一、選擇題（共12小題，每小題4分，共48分，選出符合題目要求的一項）
1．已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝的虛部為（ ）
A．iB．2C．－1D．－i
2．已知點與關(guān)于直線對稱，則的值分別為（ ）
A．1，3B．，C．-2，0D．，
3．已知兩條不重合的直線和平面，則的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
4．與橢圓有相同焦點，且滿足短半軸長為的橢圓方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，若，，的面積為，則（ ）
A．13B．C．2D．
6．直線與圓相交于，兩點，則的面積為
A．B．C．D．
7．若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（ ）
A．B．5C．D．10
8．已知橢圓的左焦點是，右焦點是，點P 在橢圓上，如果線段的中點在軸上，那么
A．3 : 5B．3 : 4C．4 : 3D．5 : 3
9．四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)．根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷可能出現(xiàn)點數(shù)為6的是（ ）
A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2
C．平均數(shù)為2，方差為2.4D．中位數(shù)為3，方差為2.8
10．橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點軌跡為圓：，這個圓稱為橢圓的蒙日圓．在圓上總存在點P，使得過點P能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函數(shù)，若，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于（ ）
A．B．C．D．
12．如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，，N為棱上的中點，M為棱上的動點，過N作平面ABM的垂線段，垂足為點O，當點M從點C運動到點時，點O的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）
13．已知橢圓的離心率為，則 .
14．已知x，y滿足，則的最大值為 ．
15．已知直線，.若，則的值為 ；若直線與圓交于兩點，則 .
16．已知橢圓的左、右焦點分別是，且是面積為的正三角形．過垂直于的直線交橢圓M于B，C兩點，則的周長為 ．
17．已知為直線上的一個動點，為圓上的兩個動點，則的最大值是 ．
18．某中學開展“勞動創(chuàng)造美好生活”的勞動主題教育活動，展示勞動實踐成果并進行評比，某學生設(shè)計的一款如圖所示的“心形”工藝品獲得了“十佳創(chuàng)意獎”，該“心形”由上、下兩部分組成，并用矩形框虛線進行鑲嵌，上部分是兩個半徑都為的半圓，分別為其直徑，且，下部分是一個“半橢圓”，并把橢圓的離心率叫做“心形”的離心率．
（1）若矩形框的周長為，則當該矩形框面積最大時， ；
（2）若，圖中陰影區(qū)域的面積為，則該“心形”的離心率為 ．
三、解答題（共5題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）
19．給出以下三個條件：
①直線，是圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，
②，
③對任意的，；
請從這三個條件中任選一個將下面的題目補充完整，并求解．
已知函數(shù)，，______．
(1)求的表達式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間以及在區(qū)間上的值域．
20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，，平面，且，點在棱上，點為中點．
(1)證明：若，直線平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在求出值；若不存在，說明理由．
21．某心理教育測評研究院為了解某市市民的心理健康狀況，隨機抽取了n位市民進行心理健康問卷調(diào)查，將所得評分(百分制)按研究院制定的心理測評評價標準整理，得到頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在[70，80)中的市民有200人心理測評評價標準
（1）求n的值及頻率分布直方圖中t的值；
（2）在抽取的心理等級為D的市民中，按照調(diào)查評分的分組，分為2層，通過分層隨機抽樣抽取3人進行心理疏導.據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)心理疏導后，調(diào)查評分在[40，50)的市民的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為，調(diào)查評分在[50，60)的市民的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為，假設(shè)經(jīng)心理疏導后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，求在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率；
（3）該心理教育測評研究院建議該市管理部門設(shè)定預(yù)案：若市民心理健康指數(shù)的平均值不低于0.75，則只需發(fā)放心理指導資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.(每組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，心理健康指數(shù)=調(diào)查評分÷100)
22．已知線段的端點的坐標是，端點的運動軌跡是曲線，線段的中點的軌跡方程是．
(1)求曲線的方程；
(2)已知斜率為的直線與曲線相交于異于原點的兩點直線的斜率分別為，，且證明：直線恒過定點．
23．設(shè)A是正整數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意，都有或，則稱A為自鄰集.記集合的所有子集中的自鄰集的個數(shù)為.
