2）（3）不變，等于2．
【分析】
（1）作CD⊥BO，易證△ABO≌△BCD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可解題；
（2）設(shè)AB＝BC＝a，根據(jù)勾股定理求出AC＝a，根據(jù)MA（即x軸）平分∠BAC，得到，求得BM＝（?1）a，MC＝（2? ）a，AM＝a，再證明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到，即CD＝，即可解答，
（3）作EG⊥y軸，易證△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解題．
【解析】
解：（1）如圖1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD＋∠ABO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中，，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝BO＝5，
∴B點坐標（0，5）；

（2）設(shè)AB＝BC＝a，
則AC＝a，
∵MA（即x軸）平分∠BAC，
∴，
即MC＝BM，
∵BC＝BM＋MC＝a，
∴BM＋BM＝a，
解得BM＝（?1）a，MC＝（2?）a
則AM＝a，
∵∠ABM＝∠CDM＝90°
且∠AMB＝∠CMD
∴Rt△ABM∽Rt△CDM，
∴，即CD＝，
∴；
（3）的長度不變，理由如下：
如圖3，作EG⊥y軸于G，

∵∠BAO＋∠OBA＝90°，∠OBA＋∠EBG＝90°，
∴∠BAO＝∠EBG，
在△BAO和△EBG中，，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG＝AO，EG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝EG，
在△EGP和△FBP中，，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO＝2．
【點睛】
本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的證明是解本題的關(guān)鍵．
11．綜合與探究：在平面直角坐標系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b滿足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0

（1）求A，B兩點的坐標
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C點的坐標
（3）已知AB＝，試探究在x軸上是否存在點P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）A（0，3）、B（1，0）；（2）C（4，1）；（3）存在，，，
【分析】
（1）由平方數(shù)和絕對值的非負性可得a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，從而求得a＝3，b＝1，即可得到A，B兩點的坐標．
（2）過點Ｃ向軸作垂線，垂足為，結(jié)合已知條件可構(gòu)造一線三等角模型，即可證明，則，，易得點C的坐標．
（3）若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，則需分兩種情況討論：①則在B的左側(cè)，；在右側(cè)，；②，則易證，故．
【解析】
解：（1）∵a、b滿足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0．
∴a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴A（0，3）、B（1，0）；
（2）如圖，過點C向軸作垂線，垂足為，則，

∵，，
∴
在和中，
∵
∴
∴，，
∴C（4，1）．
（3）若為腰，則分兩種情況討論：
①當時，
若在B的左側(cè)，則，∴；
若在的右側(cè)，則，∴；
②當時，
∵，∴由等腰三角形三線合一可知，
∴．
綜上所述，存在，，．
【點睛】
本題考查點的坐標，等腰三角形的性質(zhì)，掌握一線三等角證全等及等腰三角形的存在性的方法為解題關(guān)鍵．
12．在中，，，直線MN經(jīng)過點C，且于D點，于E點．
（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：；
（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系．

【答案】（1）證明見解析，（2）圖②中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝AD﹣BE，圖③中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝BE﹣AD．
【分析】
（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB即可得到答案；
（2）與（1）證法類似可證出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到線段的關(guān)系．
【解析】
解：（1）①證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴DE＝AD+BE．
（2）圖②中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝AD﹣BE，圖③中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝BE﹣AD．
如圖②
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．
DE＝AD﹣BE，
如圖③
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【點睛】
此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，能根據(jù)已知證出全等三角形是解此題的關(guān)鍵．
13．已知：A、B兩點在直線l的同一側(cè)，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO＝2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP＝90°不變，BP邊與直線l相交于點P．
（1）當P與O重合時（如圖2所示），設(shè)點C是AO的中點，連接BC．求證：四邊形OCBM是正方形；
（2）請利用如圖1所示的情形，求證：ABPB=OMBM；
（3）若AO＝26，且當MO＝2PO時，請直接寫出AB和PB的長．

