一、選擇題
1．集合,,則( )
A.B.C.D.
2．命題:“,”的否定為( )
A.,B.,
C.,D.,
3．已知,則下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
4．下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是( )
①與;
②與;
③與;
④與.
A.①②B.③④C.②④D.①④
5．命題“,”為真命題的一個必要不充分條件是( )
A.B.C.D.
6．已知關(guān)于的不等式的解集為,則的最大值是( )
A.B.C.D.
7．設(shè),,,則a,b,c的大小順序是( )
A.B.C.D.
8．已知是定義在R上的偶函數(shù),且對任意,有,當時,,則下列結(jié)論錯誤的是( )
A.
B.
C.函數(shù)有3個零點
D.當時,
二、多項選擇題
9．下列說法正確的是( )
A.方程組的解集是
B.若集合中只有一個元素,則
C.“”是“一元二次方程有一正一負根”的充要條件
D.已知集合,則滿足條件的集合N的個數(shù)為4
10．已知正數(shù)a,b滿足,下列說法正確的是( )
A.的最大值為1
B.的最小值為
C.的最小值為2
D.的最小值為
11．對于函數(shù)下列說法正確的是( )
A.當時,的最小值為0
B.當時,存在最小值
C.當時,在上單調(diào)遞增
D.的零點個數(shù)為,則函數(shù)的值域為
三、填空題
12．不等式對恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為______.
13．函數(shù)是R上的增函數(shù),且的圖象經(jīng)過點和,則不等式的解集為______.
四、雙空題
14．已知函數(shù).若，則函數(shù)的零點為_________；若函數(shù)的最小值為a，則實數(shù)a的值為_________.
五、解答題
15．設(shè)集合,.
（1）若,求;;
（2）若“”是“”的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.
16．某國產(chǎn)車企業(yè)在自動駕駛技術(shù)方面日益成熟,近期擬推出一款高階智駕新車型,并決定大量投放市場.已知該車型年固定研發(fā)成本為3000萬元,每生產(chǎn)x百輛,需另投入成本萬元,且,由市場調(diào)研知,每輛車的售價為9萬元,且生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.
（1）求出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）函數(shù)關(guān)系式;（利潤=銷售量×售價成本）
（2）年產(chǎn)量為多少百輛時,該企業(yè)所獲年利潤最大?并求出最大年利潤.
17．已知,函數(shù)是奇函數(shù),.
（1）求實數(shù)a的值;
（2）若,,使得,求實數(shù)k的取值范圍.
18．已知函數(shù).
（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,并用定義證明;
（2）判斷的奇偶性,并求在區(qū)間上的值域;
（3）解不等式.
19．已知函數(shù)對一切實數(shù)x,,都有成立,且,.
（1）求的值;
（2）求的解析式;
（3）若關(guān)于x的方程有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：集合,,
則.
故選:C.
2．答案：D
解析：因為原命題為全稱命題,根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,并且需要否定結(jié)論,
所以原命題“,”的否定為“,”,
故選:D.
3．答案：D
解析：對于AC,當時,AC顯然錯誤;
對于B,取,,滿足,顯然,,顯然不成立,故錯誤;
對于D,由,
因為,所以,,,
所以,故D正確.
故選:D
4．答案：C
解析：對于①,由函數(shù)可得,解得,則其定義域為,
由函數(shù)可得,解得,則其定義域為,故①不符合題意;
對于②,函數(shù)的定義域為R,函數(shù)的定義域為R,故②符合題意;
對于③,函數(shù)的定義域為R,函數(shù)的定義域為,故③不符合題意;
對于④,函數(shù)的定義域為,函數(shù)的定義域為,故④符合題意.
故選:C
5．答案：D
解析：由,,可得在R上能成立,
因,故得.
由題意知,是選項的范圍的真子集即可.
故選：D.
6．答案：D
解析：不等式可化,
因為,所以,所以不等式的解集為,
所以,,則,
因為,所以,,
則,
當且僅當,即時取等號,
所以.
故選:D.
7．答案：D
解析：因為,,,
又因為在上單調(diào)遞增,所以,即,
因為,所以,
又因為在上單調(diào)遞增,所以,即,
綜上:.
故選:D.
8．答案：B
解析：對于A,因為,且為偶函數(shù),
所以
,
即4是的一個周期,故A正確;
對于B,由4是的一個周期,知,,
所以,故B錯誤;
對于C,令,可得,
作函數(shù)和的圖象如下圖所示,
由圖可知,兩個函數(shù)圖象有3個交點,故C正確;
對于D,當時,,
則,故D正確.
故選:B.
9．答案：CD
解析：對于A,因為,解得,所以解集為,故A錯誤;
對于B,當時,,解得,此時集合,滿足題意;
當時,需滿足,可得,因此或,故B錯誤;
對于C,由可知一元二次方程的判別式,
即該方程有兩根,且兩根之積,即兩根異號,所以充分性成立;
若一元二次方程有一正一負根,可知兩根之積為負,
即,也即,所以必要性成立,故C正確;
對于D,由可知N是集合的子集,
所以集合N可以是,,,共4個,故D正確.