(1)直接寫出的所有自鄰集；
(2)若為偶數(shù)且，求證：的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù)；
(3)若，求證.
調(diào)查評分
[0，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
心理等級
E
D
C
B
A
1．C
【分析】先化簡分母，再分母實數(shù)化，化簡即可.
【詳解】因為z＝，所以z的虛部為－1.
故選：C.
本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.
2．B
點關(guān)于直線對稱，則利用垂直關(guān)系，以及線段的中點在直線上，列式求解.
【詳解】，若點與關(guān)于直線對稱，
則直線與直線垂直，直線的斜率是，
所以，得.
線段的中點在直線上，則，得
故選:B
3．C
【分析】利用直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系判斷.
【詳解】A. 當時，或m與n異面或相交，故錯誤；
B. 當時，或m與n異面或相交，故錯誤；
C. 當時，，反之不一定成立，故正確；
D. 當時，或m與n異面，故錯誤；
故選：C
4．B
【分析】由焦點和短半軸長，待定系數(shù)法求橢圓方程.
【詳解】橢圓化成標準方程為，焦點在軸上，
設(shè)所求橢圓方程為，
依題意有，所以，所求橢圓方程為.
故選：B
5．B
【分析】先用面積公式求出c，再用余弦定理求出a.
【詳解】在中， ，，的面積為，
所以,解得：c=4.
由余弦定理得：
,
所以.
故選：B.
6．B
【分析】此題直線與圓的交點恰有一點就是（0，1），就以1為底，另一點到y(tǒng)軸的距離就是另一點的橫坐標的絕對值為高，求得面積．
【詳解】解得 或

故選B
求解三角形面積問題，選取合適的底和高是解題關(guān)鍵．
7．A
由直線過圓心得滿足的關(guān)系式，說明點在一條直線上，由點到平面的距離公式可得最小值．
【詳解】由題意直線過已知圓的圓心，圓心為，∴，即，
點在直線上，
表示直線的點到點的距離，
∴最小值為．
故選：A．
方法點睛：本題考查二元函數(shù)的最值問題．解題方法是利用其幾何意義：兩點間距離求解，解題關(guān)鍵是求出滿足的條件，得點在一條直線上，從而只要求得定點到直線的距離即可得．
8．A
【分析】求出橢圓的焦點坐標，再根據(jù)點P在橢圓上，線段的中點在軸上,求得P點坐標，進而計算，從而求解.
【詳解】由橢圓方程可得：,
設(shè)P點坐標為，線段的中點為，
因為線段的中點在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，
不妨取,則，
所以 ，故選A.
本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，距離公式，中點公式，屬于中檔題.
9．ABD
【分析】根據(jù)題意舉例判斷即可
【詳解】解：對于A，當擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點6，所以A正確；
對于B，當擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為2，2，3，4，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點6，所以B正確；
對于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)點數(shù)6，則方差，所以當平均數(shù)為2，方差為2.4時，一定不會出現(xiàn)點數(shù)6，所以C錯誤；
對于D，當擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，則平均數(shù)為，方差為，所以可以出現(xiàn)點6，所以D正確，
故選：ABD
10．D
【分析】根據(jù)蒙日圓的定義，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點的問題，根據(jù)兩圓關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意可知：與橢圓相切的兩條互相垂直的直線的交點的軌跡為
圓：，圓心
由于在圓，圓心，
故兩圓有公共點即可，
故兩圓的圓心距為，故.
故選：D
11．B
【分析】結(jié)合圖象即可得到，進而求得，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可求得周期和，從而求得答案.
【詳解】由圖可知，函數(shù)過點和點，即，
又因為，所以，
結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可知， ，解得，
所以，解得，因為，所以
所以，所以，
即，
解得，
因為，所以
故選：B.
12．B
【分析】根據(jù)條件先判斷出點的軌跡為圓的一部分，再由弧長公式求解即可.