【分析】（1）先證明四邊形OCBM是平行四邊形，由于∠BMO＝90°，所以?OCBM是矩形，最后利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可證明四邊形OCBM是正方形；
（2）連接AP、OB，由于∠ABP＝∠AOP＝90°，所以A、B、O、P四點共圓，從而利用圓周角定理可證明∠APB＝∠OBM，所以△APB∽△OBM，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．
（3）由于點P的位置不確定，故需要分情況進行討論，共兩種情況，第一種情況是點P在O的左側(cè)時，第二種情況是點P在O的右側(cè)時，然后利用四點共圓、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理即可求出答案．
【解析】（1）∵2BM＝AO，2CO＝AO
∴BM＝CO，
∵AO∥BM，
∴四邊形OCBM是平行四邊形，
∵∠BMO＝90°，
∴?OCBM是矩形，
∵∠ABP＝90°，C是AO的中點，
∴OC＝BC，
∴矩形OCBM是正方形．
（2）方法一：連接AP、OB，
∵∠ABP＝∠AOP＝90°，
∴A、B、O、P四點共圓，
由圓周角定理可知：∠APB＝∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB＝∠OBM，
∴∠APB＝∠OBM，
∴△APB∽△OBM，
∴ABPB=OMBM
方法二：如圖所示，過點B作BD⊥AO于點D，
易證：四邊形DBMO是矩形，
∴BD＝OM，
∵∠ABD+∠DBE＝∠DBE+∠PBM，
∴∠ABD＝∠PBM，
∵∠ADB＝∠PMB＝90°，
∴△ABD∽△PBM，
∴ABPB=BDBM，
∴ABPB=OMBM；
（3）當點P在O的左側(cè)時，如圖所示，
過點B作BD⊥AO于點D，
易證△PEO∽△BED，
∴POBD=OEDE
易證：四邊形DBMO是矩形，
∴BD＝MO，OD＝BM
∴MO＝2PO＝BD，
∴OEDE=12，
∵AO＝2BM＝26，
∴BM=6，
∴OE=63，DE=263，
易證△ADB∽△ABE，
∴AB2＝AD?AE，
∵AD＝DO＝BM=6，
∴AE＝AD+DE=563
∴AB=10，
由勾股定理可知：BE=2153，
易證：△PEO∽△PBM，
∴BEPB=OMPM=23，
∴PB=15
當點P在O的右側(cè)時，如圖所示，
過點B作BD⊥OA于點D，
∵MO＝2PO，
∴點P是OM的中點，
設(shè)PM＝x，BD＝2x，
∵∠AOM＝∠ABP＝90°，
∴A、O、P、B四點共圓，
∴四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠BPM＝∠A，
∴△ABD∽△PBM，
∴ADBD=PMBM，
又易證四邊形ODBM是矩形，AO＝2BM，
∴AD＝BM=6，
∴62x=x6，
解得：x=3，
∴BD＝2x＝23
由勾股定理可知：AB＝32，PB＝3，
綜上所述，AB=10，PB=15或AB＝32，PB＝3，



14．學習概念：
三角形一邊的延長線與三角形另一邊的夾角叫做三角形的外角．如圖1中∠ACD是△AOC的外角，那么∠ACD與∠A、∠O之間有什么關(guān)系呢？
分析：∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO
∴∠ACD＝∠A+　∠O　，
結(jié)論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的　和　．
問題探究：
（1）如圖2，已知：∠AOB＝∠ACP＝∠BDP＝60°，且AO＝BO，則△AOC　≌　△OBD；
（2）如圖3，已知∠ACP＝∠BDP＝45°，且AO＝BO，當∠AOB＝　45　°，△AOC≌△OBD；
應(yīng)用結(jié)論：

（3）如圖4，∠AOB＝90°，OA＝OB，AC⊥OP，BD⊥OP，請說明：AC＝CD+BD．
拓展應(yīng)用：
（4）如圖5，四邊形ABCD，AB＝BC，BD平分∠ADC，AE∥CD，∠ABC+∠AEB＝180°，EB＝5，求CD的長．
【分析】學習概念：利用等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
問題探究：（1）利用等式的性質(zhì)得出∠OAC＝∠BOD，即可得出結(jié)論；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)和等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
應(yīng)用結(jié)論：（3）同（1）的方法即可得出結(jié)論；
拓展應(yīng)用：（4）構(gòu)造出（1）的圖形即可得出結(jié)論．
【解析】學習概念：
∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO
∴∠ACD＝180°﹣（180°﹣∠A﹣∠O）＝∠A+∠O，
即：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，
故答案為：∠O，和；

問題探究：（1）∵∠AOB＝60°，
∴∠AOC+∠BOD＝60°，
∵∠ACP＝∠BDP＝60°，
∴∠ACO＝∠ODB＝120°，∠AOC+∠OAC＝60°，
∴∠OAC＝∠BOD，
在△AOC和△OBD中，∠ACO=∠ODB=120°∠OAC=∠BODOA=OB，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
故答案為：≌；

（2）∵△AOC≌△OBD，
∴∠AOC＝∠OBD，
∵∠BDP＝45°，
∴∠BOD+∠OBD＝45°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠AOB＝45°，
故答案為：45°；

應(yīng)用結(jié)論：（3）∵AC⊥OP，BD⊥OP，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴△AOC≌△OBD，
∴OC＝BD，AC＝OD，
∴AC＝OD＝OC+CD＝BD+CD；

拓展應(yīng)用：（4）如圖5，在DB上取一點F使CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CFD＝∠CDF＝∠ADB，
∵AE∥CD，
∴∠BDC＝∠AED，
∴∠AED＝∠CFD，
∵∠AEB+∠AFD＝180°，∠AEB+∠ABC＝180°，
∴∠AED＝∠ABC，
∴∠AEB＝∠BFC，
∵∠AED＝∠ABE+∠BAE，∠ABC＝∠ABE+∠CBF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF，
∴CF＝BE＝5，
∴CD＝CF＝5．

15．四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點E在BD上，點F在射線CD上，且AE＝EF，∠AEF＝90°
（1）如圖①，若∠ABE＝∠AEB，AG⊥BD，垂足為G，求證：BG＝GE；
（2）在（1）的條件下，猜想線段CD，DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖②，若∠ABE＝a，∠AEB＝135°，CD＝a，求DF的長（用含a，α的式子表示）