故選:CD.
10．答案：BCD
解析：正數(shù),滿足,
對于A,,解得,當且僅當時取等號,A錯誤;
對于B,,
當且僅當時取等號,B正確;
對于C,,當且僅當時取等號,C正確;
對于D,,
當且僅當,即時取等號,D正確.
故選:BCD
11．答案：AD
解析：選項A:時,,又因為,,故函數(shù)最小值為0（當時取到）,選項正確;
選項B:不妨設(shè),此時,
當時,
當時,
故,此時函數(shù)不存在最小值,選項錯誤;
選項C:在上單調(diào)遞增,且,
當時,在上單調(diào)遞增,且,
當時,,故當時,在R上不單調(diào)遞增,選項錯誤;
選項D:在上單調(diào)遞增,
當時,設(shè),顯然單調(diào)遞增,
又,,故存在使得,
當時,無解,即在上無零點,
此時有兩個零點,0和,故此時,
當時,在上有1個零點,
此時有兩個零點,0和,故此時,
當時,,由A知,此時有1個零點,即,
當時,在上無零點,在上也無零點,
此時,則函數(shù)的值域為,選項正確.
故選:AD.
12．答案：
解析：當時,,符合題意,所以;
當,只需,解得,
綜上實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為:.
13．答案：
解析：因為的圖象經(jīng)過點和,所以,.
又,所以,即.
因為函數(shù)是R上的增函數(shù),
所以,即,即,
所以,
故答案為:.
14．答案：1；或2
解析：當時，，
當時，由，得，解得，
當時，由，得，，無解，
所以函數(shù)的零點為；
①若，即時，
則，
所以在上單調(diào)遞減，最小值為；
在上的最小值為.
因為函數(shù)最小值為a，所以.
②當，即時，
則，
所以在上先減后增，最小值為；
在上的最小值為.
因為函數(shù)最小值為，所以，
解得，不合題意，舍去.
，
③當，即時，
則，
所以在上先減后增，最小值為；
在上的最小值為.
因為函數(shù)最小值為，所以，
解得或（舍去）.
綜上可得或.
故答案為：1；或.
15．答案：（1）;
（2）
解析：（1）當時,,
,
所以,
或,
則;
（2）因為“”是“”的充分不必要條件,所以A是B的真子集,
對于集合A,不等式,即,
解得,所以,
因為A是B的真子集,,
所以,解得,
所以實數(shù)m的取值范圍是.
16．答案：（1）
（2）當年產(chǎn)量為45百輛時,該企業(yè)所獲利潤最大,且最大利潤為萬元.
解析：（1）當時,,
當時,.
綜上所述,
（2）當時,,
所以當時,;
當時,,
當且僅當,即時等號成立.
所以當時,.
所以當,即當年產(chǎn)量為45百輛時,該企業(yè)所獲利潤最大,且最大利潤為13002.5萬元.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由函數(shù)是奇函數(shù),則,
可得,,,解得,
由,則,
當時,,可得,,解得,
所以函數(shù)的定義域為,經(jīng)檢驗,符合題意.
（2）由函數(shù),則函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)在上的最小值;
由函數(shù),且當時,,
則在上的最小值.
由,,使得,則,
即,解得.
18．答案：（1）在區(qū)間上的單調(diào)遞增,證明見解析
（2）為奇函數(shù),理由見解析,在區(qū)間的值域為;
（3）
解析：（1）在區(qū)間上的單調(diào)遞增,證明如下:
任取,,且,
則,
因為,,且,
所以,故,
所以,故在區(qū)間上的單調(diào)遞增;
（2）為奇函數(shù),理由如下:
的定義域為,
,故為奇函數(shù),
由于在區(qū)間上的單調(diào)遞增,故在上單調(diào)遞增,
又,,
故在上值域為;
（3）的定義域為,
令,解得,
由得,
當,即時,
可得,
整理得,所以,
所以,
所以,
其中的根為,,或,
由數(shù)軸標根法得到不等式解為或,
又,所以或,
當,即或時,
由得,
所以,
其中的根為,,或,
同理得到不等式解為或或,
又或,
所以或,
故不等式的解為
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由等式,
令,可得,
由,解得.
（2）由等式,
令,可得,
由（1）中的,整理可得,
即,所以.
（3）令,則,令,
當時,,易知函數(shù)在上單調(diào)遞增,
此時方程至多只存在一個根,故不符合題意;
當時,,
此時,當且僅當時,等號成立,
由,
則,所以方程在上無解,故不符合題意;
當時,,根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性,
可得函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
由,,,
即,,
則函數(shù)在存在唯一零點,且在存在唯一零點,
所以方程存在兩個根,,且,
由函數(shù)可作圖如下:
由圖可知方程存在三個不同的根.
綜上所述,.

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