一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)榧?，所以?
故選：A.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命題“，”為全稱(chēng)量詞命題，其否定為，.
故選：B．
3. 下列四個(gè)函數(shù)中，與表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】對(duì)于A，和的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)A不符合；
對(duì)于B，和的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)B不符合；
對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，
不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)C不符合；
對(duì)于D，函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系與都相同，是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)D符合.
故選：D.
4. 若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，所以，
所以的定義域是，故對(duì)于函數(shù)，有，解得，
從而函數(shù)的定義域是.
故選：A.
5. 已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)椋裕?br>對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：取，，則，，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，，所以，故D正確.
故選：C.
6. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 5B. 0C. -3D. -4
【答案】B
【解析】.
故選：B.
7. 設(shè)，，，則的大小順序是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
因?yàn)?，?br>而，所以，所以，
，
而，，，
而，所以，綜上，.
故選：D.
8. 對(duì)于實(shí)數(shù)x，規(guī)定表示不大于x的最大整數(shù)，如，，那么不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，解得，
因此或或，
又因?yàn)楸硎静淮笥趚的最大整數(shù)，所以，
只有為的真子集，滿足要求．
故選：B．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列四個(gè)命題中，其中為真命題的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因?yàn)?，所以，由于不能同時(shí)取得，
所以為真命題，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，所以為假命題，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，成立，故為真命題，故C正確；
因?yàn)?，，所以或時(shí)，有最小值，
故為假命題，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 關(guān)于x的不等式（其中），其解集可能是（ ）
A. B. RC. D.
【答案】BCD
【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以解集不可能為，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，即解集為R，故B正確；
C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，不等式的解集為，故C正確；
D選項(xiàng)，當(dāng)，，不等式的解集為，故D正確．
故選：BCD．
11. 定義域和值域均為-a，a的函數(shù)y=fx和y=gx的圖象如圖所示，其中，則（ ）
A. 方程有且僅有3個(gè)解B. 方程有且僅有3個(gè)解
C. 方程有且僅有5個(gè)解D. 方程有且僅有1個(gè)解
【答案】ABD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由數(shù)形結(jié)合可知：令，或或；
令，，
因?yàn)?，所以?br>由數(shù)形結(jié)合可知：，都有一個(gè)根，
故方程有且僅有3個(gè)解，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：由數(shù)形結(jié)合可知：令gx=0，；令，
因?yàn)椋蓴?shù)形結(jié)合可知：都有3個(gè)根，
方程有且僅有3個(gè)解，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C: 由數(shù)形結(jié)合可知：令，或或；
令，，
由題可知：，，
由數(shù)形結(jié)合可知，，各有三解，
故方程有且僅有9個(gè)解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：由數(shù)形結(jié)合可知：令gx=0，；令，
因，所以只有1解，
故方程有且僅有1個(gè)解，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 滿足的集合的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.
【答案】3
【解析】因?yàn)?，所以可以為，共?jì)3個(gè).
13. 已知滿足，且，則______.
【答案】4
【解析】令得，所以，
令，得.
14. 已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，?br>因?yàn)椋裕?br>由，所以.
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. （1）已知函數(shù)，求的解析式；
（2）已知為二次函數(shù)，且，求的解析式．
解：（1）設(shè)，可得，
則，
故．
（2）因?yàn)?，可設(shè)，
則，解得，因此，．
16. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的值域?yàn)?
（1）若，求集合；
（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）由，解得或，
所以函數(shù)的定義域?yàn)榧匣?
當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸為，
因?yàn)?，所以?br>又當(dāng)時(shí)，，所以.
（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以，
又因?yàn)?，?br>所以，
又因?yàn)榛?，所以或，解得或?br>故的取值范圍為.
17. 如圖所示，為宣傳某運(yùn)動(dòng)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙上設(shè)計(jì)大小相等的左右兩個(gè)矩形宣傳欄，宣傳欄的面積之和為，為了美觀，要求海報(bào)上四周空白的寬度均為，兩個(gè)宣傳欄之間的空隙的寬度為，設(shè)海報(bào)紙的長(zhǎng)和寬分別為.
（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙是最少？
解：（1）由題知，兩個(gè)矩形宣傳欄的長(zhǎng)為，寬為，，
整理得.
（2）由（1）知，即，
由基本不等式可得，
令，則，解得（舍去）或.
，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
海報(bào)長(zhǎng)42，寬24時(shí)，用紙量最少，最少用紙量為.
18. 已知：，，：關(guān)于的方程的兩根均大于1．
（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若和中一個(gè)為真命題一個(gè)為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）因?yàn)?，，?br>當(dāng)，即時(shí)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，則有，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.
（2）對(duì)于命題：設(shè)方程的兩根均分別為，
則有，
由題可得，即，解得；
又因?yàn)槿艉椭幸粋€(gè)為真命題一個(gè)為假命題，
所以或，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
19. 已知有限集，如果中的元素滿足，就稱(chēng)為“完美集”．
（1）判斷：集合是否是“完美集”并說(shuō)明理由；
（2）是兩個(gè)不同的正數(shù)，且是“完美集”，求證：至少有一個(gè)大于2；
（3）若為正整數(shù)，求：“完美集”.
解：（1）由，，
則集合是“完美集”.
（2）若是兩個(gè)不同的正數(shù)，且是“完美集”，
設(shè)，
根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系知，和相當(dāng)于的兩根，
由，解得或（舍去），
所以，又均為正數(shù)，
所以至少有一個(gè)大于2.
（3）不妨設(shè)中，
由，得，
當(dāng)時(shí)，即有，又為正整數(shù)，所以，
于是，則無(wú)解，即不存在滿足條件的“完美集”；
當(dāng)時(shí)，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一個(gè)，為．
當(dāng)時(shí)，由，
即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以當(dāng)時(shí)不存在完美集，
綜上知，“完美集”為.

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