【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一即可得出結(jié)論；
（2）先利用同角的余角相等判斷出∠CBP＝∠FEQ，等量代換得出BC＝EF，進而得出，△BCP≌△EFQ，得出CP＝FQ，再判斷出，△CPD≌△FQD即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出tanα=AQBQ，再判斷出△ABQ≌△BCP，得出BQ＝CP，再判斷出△DQF∽△DPC，得出比例式，代換即可得出結(jié)論．
【解析】（1）∵∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AG⊥BD，
∴BG＝GE；
（2）如圖①，過點C作CP⊥BD于P，過點F作FQ⊥BD交BD的延長線于Q，
∴∠BPC＝∠DPC＝∠FQE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABE＝∠AEB，
∴∠AEB+∠CBD＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEQ＝90°，
∴∠CBP＝∠FEQ，
∵AB＝BC，AE＝EF，AB＝AE，
∴BC＝EF，
在△BCP和△EFQ中，∠BPC=∠EQF∠CBP=∠FEQBC=EF，
∴△BCP≌△EFQ，
∴CP＝FQ，
在△CPD和△FQD中，∠PDC=QDF∠CPD=FQDCP=FQ，
∴△CPD≌△FQD，
∴CD＝DF，
（3）如圖②，連接AF，過點C作CP⊥BD，
∵∠AEB＝135°，
∴∠AED＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FED＝45°＝∠AED，
∵AE＝EF，
∴AQ＝FQ，EQ⊥AF，
∵CP⊥BD，
在Rt△ABQ中，tan∠ABE＝tanα=AQBQ
∴CP∥FQ，
∵∠ABD+∠CBD＝90°，∠BCP+∠CBP＝90°，
∴∠ABQ＝∠BCP，
在△ABQ和△BCP中，∠AQB=∠BPC=90°∠ABQ=∠BCPAB=BC，
∴△ABQ≌△BCP，
∴BQ＝CP，
∵CP∥FQ，
∴△DQF∽△DPC，
∴DFCD=QFPC，
∵QF＝AQ，PC＝BQ，
∴DFCD=AQBQ，
∴DF=AQBQ?CD=tanα?a＝a?tanα．


16．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過點C在△ABC外作射線CE，且∠BCE＝α，點B關(guān)于CE的對稱點為點D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CE于點M，N．
（1）依題意補全圖形；
（2）當α＝30°時，直接寫出∠CMA的度數(shù)；
（3）當0°＜α＜45°時，用等式表示線段AM，CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出圖形即可；
（2）根據(jù)∠AMC＝∠2+∠3，想辦法求出∠2、∠3即可；
（3）結(jié)論：AM=2CN．想辦法證明△AGM是等腰直角三角形，CN＝AG即可解決問題；
【解析】（1）如圖．


（2）∵∠1＝∠2＝30°，∠4＝90°，
∴∠ACD＝150°，
∵CA＝CB＝CD，
∴∠3＝∠CAD＝15°，
∴∠5＝∠2+∠3＝45°，即∠AMC＝45°．

（3）結(jié)論：AM=2CN．
理由：作AG⊥EC于G．
∵點B、D關(guān)于CE對稱，
∴CE是BD的垂直平分線，
∴CB＝CD，
∴∠1＝∠2＝α，
∵CA＝CB，
∴CA＝CD，
∴∠3＝∠CAD，
∵∠4＝90°，
∴∠3=12（180°﹣∠ACD）=12（180°﹣90°﹣α﹣α）＝45°﹣α，
∴∠5＝∠2+∠3＝α+45°﹣α＝45°，
∵∠4＝90°，CE是BD的垂直平分線，
∴∠1+∠7＝90°，∠1+∠6＝90°，
∴∠1＝∠6，
∵AG⊥EC，
∴∠G＝∠8＝90°，
在△BCN和△CAG中，
∠8=∠G∠7=∠6BC=CA，
∴△BCN≌△CAG，
∴CN＝BG，
∵Rt△AGM中，∠G＝90°，∠5＝45°，
∴AM=2AG，
∴AM=2CN．
17．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為線段CB上一點且滿足CD＝CA，連接AD，過點C作CE⊥AB于點E．
（1）如圖1，∠B＝30°，BD＝2，AD與CE交于點P，則∠CPD＝　75°　，AE＝　3+12?。?br /> （2）如圖2，若點F是線段CE延長線上一點，連接FD．若∠F＝45°，求證：AE＝FE．

【分析】（1）如圖1中，設(shè)AC＝CD＝x．根據(jù)BC=3AC，構(gòu)建方程求解即可．
（2）如圖2中，過點C作CJ⊥DF于J，交AB于T，設(shè)DF交AB于K．想辦法證明CE＝ET，CF＝AT即可解決問題．
【解析】（1）解：如圖1中，設(shè)AC＝CD＝x．

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴BC=3AC，
∴x+2=3x，
解得x=3+1，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴AE=12AC=3+12，
∵∠CPD＝∠ACP+∠CAP，
∴∠CPD＝75°．
故答案為75°，3+12．