【詳解】取AB中點P，連接PC，C1N，如圖，
因為PC⊥AB，PN⊥AB，
且PN∩PC=P，所以AB⊥平面，AB平面ABM ,
所以平面ABM⊥平面，平面ABM∩平面= PM，
過N作NO⊥PM，NO平面，所以NO⊥平面ABM，
當點M從點C運動到點C1時，點是以PN為直徑的圓 (部分)，如圖，
當M運動到點時，點到最高點，此時，
所以，從而，
所以弧長，即點的軌跡長度為.
故選: B
13．4
【分析】將橢圓化成標準方程得，由橢圓的離心率為，利用，化簡整理，可求得．
【詳解】由題意得：
橢圓化成標準方程為，
∵橢圓的離心率為，
∴，
，又，
∴，
故．
故答案為.
本題主要考查了橢圓離心率有關(guān)的問題，注意公式的運用，解題過程注意的關(guān)系．屬于較易題.
14．##
【分析】設(shè)，故直線與圓有交點，從而利用點到直線距離得到不等式，求出答案.
【詳解】可化為，
設(shè)，
則直線與圓有交點，所以，解得，
的最大值為2+2．
故．
15． -1 ..
【分析】由列式求解值；利用直線系方程求出直線所過定點，化圓的方程為標準方程，求出圓心坐標與半徑，作出圖象，再由垂徑定理求．
【詳解】解：直線，
若，則，解得；
直線過定點，
化圓為，
可知圓心坐標為，半徑為5.
如圖，，
則.
故-1；.

本題考查直線的一般方程與直線平行的關(guān)系，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法．
16．
【分析】由面積為，且其為正三角形，可得.后由中垂線性質(zhì)結(jié)合橢圓定義可得答案.
【詳解】如圖，設(shè)，則，因面積為，且其為正三角形，又，則，則.
又直線BC過，與垂直，為正三角形，則直線BC為中垂線，
則，又，
故的周長，又C，B在橢圓上，則由橢圓定義有.
故
17．
【分析】分析出當為圓的切線且⊥時，最大，結(jié)合，求出此時，從而得到最大值.
【詳解】的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離，
若要最大，則最大，
顯然當為圓的切線時，最大，此時，
由于，故當最小時，取得最大值，則最大，
當⊥時，最小，最小值為，
故，所以，
故的最大值為.
故
18． 1 ##0.5
【分析】空1：設(shè)矩形的寬為，寫出面積表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可；
空2：建立合適的直角坐標系，求出點的坐標即可.
【詳解】設(shè)矩形的寬為，則長為，
矩形面積，
當且僅當時，矩形框面積最大為9，
所以；
如圖，以為軸，的中垂線為軸，直線交軸于點，
設(shè)為橢圓長軸，則，
所以圓圓
聯(lián)立兩圓方程得，
所以，，
所以扇形面積，
又因為，所以，即，
得，
，
解得，又，所以，
則.
故1；.
關(guān)鍵點點睛：陰影部分面積的表示中的難點是，需要先利用相似三角形表示出點的橫坐標即可.
19．(1)任選一條件，都有
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為：，值域為．
【分析】（1）先進行三角恒等變換求出，再分別選三個條件，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，分別求解，即可得出函數(shù)解析式；
（2）先根據(jù)圖象變換求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域求解.
【詳解】（1）
．
選①時，由于直線，是圖象的任意兩條對稱軸，
且的最小值為，
所以，解得，
所以．
選②時，，即，
整理得，
故，
由于，
故當時，，
所以．
選③時，對任意的，，
所以，
即，，解得：，，
由于，故當時，，
所以．
（2）函數(shù)的圖象向右平移個單位后，
再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，
得到函數(shù)的圖象，
令，
整理得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：．
由于，所以，
故．
所以函數(shù)的值域為．
20．(1)證明見解析
(2)
(3)存在點，此時或．
【分析】（1）先利用面面平行的判定定理證明平面平面，從而得線面平行；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角；
（3）假設(shè)存在點，設(shè)，即，，利用線面角的向量法求的值即可.
