一、單選題（本大題共10小題）
1．在空間直角坐標系中，點，則（ ）
A．直線坐標平面B．直線坐標平面
C．直線坐標平面D．直線坐標平面
2．在三棱柱中，為棱的中點．設，用基底表示向量，則（ ）
A．B．
C．D．
3．已知a，b為兩條直線，，為兩個平面，且滿足，，，//，則“a與b異面”是“直線b與l相交”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別為和的中點，那么直線AM與CN夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．在正四面體中，棱與底面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．正四棱錐的側棱長是底面邊長的倍，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．在某次數(shù)學探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對四面體中的直線、平面的位置關系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
8．在2023年3月12日馬來西亞吉隆坡舉行的Yng Jun KL Speedcubing比賽半決賽中，來自中國的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績打破了“解三階魔方平均用時最短”吉尼斯世界紀錄稱號.如圖，一個三階魔方由27個單位正方體組成，把魔方的中間一層轉動了之后，表面積增加了（ ）

A．54B．C．D．
9．如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段（不含端點）上運動，則下列結論正確的是（ ）
①的外接球表面積為；
②異面直線與所成角的取值范圍是；
③直線平面；
④三棱錐的體積隨著點的運動而變化.
A．①②B．①③C．②③D．③④
10．如圖1，某同學在一張矩形卡片上繪制了函數(shù)的部分圖象，A，B分別是圖象的一個最高點和最低點，M是圖象與y軸的交點，，現(xiàn)將該卡片沿x軸折成如圖2所示的直二面角，在圖2中，則下列結果不正確的是（ ）
A．
B．點D到平面的距離為
C．點D到直線的距離為
D．平面與平面夾角的余弦值為
二、填空題（本大題共6小題）
11．已知，是空間兩向量，若，則與的夾角為 ．
12．三個空間向量，，不共面，且存在實數(shù)，使.則 .
13．如圖，圓錐的體積為，過的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，設圓柱體積為，則 ．
14．如圖，在長方體中，，，點在側面上．若點到直線和的距離相等，則的最小值是 ．
15．如圖，在四棱錐中，底面，為直角，，，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點，，且二面角的平面角大于，則的取值范圍是 .
16．已知單位向量兩兩的夾角均為（，且），若空間向量滿足，，則有序實數(shù)組稱為向量在“仿射”坐標系（O為坐標原點）下的“仿射”坐標，記作，有下列命題：
①已知，，則；
②已知，，其中，則當且僅當時，向量的夾角取得最小值；
③已知，，則；
④已知，，，則三棱錐的表面積.
其中真命題為 （寫出所有真命題的序號）．
三、解答題（本大題共2小題）
17．如圖，在四棱錐中，，四邊形ABCD是正方形，，E是棱PD上的動點，且.