（2）證明：如圖2中，過點C作CJ⊥DF于J，交AB于T，設(shè)DF交AB于K．

∵CF⊥AB，CT⊥DE，∠CFD＝45°，
∴∠FEK＝∠CET＝∠CJF＝∠KJT＝90°，
∴∠FKE＝∠TKJ＝∠KTJ＝∠ECT＝45°，
∴CE＝ET，
∵∠CAT+∠ACE＝90°，∠ACE+∠FCD＝90°，
∴∠CAT＝∠FCD，
∵AC＝CD，∠ATC＝∠CFD，
∴△ACT≌△CDF（AAS），
∴AT＝CF，
∵ET＝CE，
∴AE＝EF．
18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到Rt△A′B′C，A′C與AB交于點D．
（1）如圖1，當A′B′∥AC時，過點B作BE⊥A′C，垂足為E，連接AE．
①求證：AD＝BD；
②求S△ACES△ABE的值；
（2）如圖2，當A′C⊥AB時，過點D作DM∥A′B′，交B′C于點N，交AC的延長線于點M，求DNNM的值．

【分析】（1）①由平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠B′A′C＝∠A′CA＝∠BAC，得CD＝AD，再證明CD＝BD便可得結(jié)論；
②證明△BEC∽△ACB得CE與CD的關(guān)系，進而得S△ACE與S△ADE的關(guān)系，由D是AB的中點得S△ABE＝2S△ADE，進而結(jié)果；
（2）證明CN∥AB得△MCN∽△MAD，得MNMD=CNAD，應(yīng)用面積法求得CD，進而求得AD，再解直角三角形求得CN，便可求得結(jié)果．
【解析】（1）①∵A′B′∥AC，
∴∠B′A′C＝∠A′CA，
∵∠B′A′C＝∠BAC，
∴∠A′CA＝∠BAC，
∴AD＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，
∵∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴AD＝BD；
②∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，
∴AB=22+42=25，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠ACB＝90°，
∵∠BCE＝∠ABC，
∴△BEC∽△ACB，
∴CEBC=BCAB，即CE2=225，
∴CE=255，
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD=12AB=5，
∴CE=25CD，
∴S△ACE=23S△ADE，
∵AD＝BD，
∴S△ABE＝2S△ADE，
∴S△ACES△ABE=13；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠A′CB′，
∴AB∥CN，
∴△MCN∽△MAD，
∴MNMD=CNAD，
∵S△ABC=12AB?CD=12AC?BC，
∴CD=AC?BCAB=4×225=455，
∴AD=AC2-CD2=855，
∵DM∥A′B′，
∴∠CDN＝∠A′＝∠A，
∴CN＝CD?tan∠CDN＝CD?tanA＝CD?BCAC=455×24=255，
∴MNMD=255855=14，
∴DNNM=3．
19．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為直線CB上一點，且滿足CD＝CA，連接AD，過點C作CE⊥AB于點E．
（1）若AB＝10，CD＝CA＝6，則BD＝　2　，CE＝　245?。?br /> （2）如圖2，若點F是線段CE延長線上一點，連接FD，若∠F＝45°，求證：AE＝EF；
（3）如圖3，設(shè)直線CE與直線AD交于點G，在線段CD的延長線上取一點H，使得DH＝CB，連接HG交直線AB于點I，若∠CGH＝∠B，請直接寫出線段AC和AI之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．

【分析】（1）先利用勾股定理求出BC，再利用S△ABC=12?AC?BC=12?AB?CE，求出CE，即可解決問題．
（2）如圖2中，連接AF，證明A、C、D、F四點共圓，推出∠AFE＝∠CDA＝45°，即可證明．
（3）結(jié)論：AC=3AI．作DK⊥BH交GC的延長線于K，想辦法證明∠B＝∠H＝∠K＝∠CGH＝30°，作AN⊥AC交CG于N，延長CA交GH于M．證明△AIM是等邊三角形，AM＝AN，即可解決問題．
【解析】（1）解：如圖1中，

∵∠ACB＝90°，CD＝CA＝6，AB＝10，
∴BC=AB2-AC2=102-62=8，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵S△ABC=12?AC?BC=12?AB?CE，
∴CE=AC?BCAB=245，
故答案為2，245．

（2）如圖2中，連接AF，

∵∠ACB＝90°，CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠F＝45°，
∴A、C、D、F四點共圓，
∴∠AFE＝∠CDA＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF．

（3）如圖3中，結(jié)論：AC=3AI．

理由：作DK⊥BH交GC的延長線于K．
∵∠CDK＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∠DCK＝∠ECB，
∴∠K＝∠B，∵DC＝CA，
∴△DCK≌△CAB（AAS），
∴DK＝BC＝DH，
∵∠GDH＝∠GDK＝135°，DG＝DG，
∴△GDH≌△GDK（SAS），
∴∠1＝∠2，∠H＝∠K＝∠B，
∵∠CGH＝∠B，
∴∠ECB＝∠H+∠CGH＝2∠B，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝∠K＝∠H＝∠CGH＝∠ACE＝30°，
作AN⊥AC交CG于N，延長CA交GH于M．
則AC=3AN，
∵∠1＝∠2，AG＝AG，∠AMG＝∠ANG＝120°，
∴△AGN≌△AGM，
∴AN＝AM，
∵∠MIA＝∠H+∠B＝60°，∠MAI＝∠CAB＝60°
∴△AIM是等邊三角形，
∴AI＝AM＝AN，
∴AC=3AI．
20．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142．點D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF．
（1）如圖1，若AD＝BD，點E與點C重合，AF與DC相交于點O，請直接寫出BD與DO的數(shù)量關(guān)系．
（2）已知點G為AF的中點．
①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長．
②如圖3，若DG∥BC，EC＝2，求ADBD的值．