【詳解】（1）如圖所示，在線段上取一點，使，連接，，
，，平面，平面，
平面，
又，，
且，四邊形為平行四邊形，
，平面，平面，平面，
又平面，
所以平面平面，
平面，
平面；
（2）如圖所示，以點為坐標原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
又是中點，則，
所以，，，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，
所以，
則二面角的余弦值為
（3）假設(shè)存在點，
設(shè)，即，，
由（2）得，，，且平面的法向量，
則，，
則，，
，
解得或，
故存在點，此時或．
21．（1），t=0.002；（2）；（3）只需發(fā)放心理指導材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動，理由見解析.
【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面積和為1求的值；
（2）設(shè)事件M=“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B”，利用對立事件的概率公式求解；
（3）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)求出平均數(shù)即得解.
【詳解】解：(1)由已知條件可得，又因為每組的小矩形的面職之和為1.
所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8t)×10=1，解得t=0.002·
(2)由(1)知：t=0.002，
所以調(diào)查評分在[40，50)中的人數(shù)是調(diào)查評分在[50，60)中人數(shù)的，
若按分層抽樣抽取3人，則調(diào)查評分在[40，50)中有1人，在[50，60)中有2人，
設(shè)事件M=“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B”.
因為經(jīng)心理疏導后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，
所以
所以
故經(jīng)心理疏導后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為·
(3)由頻率分布直方圖可得，
45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7.
估計市民心理健康調(diào)查評分的平均值為80.7，
所以市民心理健康指數(shù)平均值為.
所以只需發(fā)放心理指導材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動.
22．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用中點坐標公式以及求軌跡方程的方法求解；
（2）利用韋達定理結(jié)合題意求解.
【詳解】（1）（1）設(shè)，，
由中點坐標公式得
因為點的軌跡方程是，
所以，
整理得曲線的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，，，
由，得，
所以，，
所以
，
所以，且即，
即，
所以直線的方程為，即直線過定點．
方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為，；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；
（5）代入韋達定理求解.
23．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)自鄰集的定義及子集的概念一一寫出結(jié)果即可；
（2）取的一個含5個元素的自鄰集，判定
集合，再證明C也是自鄰集且，從而得出結(jié)論；
（3）記自鄰集中最大元素為的自鄰集的個數(shù)為，，則當時有，再分類討論證明即可.
【詳解】（1）由題意可得，的所有自鄰集有：；
（2）對于的含5個元素的自鄰集，
不妨設(shè).
因為對于，都有或，，2，3，4，5，
所以，，或.
對于集合，，，，，
因為，所以，，2，3，4，5，
，
所以.
因為，，或.
所以，，
或，
所以對于任意或，，2，3，4，5，
所以集合也是自鄰集.
因為當為偶數(shù)時，，
所以.
所以對于集合的含5個元素的自鄰集，在上述對應(yīng)方法下會存在一個不同的含有5個元素的自鄰集與其對應(yīng).
所以，的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù).
（3）記自鄰集中最大元素為的自鄰集的個數(shù)為，，
當時，，，
顯然.
下面證明.
①自鄰集含有，，這三個元素，記去掉這個自鄰集中的元素后的集合為
因為，，所以仍是自鄰集，且集合中的最大元素是，
所以含有，，這三個元素的自鄰集的個數(shù)為.
②自鄰集含有，這兩個元素，不含，且不只有，這兩個元素，
記自鄰集除，之外最大元素為，則，每個自鄰集去掉，這兩個元素后，仍為自鄰集.
此時的自鄰集的最大元素為，可將此時的自鄰集分為個；
其中含有最大數(shù)為2的集合個數(shù)為，
含有最大數(shù)為3的集合個數(shù)為，，
含有最大數(shù)為的集合個數(shù)為.
則這樣的集合共有個.
③自鄰集只含有，這兩個元素，這樣的自鄰集只有1個.
綜上可得，
所以，
故時，得證.
思路點睛：第二問取自鄰集，和集合，，，，，先由定義判定，且集合也是自鄰集，.即可證明結(jié)論；第三問記自鄰集中最大元素為的自鄰集的個數(shù)為，有，再分三類①自鄰集含有，，這三個元素的自鄰集的個數(shù)為，②自鄰集含有，這兩個元素的集合共有個，③自鄰集只含有，這兩個元素，這樣的自鄰集只有1個來證明：即可.

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