今天整理了初三中考總復(fù)習(xí)階段在教學(xué)過(guò)程中收集的經(jīng)典題目,一共有31講,包括原卷版和解析版,供大家學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)參考。
經(jīng)典題目1:這是一道非常經(jīng)典的最值問(wèn)題,最值模型將軍飲馬和一箭穿心。
經(jīng)典題目2:上面三道題是費(fèi)馬點(diǎn)經(jīng)典問(wèn)題,旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化是費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵。
經(jīng)典題目3:阿氏圓經(jīng)典題目,這道題目實(shí)際包括了隱圓模型,一箭穿心模型等常見幾何模型。
經(jīng)典題目4:這是中考出現(xiàn)頻率比較高的胡不歸問(wèn)題,也是經(jīng)典最值問(wèn)題。
【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題4一線三等角模型
解題策略
在直線AB上有一點(diǎn)P,以A,B,P為頂點(diǎn)的∠1,∠2,∠3相等,∠1,∠2的一條邊在直線AB上,另一條邊在AB同側(cè),∠3兩邊所在的直線分別交∠1,∠2非公共邊所在的直線于點(diǎn)C,D.
1.當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上,且∠3兩邊在AB同側(cè)時(shí).
(1)如圖,若∠1為直角,則有△ACP∽△BPD.

(2)如圖,若∠1為銳角,則有△ACP∽△BPD.
2.當(dāng)點(diǎn)P在AB或BA的延長(zhǎng)線上,且∠3兩邊在AB同側(cè)時(shí).
如圖,則有△ACP∽△BPD.

3.當(dāng)點(diǎn)P在AB或BA的延長(zhǎng)線上,且∠3兩邊在AB異側(cè)時(shí).
如圖,則有△ACP∽△BPD.
經(jīng)典例題
【例1】.(2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))(1)某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí),發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如圖1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BD⊥直線l,CE⊥直線l,垂足分別為點(diǎn)D,E.求證:DE=BD+CE.
(2)組員小明想,如果三個(gè)角不是直角,那結(jié)論是否會(huì)成立呢?如圖2,將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?若成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神,并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題:如圖3,過(guò)△ABC的邊AB,AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC邊上的高.延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I.若S△AEG=7,則S△AEI=______.
【答案】(1)見解析;(2)結(jié)論成立,理由見解析;(3)3.5
【分析】(1)由條件可證明△ABD≌△CAE,可得DA=CE,AE=BD,可得DE=BD+CE;
(2)由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α,且∠DBA+∠BAD=180°-α,可得∠DBA=∠CAE,結(jié)合條件可證明△ABD≌△CAE,同(1)可得出結(jié)論;
(3)由條件可知EM=AH=GN,可得EM=GN,結(jié)合條件可證明△EMI≌△GNI,可得出結(jié)論I是EG的中點(diǎn).
【詳解】解:(1)證明:如圖1中,∵BD⊥直線l,CE⊥直線l,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)解:成立.
理由:如圖2中,
∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠DBA=∠CAE,
在△ADB和△CEA中,
∠BDA=∠AEC∠DBA=∠CAEAB=AC,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)如圖3,過(guò)E作EM⊥HI于M,GN⊥HI的延長(zhǎng)線于N.
∴∠EMI=∠GNI=90°
由(1)和(2)的結(jié)論可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中,
∠GIN=∠EIMEM=GN∠GNI=∠EMI,
∴△EMI≌△GNI(AAS),
∴EI=GI,
∴I是EG的中點(diǎn).
∴S△AEI=12S△AEG=3.5.
故答案為:3.5.
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì),正方形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【例2】.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D,A,E,在直線m上方有AB=AC,且滿足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α.
(1)如圖1,當(dāng)α=90°時(shí),猜想線段DE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是____________;
(2)如圖2,當(dāng)0

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