【分析】（1）如圖1中，首先證明CD＝BD＝AD，再證明四邊形ADFC是平行四邊形即可解決問題；
（2）①作DT⊥BC于點T，F(xiàn)H⊥BC于H．證明DG是△ABF的中位線，想辦法求出BF即可解決問題；
（3）如圖3，取AB中點O，連接OG，OC，BF，GE，通過證明△DGE∽△FBD，可得∠DGE＝∠DBF＝90°，BDGE=2，由等腰三角形的性質(zhì)可得GE＝EC＝2，可求DB的值，即可求解．
【解析】證明：（1）如圖1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，
∵CD＝CF，
∴AD＝CF，
∵∠ADC＝∠DCF＝90°，
∴AD∥CF，
∴四邊形ADFC是平行四邊形，
∴OD＝OC，
∵BD＝2OD．
（2）①解：如圖2中，作DT⊥BC于點T，F(xiàn)H⊥BC于H．

由題意：BD＝AD＝CD＝72，BC=2BD＝14，
∵DT⊥BC，
∴BT＝TC＝7，
∵EC＝2，
∴TE＝5，
∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，
∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，
∴∠TDE＝∠FEH，
∵ED＝EF，
∴△DTE≌△EHF（AAS），
∴FH＝ET＝5，
∵∠DBE＝∠DFE＝45°，
∴B，D，E，F(xiàn)四點共圓，
∴∠DBF+∠DEF＝90°，
∴∠DBF＝90°，
∵∠DBE＝45°，
∴∠FBH＝45°，
∵∠BHF＝90°，
∴∠HBF＝∠HFB＝45°，
∴BH＝FH＝5，
∴BF＝52，
∵∠ADC＝∠ABF＝90°，
∴DG∥BF，
∵AD＝DB，
∴AG＝GF，
∴DG=12BF=522；
（3）如圖3，取AB中點O，連接OG，OC，BF，GE，

∵∠DBE＝∠DFE＝45°，
∴點D，點B，點F，點E四點共圓，
∴∠DEF+∠DBF＝180°，∠DEB＝∠DFB，
∴∠DBF＝90°，
∵點O是AB中點，點G是AF中點，
∴OG∥BF，BF＝2OG，
∴∠AOG＝90°，且AO＝BO，
∴點G是AB垂直平分線上一點，
∵AC＝BC，
∴點C是AB垂直平分線上一點，
∴點O，點G，點C共線，
∴∠ACO＝∠BCO＝45°，
∵DG∥BC，
∴∠ODG＝∠OBC＝45°，∠OCB＝∠OGD＝45°，∠GDE＝∠BED，
∴∠OGD＝∠ODG＝45°，∠GDE＝∠BFD，
∴OD＝OG，
∴DG=2OG，
∴BFDG=2，DFDE=2，
∴BFDG=DFDE，且∠GDE＝∠BFD，
∴△DGE∽△FBD，
∴∠DGE＝∠DBF＝90°，BDGE=2，
∵DG∥BC，
∴∠DGE＝∠GEC＝90°，且∠OCB＝45°，
∴∠EGC＝∠GCE＝45°，
∴GE＝EC＝2，
∴BD＝22，
∴AD＝AB﹣BD＝122，
∴ADBD=6
21．已知：如圖，等邊△ABC中，D、E分別在AB、AC邊上，且CE＝2AD，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DF，連接EF、BF；
（1）求證：BF平分∠ABC；
（2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值．
（3）若M為DF中點，連接CM與BF延長線交于點N，若CN=52MN，F(xiàn)N＝11，求BF的長．

【分析】（1）過E作EH⊥BC于H，連接DH，得出∠CEH＝30°，CE＝2CH，根據(jù)已知得出DH∥AC，得出△BDH是等邊三角形，進而求得△DHE≌DBF，從而求得∠DBF＝30°即可求得結(jié)論；
（2）在△ADE中，AE＝4a，AD＝a，∠A＝60°，即可求解；
（3）延長BN交AC于P，連接EM，連接PM并延長交AB于Q，EM與BP交于K，先通過△KPE∽△KMF，得出對應(yīng)邊成比例，進而求得△KPM∽△KEF，得出∠BPM＝∠FEM＝30°，從而求得PQ∥BC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出△PMN∽△BCN，進而得出對應(yīng)邊的關(guān)系，再通過△QMD∽△ADE，進一步得出對應(yīng)邊的關(guān)系，從而得出BF與FN的數(shù)量關(guān)系，進而求解．
【解析】（1）過E作EH⊥BC于H，連接DH，