(1)證明：平面ABCD；
(2)是否存在實數(shù)，使得平面PAB與平面AEC所成夾角的余弦值是？若存在.求出的值；若不存在，請說明理由.
18．如圖，正方體的棱長為2，E為BC的中點.點在上.再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使點M唯一確定，并解答問題.
條件①：
條件②：；
條件③：平面.
(1)求證：為的中點；
(2)求直線EM與平面所成角的大小，及點E到平面的距離.
參考答案
1．【答案】C
【分析】首先求向量的坐標，再判斷向量與坐標平面的法向量的關系，即可判斷選項.
【詳解】由題意可知，，
平面的法向量為，
因為，且
所以與既不平行也不垂直，所以直線與坐標平面既不平行也不垂直，
故AB錯誤；
坐標平面的法向量為，
，所以，且平面，故C正確，D錯誤.
故選：C
2．【答案】A
【分析】取的中點，連接，，根據空間向量線性運算法則計算可得.
【詳解】取的中點，連接，，
因為是的中點，，
所以.
故選：A
3．【答案】C
【分析】根據空間中線、面關系結合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若“a與b異面”，反證：直線b與l不相交，由于，則//，
∵//，則//，
這與a與b異面相矛盾，故直線b與l相交，
故“a與b異面”是“直線b與l相交”的充分條件；
若“直線b與l相交”，反證：若a與b不異面，則a與b平行或相交，
①若a與b平行，∵//，則//，這與直線b與l相交相矛盾；
②若a與b相交，設，即，
∵，，則，
即點A為，的公共點，且，
∴，
即A為直線a、l的公共點，這與//相交相矛盾；
綜上所述：a與b異面，即“a與b異面”是“直線b與l相交”的必要條件；
所以“a與b異面”是“直線b與l相交”的充分必要條件.
故選：C.
4．【答案】D
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角公式求解.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：
則，
所以，
所以，
故選D.
5．【答案】B
【分析】根據題意作出線面角的平面角，利用線面垂直和勾股定理即可求出正弦值為.
【詳解】如下圖所示：
取為底面的中心，為底面的中點，連接；
由正四面體性質易知底面，且三點共線，
所以即為棱與底面所成角的平面角，
取正四面體的棱，可得，
由正三角形中心可得，勾股定理可得
所以；
故選：B
6．【答案】D
【分析】由題意設出底面邊長，列出關于的不等式求解即可.
【詳解】設正四棱錐的底面邊長為，正四棱錐的高為，側棱長度為，
則，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D.
7．【答案】C
【分析】根據題意，結合線面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于①中，因為二面角為直二面角，可得平面平面，
又因為平面平面，，且平面，
所以平面， 所以①正確；
對于②中，由平面，且平面，可得，
又因為，且，平面，
所以平面，所以②正確；
對于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；
對于④，中，因為平面，且平面，可得平面平面，
若平面平面，且平面平面，可得平面，
又因為平面，所以，
因為與不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯誤.
故選：C.
8．【答案】C
【詳解】如圖，

