2024-2025學(xué)年北京市高二上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．B．C．D．
2．圓：和圓：的公切線的條數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
3．已知為平面的一個(gè)法向量，l為一條直線，為直線l的方向向量，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
5．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則（）
A．B．C．D．4
6．過直線與的交點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為的直線方程為（）
A．B．
C．D．
7．已知三棱錐中，兩兩垂直，且，則點(diǎn)P到平面的距離為（）
A．B．C．D．
8．已知點(diǎn).若直線與線段相交,則的取值范圍是（）
A．B．
C．或D．
9．若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線：和：上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為（）
A．B．C．D．
10．已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點(diǎn)P，且是等邊三角形，則橢圓E的離心率為（）
A．B．C．D．
11．已知直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，則面積的最大值為（）
A．B．
C．5D．10
12．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)為側(cè)面的中心，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，正方體表面上有一點(diǎn)滿足，則所有滿足條件的點(diǎn)所構(gòu)成圖形的面積為（）
A．B．C．D．
二、填空題共6小題，每小題4分，共24分.
13．若直線與直線垂直，則 .
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線被圓截得的弦長為 .
15．已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則 .
16．已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則的取值范圍為 .
17．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，給出下列三個(gè)論斷：
①A1F⊥BE；
②A1F＝3；
③S△ADF＝2S△ABF.
以其中的一個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題： .
18．已知實(shí)數(shù)、、、滿足：，，，設(shè)，，則，的最大值為 .
三、解答題共3小題，共28分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
19．在平面直角坐標(biāo)系中，，是一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)：
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線過點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
20．如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是正方形，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，，，.
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若點(diǎn)在棱上，且，判斷平面與平面是否平行，并說明理由.
21．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，過點(diǎn)且與x軸不重合的直線l與橢圓交于M，N不同的兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓P的方程；
（Ⅱ）當(dāng)AM與MN垂直時(shí)，求AM的長；
（Ⅲ）若過點(diǎn)P且平行于AM的直線交直線于點(diǎn)Q，求證：直線NQ恒過定點(diǎn)．
1．B
【分析】寫出直線斜截式，根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系確定傾斜角大小.
【詳解】由題設(shè)，設(shè)傾斜角為且，則，
所以.
故選：B
2．C
【分析】根據(jù)圓的方程確定出兩圓的圓心和半徑，然后根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系，由此得到公切線條數(shù).
【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)圓：和：，
即，，
所以圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
所以兩圓圓心距為，
因?yàn)?，所以兩圓外切，有3條公切線，
故選：C.
3．B
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)及其法向量與方向向量的關(guān)系，即可判斷得出結(jié)論.
【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示：
若，則可以在平面內(nèi)，即，所以充分性不成立；
若，易知，由線面垂直性質(zhì)可知，即必要性成立；
所以可得“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
4．A
【分析】設(shè)，,，利用為線段的中點(diǎn)，得到點(diǎn)坐標(biāo)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，將點(diǎn)坐標(biāo)用點(diǎn)坐標(biāo)表示，然后代入圓的方程即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
【詳解】設(shè)，,，則,．
為線段的中點(diǎn)，
，即，．
又點(diǎn)在圓上，
，即．
故點(diǎn)的軌跡方程為．
故選：A
5．A
【分析】根據(jù)條件求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),
所以，
故選：A.
6．A
【分析】求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合方向向量求出直線方程.
【詳解】由，解得，即直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
而該直線的斜率為，所以所求直線的方程為，即.
故選：A
7．C
【分析】可根據(jù)等體積求解，即，根據(jù)三棱錐中，三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為1，即可求得
【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
∵兩兩垂直，且，
∴，，
∴，
∵，即
∴，
∴，即點(diǎn)到平面的距離為，
故選：C
8．D
【分析】求出直線所過定點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)定點(diǎn)是,求出斜率,由圖形可得結(jié)論.
【詳解】由已知直線恒過定點(diǎn),
如圖所示,若與線段相交,則,

因?yàn)?
所以.
故選:D.
9．C
【分析】根據(jù)題意易得，M點(diǎn)的軌跡為平行于直線、且到、距離相等的直線l，求出其方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出結(jié)果．
【詳解】由題意知，M點(diǎn)的軌跡為平行于直線、且到、距離相等的直線l，
可設(shè)直線l方程為，
直線、與y軸的交點(diǎn)分別為、，則直線l與y軸的交點(diǎn)分別為，
將代入直線l的方程得，
故其方程為，
到原點(diǎn)的距離的最小值為．
故選C．
10．D
【分析】根據(jù)題意推出，繼而由是等邊三角形求得，再利用橢圓定義即可求得答案.
【詳解】由題意知，O為的中點(diǎn)，故，
是等邊三角形，即有，
又P在橢圓上，故，即，
即橢圓E的離心率為，
故選：D
11．C
【分析】由直線方程求出定點(diǎn)，確定，即在以為直徑的圓上，由圓的性質(zhì)得點(diǎn)到的距離最大值為圓半徑，由此可得面積最大值．
【詳解】由直線的方程是得直線過定點(diǎn)，同理直線方程為，即，所以定點(diǎn)，
又，所以，即在以為直徑的圓上，
，由圓的性質(zhì)知點(diǎn)到的距離最大值等于圓半徑，即，
所以面積的最大值為．
故選：C．
12．D
【分析】根據(jù)題意可知四點(diǎn)共面，設(shè)為，則平面與平面的交線與平行.分點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，探求軌跡，進(jìn)而確定符合條件的點(diǎn)所在區(qū)域，計(jì)算面積即可.
【詳解】根據(jù)條件可知，四點(diǎn)共面，
設(shè)四點(diǎn)確定的平面為，則平面與平面的交線與平行，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取的中點(diǎn),連接,
則點(diǎn)的軌跡為線段；