∵∠C＝60°，
∴∠HEC＝30°，
∴CE＝2CH，
∵CE＝2AD，
∴CH＝AD，
∴CHBC=DAAB，
∴HD∥AC，
∴△BHD為等邊三角形，∠DHE＝∠HEC＝30°，
∴HD＝BD，
∵∠EDF＝60°，
∴∠HDE＝∠BDF，
在△DHE與△DBF中，HD＝BD，∠HDE＝∠BDF，ED＝FD，
∴△DHE≌DBF （SAS），
∴∠DBF＝∠DHE＝30°，
∴∠CBF＝∠DBF，
即BF平分∠ABC；

（2）設(shè)AD＝a，則CE＝2AD＝2a，
若AE＝2CE，則AE＝4a，
在△ADE中，AE＝4a，AD＝a，∠A＝60°，過點D作DH⊥AC于點H，

則AH=12AD=12a，HD＝ADsin60°=32a，
則tan∠DEA=DHCH=32a4a-12a=37；

（3）延長BN交AC于P，連接EM，連接PM并延長交AB于Q，EM與BP交于K，

由（1）可知BF是∠ABC的平分線，△DEF是等邊三角形，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BPC＝90°，
∵△DEF是等邊三角形，M是DF的中點，
∴∠EMF＝90°，∠FEM＝30°，
∴∠BPC＝∠EMF＝90°，
又∵∠EKP＝∠FKM，
∴△KPE∽△KMF，
∴EKFK=PKMK，
∵∠EKF＝∠MKP，
∴△KPM∽△KEF，
∴∠BPM＝∠FEM＝30°，
∴∠BPM＝∠PBC＝30°，
∴PQ∥BC，
∴△APQ為等邊三角形，△PMN∽△BCN，
∴MN：CN＝PN：BN＝PM：BC＝2：5，
∵∠A＝∠EDF＝∠PQA＝60°，∠EDQ＝∠A+∠AED，∠EDQ＝∠EDF+∠MDQ，
∴∠AED＝∠MDQ，
∴△QMD∽△ADE，
∴QM：AD＝MD：ED＝1：2，
設(shè)PM＝4a，則BC＝10a，
而△APQ為等邊三角形，故PQ＝5a，則QM＝a，AD＝2a，
而CE＝2AD，故CE＝4a，
而PB＝BC?cos30°＝53a，
∴BN=2537a，
由（1）可知EH＝BF＝23a，
∴FN=1137，
∴BF：FN＝14：11
∴BF=1411FN＝14．
22．已知：△ABC中，BC＝AC＝10，tanB＝2，射線CD平分∠ACB，交AB于點D．Rt△EFG中，∠GEF＝90°，EF＝5，EG=52，將△ABC與△EFG如圖（1）擺放，使點C與點E重合，B、C、E、F共線，現(xiàn)將△EFG沿著射線CD以每秒5個單位的速度向上平移，設(shè)平移時間為t秒．
（1）求點A到BC的距離；
（2）在平移過程中，當△EFG與△ACD有重疊部分時，設(shè)重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及對應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）如圖（2），當點E與點D重合時，將△EFG繞點D旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的△EFG為△EF1G1，在旋轉(zhuǎn)過程中G1F1所在直線與邊AB交于點M，與邊AC交于點N，當△AMN為以MN為腰的等腰三角形時，求AM的長度．

【分析】（1）作高AH，根據(jù)tanB＝2設(shè)BH＝x，則AH＝2x，CH＝10﹣x，利用勾股定理列方程求x的值，則AH＝8；
（2）分四種情形①當0＜t≤32時，如圖2中，重疊部分是△EMN．②當32＜t≤72時，如圖5中，重疊部分是四邊形EGMN．③如圖6中，當72＜t≤4時，重疊部分是五邊形EKPMN．④如圖7中，當4＜t≤6時，重疊部分是△PKF．分別求解即可．
（3）分兩種情形①如圖8中，當GF∥BC時，易證明△MAN是等腰三角形．②如圖9中，當DG∥AC時，易證明△ANM是等腰三角形，MA＝MN，△MGD是等腰三角形，MG＝MD．分別求出DM的長即可解決問題．
【解析】（1）如圖1，過A作AH⊥BC，垂足為H，

在Rt△ABH中，tan∠B=AHBH=2，設(shè)BH＝x，則AH＝2x，CH＝10﹣x，
由勾股定理得：AH2+CH2＝AC2，
（2x）2+（10﹣x）2＝102，
解得：x1＝0（舍），x2＝4，
∴AH＝2x＝8，
答：點A到BC的距離是8；