轉動了后，此時魔方相對原來魔方多出了16個小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形，
設直角邊，則斜邊為，則有，得到，由幾何關系得：陰影部分的面積為，
所以增加的面積為.
故選：C.
9．【答案】C
【分析】根據正方體棱長可知其外接球半徑為,其表面積為，可判斷①錯誤；建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角的余弦值可求得②正確，求出平面的法向量為，可知，即③正確，易知點到平面的距離是定值，利用等體積法可知三棱錐的體積為定值，即④錯誤.
【詳解】對于①，根據題意，設棱長為2的正方體外接球半徑為,
則滿足，可得，
此時外接球的表面積為，可知①錯誤；
對于②，以為坐標原點，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：
則，所以，
設，其中；
可得，
異面直線與所成角的余弦值為，
易知時，，
可得，
所以異面直線與所成角的取值范圍是，即②正確；
對于③，由②可知，，則；
設平面的法向量為，又，
則，取，則；
所以平面的法向量為，
此時，可得，又平面，
所以直線平面，即③正確；
對于④，根據正方體性質平面，所以，
易知直線到平面的距離是定值，底面的面積為定值，
所以三棱錐的體積為定值，因此三棱錐的體積不會隨點的運動而變化，即④錯誤；
綜上所述，正確的結論為②③.
故選：C
【點睛】方法點睛：求解異面直線所成角的方法：
（1）平移法：將兩異面直線通過平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值；
（2）向量法：建立空間直角坐標系利用空間向量所成的角與異面直線所成的角的關系，求得兩向量夾角的余弦值.
10．【答案】C
【詳解】對于A，在圖1中，由，得，，，，
在圖2中，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
則，得，故A正確．
對于B，設平面的法向量為，，
則，即，取，則，，
所以平面的一個法向量，
所以點D到平面的距離為，故B正確．
對于C，取，，
則，，所以點D到直線的距離為，故C錯誤．
對于D，平面的一個法向量為，
則平面與平面夾角的余弦值為，故D正確.
故選：C.
11．【答案】
【分析】利用平方的方法化簡已知條件，從而求得與的夾角.
【詳解】設與的夾角為，
所以根據，
，
即，
又，．
故答案為：
12．【答案】
【分析】由條件，結合空間向量基本定理可求，由此可求結論.
【詳解】因為，，，不共面，
所以，，，
所以.
故答案為：.
13．【答案】
【分析】設圓錐的高為，底面半徑為，分別計算圓錐和圓柱的體積即可求解.
【詳解】設圓錐的高為，底面半徑為，則，
因為為的中點，所以圓柱的底面半徑為，高為，則，
所以.
故答案為：
14．【答案】
【詳解】如圖在面A1ABB1建立P面直角坐標系，設P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2）
∵點P到直線AA1和CD的距離相等，，即x2=y2+1．
∴A1P=
∴當P（，1）時，A1P最小為.故填.
點睛：本題直接解答比較困難，采用坐標法比較簡潔易懂，所以方法的選擇很關鍵. 當我們遇到直角三角形、等腰三角形、矩形、長方體等有垂直關系的幾何圖形時，可以嘗試利用坐標法解答,看是否簡潔.
15．【答案】
【分析】建立如圖所示空間直角坐標系，設，向量法表示出二面角的平面角的余弦值，結合題意建立關于k的不等式，解之即可得到實數(shù)k的取值范圍．
【詳解】以A為原點，以為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，
設，則，
，，且平面的一個法向量為，
設平面的一個法向量為n=x,y,z，
則 ，取，有，可得 ，
設二面角的大小為，則，
化簡得，所以，
所以實數(shù)k的取值范圍.
故答案為：
16．【答案】②③
【分析】①利用定義表示與，并利用空間向量數(shù)量積的運算律和定義來進行驗證；
②作出圖形，設，，結合圖形得出當?shù)拿娣e取最小值時與的夾角最小，從而判斷結論的正誤；
③利用“仿射”坐標的定義，結合空間向量加法的運算律來進行驗證；
④根據“仿射”坐標的定義判斷出三棱錐是棱長為的正四面體，于此可得出該三棱錐的表面積.
【詳解】①由定義可得
，
∵，，，故①錯誤；
②如圖，設，，則點在平面上，點在軸上，
由圖易知當時，取得最小值，即向量與的夾角取得最小值，故②正確；③根據“仿射”坐標的定義可得
，故③正確；
④由已知可知三棱錐為正四面體，棱長為，其表面積為，即④錯誤．
故答案為②③.
【點睛】本題考查空間向量的新定義，在驗證各命題時要嚴格根據題中定義來理解，結合空間向量加減法以及數(shù)量積的運算律來計算，考查推理能力，屬于難題.
17．【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）由題設，根據線面垂直的判定得平面，再由線面垂直的性質有，并由勾股定理證，最后應用線面垂直的判定證結論；
（2）構建空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，應用向量法求面面角的余弦值，結合已知列方程求參數(shù)，即可判斷存在性.
【詳解】（1）因為四邊形是正方形，則，
且，平面，，所以平面，
且平面，可得，
又因為，所以，即，
由平面，且，所以平面.
（2）由（1）可知：平面，且，
如圖，以A為坐標原點建立空間之間坐標系，

不妨設，則，
可得，
則，可得，
設平面平面AEC的法向量，則，
令，則，可得，
且平面PAB的法向量，
由題意可得：，
整理得，解得或（舍去），
所以存在實數(shù)，的值為.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)；
【分析】（1）分別選條件①②③，結合線面平行位置關系的判定定理和性質定理，即可得證；
（2）以為原點，建立空間直角坐標系，求得向量和平面的法向量為，利用向量的夾角公式，求得，結合，即可求解.
【詳解】（1）選條件①：由，
根據正方體的對稱性，此時點為上的任意一點，所以不成立；
選條件②：，
連接，在正方體中，由平面，
因為平面，所以，
又因為，， 所以，
因為平面，所以，
又因為為的中點， 所以為的中點．
選擇條件 ③：平面，
連接，因為平面，平面，
且平面平面，所以，
因為為的中點，所以為的中點．
（2）在正方體中，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，
如圖所示，則，
所以，，，
設平面的法向量為，則，
令，則．于是，
設直線與平面所成的角為，則，
所以直線與平面所成角的大小為，
點到平面的距離為.

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