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)的軌跡為線段,

則當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)所在的區(qū)域?yàn)橹苯翘菪?
其面積為,
故D.
13．或
【分析】根據(jù)直線垂直列出方程，解出即可.
【詳解】因?yàn)閮芍本€垂直，則，
解得或，
故或.
14．4
【分析】先根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出弦心距，然后利用弦，弦心距和半徑的關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離為，
所以所求弦長為，
故4
15．6
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長結(jié)合橢圓的定義及方程即可求解.
【詳解】依據(jù)題意及橢圓方程，
則，
又，
所以，
故6.
16．
【分析】把給定方程化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出的范圍即可得解.
【詳解】方程化為：，于是，解得，
所以.
故
17．若，則；(若，則)．寫出其中一個(gè)即可.
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，
則，0，，，2，，，1，，，，，
設(shè)，，，，，則，，，
，
，
，
，
以其中的一個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，能寫出兩個(gè)正確的命題：
若，則；若，則．
故若，則；(若，則)．寫出其中一個(gè)即可.．
18． 1 ##
【分析】作出圓與直線，可得，都在圓上，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得，可得，取、的中點(diǎn)，過作，垂足為，把轉(zhuǎn)化為，求出，再求出到直線的距離，則答案可求．
【詳解】作出圓，與直線，
由題意，，都在圓上，
∴且，又由，
∴；
∴,即為正三角形，
∴，
表示和到直線的距離和，
由圖可知，只有當(dāng)、都在直線的左側(cè)，距離之和才會(huì)取得最大值．
取、的中點(diǎn)，過作，垂足為，則，
因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，，
則在圓上運(yùn)動(dòng)，
故到直線距離的最大值為圓心到直線的距離+半徑，
的最大值為．
故1；.
.
本題解決的關(guān)鍵是利用所求與已知式子的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題
19．(1)；
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出的圓心坐標(biāo)及半徑即可得解.
（2）由圓的弦長公式求出圓心到直線的距離，再按斜率存在與否分類求出直線方程.
【詳解】（1）依題意，的圓心，半徑，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）由（1）知的圓心，半徑，而，
因此圓心到直線的距離，
點(diǎn)到過點(diǎn)的直線的距離為1，因此直線符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
由，解得，方程為，
所以所求直線的方程為或.
20．（1）證明見解析（2）（3）平面與平面不平行；詳見解析
【分析】
（1）根據(jù)平面平面和得平面.，得；
（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩個(gè)半平面的法向量可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)平面的法向量與向量不垂直可得結(jié)論.
【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面平面，
所以平面.
又因?yàn)槠矫妫?br>所以.
（2）由（1）知，，，所以.
又，，，
所以.所以.
如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.
所以，，，.
則有，，，
平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
又，，
由得
令，則，.所以.
設(shè)二面角的平面角為，則.
由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為.
（3）平面與平面不平行.理由如下：
由（2）知，平面的一個(gè)法向量為，，
所以，所以與平面不平行.
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面與平面不平行.
本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理，考查了線面垂直的性質(zhì)，考查了二面角的向量求法，考查了用法向量判斷面面平行，屬于中檔題.
21．（1）；（2）；（3）證明見解析.
【分析】（1）由題意布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到結(jié)果；
（2）由與垂直得,結(jié)合點(diǎn)在曲線上，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得結(jié)果；
（3）設(shè)，，由題意，設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?，所?
因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)與短軸一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，
所以 ,
又 ,
所以，
所以橢圓方程為 .
（2）方法一：
設(shè),
， ,
,
,
，（舍）
所以.
方法二：
設(shè)，
因?yàn)榕c垂直，
所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，
又以為直徑的圓的圓心為，半徑為，方程為,
，
，（舍）
所以
方法三：
設(shè)直線的斜率為，，其中

化簡得
當(dāng)時(shí)，
得，
顯然直線存在斜率且斜率不為0.
因?yàn)榕c垂直，
所以 ,
得，， ,
所以
（3）直線恒過定點(diǎn),
設(shè)，，
由題意，設(shè)直線的方程為，
由得，
顯然，，則，，
因?yàn)橹本€與平行，所以，
則的直線方程為，
令，則，即 ,
，
直線的方程為,
令，得,
因?yàn)?，故?br>所以直線恒過定點(diǎn).
圓錐曲線中定點(diǎn)問題的常見解法
（1）假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；
（2）從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意．

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