（2）①如圖2中，重疊部分是△EMN．

由（1）得：AH＝8，BH＝4，
∴CH＝6，
∴AB=82+42=45，
∴AD＝BD＝25，
∵∠ADI＝∠IHC＝90°，∠AID＝∠CIH，
∴∠BAH＝∠ICH，
∵∠BAH+∠B＝90°，∠ICH+∠HIC＝90°，
∴∠B＝∠HIC，
∴tan∠HIC＝tan∠B=CHHI=2，
∴6HI=2，
∴HI＝3，
∴AI＝5，由勾股定理得：DI=52-(25)2=5，CI=32+62=35，
由題意得：CE=5t，
∵EG∥AH，
∴EMAI=CECI，
∴EM5=5t35，
∴EM=53t，tan∠EMN＝tan∠HAC=ENEM=CHAH，
∴EN53t=68，
∴EN=54t，
∴S=12EM?EN=12?53t?54t=2524t2，
如圖3，當G落在AC上時，

EG=53t=52，t=32；∴當0＜t≤32時，S=2524t2；
②如圖4中，當G在AB上時，

∵EG∥AI，
∴EGAI=EDDI，
∴525=DE5，
∴DE=52，
∴CE=725=5t，
∴t=72，
∴當32＜t≤72時，如圖5中，重疊部分是四邊形EGMN，

S＝S△EFG﹣S△MNF=254-（58t2﹣5t+10）=-58t2+5t-154．

③如圖6中，當72＜t≤4時，重疊部分是五邊形EKPMN．

S＝S△GEF﹣S△PGK﹣S△MNF=254-5（t-72）2﹣（58t2﹣5t+10）=-458t2+40t﹣65．

④如圖7中，當4＜t≤6時，重疊部分是△PKF．

S=12?PK?PF=12?（5-5t-452）?2（5-5t-452）=54t2﹣15t+45．
綜上所述，S=2524t2(0＜t≤32)-58t2+5t-154(32＜t≤72)-458t2+40t-65(72＜t≤4)54t2-15t+45(4＜t≤6)．

（3）①如圖8中，當GF∥BC時，易證明△MAN是等腰三角形，

∵MN＝AN，
∴∠A＝∠NMA＝∠G，
∴DG＝DM=52，
∴AM＝AD﹣DM＝25-52．

②如圖9中，當DG∥AC時，易證明△ANM是等腰三角形，MA＝MN，△MGD是等腰三角形，MG＝MD，

作MK⊥GD于K．
∵MG＝MD，MK⊥GD，
∴KD＝KG=54，MK＝2KD=52，
ME=545，
∴AM＝AD﹣MD＝25-545=345．
23．已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠CAB＝30°，∠DAE＝60°，AD＝3，AB=63，且AB，AD在同一直線上，把圖1中的△ADE沿射線AB平移，記平移中的△ADE為△A′DE（如圖2），且當點D與點B重合時停止運動，設(shè)平移的距離為x．
（1）當頂點E恰好移動到邊AC上時，求此時對應(yīng)的x值；
（2）在平移過程中，設(shè)△A′DE與Rt△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量x的取值范圍；
（3）過點C作CF∥AE交AB的延長線于點F，點M為直線BC上一動點，連接FM，得到△MCF，將△MCF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△M′CF′（M的對應(yīng)點為M′，F(xiàn)的對應(yīng)點為F′），問△FMM′的面積能否等于3？若能，請求AM′的長度，若不能，請說明理由．

【分析】（1）和（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形面積的求解方法，求出重疊面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)題意，利用三角形的面積求解方法分三種情況討論，列方程式解方程可求解出AM′的長度．
【解析】（1）∵頂點E恰好移動到邊AC上時，
∴x=33×3+3=12

（2）當0≤x≤3時，S=38x2；
當3＜x≤63時，S=-324x2+3x-323；
當63＜x≤12時，S=-13324x2+(18+3)x-11132；
當12＜x≤63+3時，S=-32x2+18x-9932．

（3）
如圖①所示：設(shè)CM＝CM′＝x，A E D
則S△FMM'=S△FCM'-S△FCM-S△MCM'
=12x?43-12x?23-34x2=3
將其化簡得：x2﹣4x+4＝0
∴x＝2
∴AM′＝12﹣2＝10
如圖②所示：設(shè)CM＝CM′＝x，
則S△FMM'=S△FCM+S△MCM'-S△FCM'
=12x?23+34x2-12x?43=3
將其化簡得：x2﹣4x﹣4＝0
∴x=2±22（舍負）
∴x=2+22
∴AM'=12-(2+22)=10-22
如圖③所示：設(shè)CM＝CM′＝x，
S△FMM'=S△MCM'+S△FCM'-S△FCM
=34x2+12x?43-12x?23=3
將其化簡得：x2+4x﹣4＝0
∴x=-2±22（舍負）
∴x=-2+22
∴AM'=12+(-2+22)=10+22
∴AM′的值為10或10-22或 10+22．
24．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖1擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，BC＝6cm，EF＝12cm．
如圖2，△DEF從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動．當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動、DE與AC相交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）．解答下列問題：
（1）當t＝　12-63　時，點A在線段PQ的垂直平分線上．
（2）當t為何值時，PQ∥DF？
（3）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．


