2025北京市北理工附中高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

班級______姓名______學(xué)號(hào)______
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）
1. 已知點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A B. C. D.
2. 已知向量，，且，那么（）
A. B. 6C. 9D. 18
3. 如圖，在三棱錐O－ABC中，D是BC的中點(diǎn)，若，，，則等于（）
A. B.
C. D.
4. 已知正四棱錐，底面邊長是，體積是，那么這個(gè)四棱錐側(cè)棱長為（）
A. B. C. D.
5. 如圖，在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
6. 已知是兩條不重合的直線，，，是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：
①若則；
②若則；
③若則；
④若是異面直線，則．其中真命題是（）
A. ①和②B. ①和③C. ③和④D. ①和④
7. 在正方體中，直線是底面所在平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，記直線與直線所成的角為，則的最小值是（）
A. B. C. D.
8. 如圖，平行六面體中，，，則（）
A. 1B. C. 9D. 3
9. 如圖，在長方體中，為棱的中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為（）
A. 5B. C. D.
10. 如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)在棱上，下列結(jié)論中不正確的是（）
A. 三棱錐的體積的最大值為
B. 點(diǎn)到平面的距離為
C. 點(diǎn)到直線的距離的最小值為
D. 的最小值為
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分.）
11. 已知向量，，若，則______.
12. 已知正方體的棱長為，則點(diǎn)到直線的距離為______.
13. 如圖，的二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于已知，，，則的長為__________

14. 在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．已知在鱉臑中，平面ABC，．M為PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面MAB的距離為______．
15. 如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是________．
①直線平面
②三棱錐體積為定值
③異面直線AP與所成角的取值范圍是
④直線與平面所成角的正弦值的最大值為
三、解答題（本大題共4小題，每小題10分，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.）
16. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，分別為，中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）若，平面，求證：平面.
17. 如圖，在直三棱柱中，，、分別為、的中點(diǎn)，.

（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn).
（1）求證：；
（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，求平面與平面所成銳二面角的大小.
條件①：；
條件②：平面平面；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
19. 在梯形中，，，，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)（如圖1）.將△沿折起到△位置，使得（如圖2）.
（1）求證：平面平面；
（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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