【分析】（1）因為點A在線段PQ垂直平分線上，所以得到線段相等，可得CE＝CQ，用含t的式子表示出這兩個線段即可得解；
（2）利用平行線的性質(zhì)得出AQ＝AM+MQ，進而得出t的值；
（3）利用S四邊形APEC＝S△ABC﹣S△PBE，進而求出即可．
【解析】（1）∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，BC＝6cm，
∴AB＝12cm，AC＝63cm，
依題意，得EC＝QC＝t．
∴BE＝6﹣t，AQ＝63-t，
∵BP＝2t，
∴AP＝12﹣2t．
當點A在線段PQ的垂直平分線上時，AP＝AQ，
∴12﹣2t＝63-t，
解得t＝12﹣63，
即當t＝12﹣63時，點A在線段PQ的垂直平分線上；
故答案為：12-63；

（2）∵PQ∥DF，
∴PQ⊥DE，∠AQP＝45°．
過點P作PM⊥AQ，垂足為M（如圖1）．
∵在Rt△APM中，∠A＝30°，AP＝12﹣2t，
∴PM＝6﹣t＝QM，AM＝（6﹣t）?3=63-3t．
∵AQ＝AC﹣QC=63-t．
故63-3t+6-t=63-t．
解之得t=23．

（3）過點P作PN⊥BC，垂足為N（如圖2），
∵在Rt△PBN中，∠B＝60°，BP＝2t，
∴PN=3t．
∴S△ABC=12BC?AC＝183
∴S四邊形APEC＝S△ABC﹣S△PBE
=183-12(6-t)?3t
=32t2﹣33t+183．
即y=32t2﹣33t+183．
故t的取值范圍是：0≤t≤6．


25．將等邊三角形紙片ABC折疊，使點A落在對邊BC上的點D處，折痕交AB于點E，交AC于點F．
（1）如圖1，當BD＝CD時，求證：AE＝AF；
（2）如圖2，當BDCD=12時，求AEAF的值；
（3）若BDCD=mn，請直接寫出AEAF的值（不需要過程）．

【分析】（1）連接AD，根據(jù)”三線合一“就得出∠DAE＝∠DAF＝30°，由軸對稱可以得出AE＝ED，AF＝DF，進而可以得出△AED≌△AFD即可；
（2）由條件可以得出△BDE∽△CFD，設(shè)BD＝x，CD＝2x，就有BC＝AB＝AC＝3x，設(shè)AE＝DE＝k，BE＝3x﹣k，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以表示出C、DF，再根據(jù)CF+DF＝3x就可以求出x與k的數(shù)量關(guān)系，從而求出結(jié)論；
（3）由條件可以得出△BDE∽△CFD，設(shè)BD＝mx，CD＝nx，就有BC＝AB＝AC＝mx+nx，設(shè)AE＝DE＝k，BE＝mx+nx﹣k，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以表示出C、DF，再根據(jù)CF+DF＝mx+nx就可以求出x與k的數(shù)量關(guān)系，從而求出結(jié)論；
【解析】（1）連接AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵BD＝CD，
∴∠DAE＝∠DAF＝30°．
∵△AEF與△DEF關(guān)于EF對稱，
∴AE＝DE，AF＝DF，
∴∠EDA＝∠EAD＝30°，∠FAD＝∠FDA＝30°，
∴∠EDA＝∠EAD＝∠FAD＝∠FDA．
在△AED和△AFD中，
∠EDA=∠FDAAD=AD∠EAD=∠FAD，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴AE＝AF；

（2）∵△AEF與△DEF關(guān)于EF對稱，
∴AE＝DE，AF＝DF，∠A＝∠EDF＝60°
∴∠BDE+∠CDF＝120°．
∵∠BDE+∠BED＝120°，
∴∠BED＝∠CDF．
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD，
設(shè)BD＝x，CD＝2x，就有BC＝AB＝AC＝3x，設(shè)AE＝DE＝k，BE＝3x﹣k，
∴xCF=3x-k2x，
∴CF=2x23x-k．
∴3x-k2x=kDF，
∴DF=2xk3x-k．
∵DF+CF＝CF+AF＝3x，
∴2x23x-k+2xk3x-k=3x，
k=75x．
∴DF=2x?75x3x-75x=74x，
∴DEDF=AEAF=45；
答：AEAF的值為45；
（3））∵△AEF與△DEF關(guān)于EF對稱，
∴AE＝DE，AF＝DF，∠A＝∠EDF＝60°
∴∠BDE+∠CDF＝120°．
∵∠BDE+∠BED＝120°，
∴∠BED＝∠CDF．
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD，
設(shè)BD＝mx，CD＝nx，就有BC＝AB＝AC＝mx+nx，設(shè)AE＝DE＝k，BE＝mx+nx﹣k，
∴mxCF=mx+nx-knx，
∴CF=mnx2mx+nx-k．
∵mx+nx-knx=kDF，
∴DF=knxmx+nx-k．
∵CF+DF＝CF+AF＝mx+nx，
∴mnx2mx+nx-k+knxmx+nx-k=mx+nx，
∴k=m2x+n2x+mnx2n+m，
∴DF=m2x+n2x+mnx2n+m?nxmx+nx-m2x+n2x+mnx2n+m=(m2+n2+mn)x2m+n．
∴DEDF=AEAF=m2x+n2x+mnx2n+m(m2+n2+mn)x2m+n=2m+n2n+m．
答：AEAF的值為2m+n2n+m．




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