目錄：
01 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
02 排列組合
03 二項(xiàng)式定理
04 隨機(jī)變量及其分布列
05 不同類型分布列綜合
01 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
1．甲、乙、丙、丁去聽同時(shí)舉行的3個(gè)講座，每人可自由選擇聽其中一個(gè)講座，則恰好只有甲、乙兩人聽同一個(gè)講座的種數(shù)為（ ）
A．6B．12C．18D．24
2．從7本不同的書中選出3本送給3位同學(xué)，每人一本，不同的選法種數(shù)是（ ）
A．B．C．21D．210
3．三所大學(xué)發(fā)布了面向高二學(xué)生的夏令營(yíng)招生計(jì)劃，某中學(xué)有四名學(xué)生報(bào)名參加．若每名學(xué)生只能報(bào)一所大學(xué)，每所大學(xué)都有該中學(xué)的學(xué)生報(bào)名，且大學(xué)只有其中一名學(xué)生報(bào)名，則不同的報(bào)名方法共有（ ）
A．18種B．21種C．24種D．36種
02 排列組合
4．用，，，，，這六個(gè)數(shù)字可以組成（ ）個(gè)無重復(fù)數(shù)字，符合“小于4310的四位偶數(shù)”
A．108B．C．D．
5．七位漁民各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚，甲?乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（ ）
A．96種B．120種C．192種D．240種
6．將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側(cè)，要求每一側(cè)種植3棵，且每一側(cè)中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（ ）
A．20種B．40種C．80種D．160種
7．甲、乙、丙等5人被安排到三個(gè)社區(qū)做志愿者，每人隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)，且這三個(gè)社區(qū)都有人去，則甲和乙不去同一個(gè)社區(qū)的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．暑期將至，甲?乙?丙等六名學(xué)生準(zhǔn)備各自從四個(gè)景點(diǎn)中選一個(gè)景點(diǎn)去旅游.已知每個(gè)景點(diǎn)都有人選，且甲沒有選景點(diǎn)，則所有不同的選法種數(shù)為（ ）
A．540B．720C．1080D．1170
9．武漢外校國(guó)慶節(jié)放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，則不同的值班方法共有（ ）種
A．114B．120C．126D．132
03 二項(xiàng)式定理
10．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．4C．D．32
11．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．20B．C．28D．
12．已知，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1B．2C．3D．4
04 隨機(jī)變量及其分布列
13．已知隨機(jī)變量的分布列為
則（ ）
A．0.2B．1.2C．5D．6
14．已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下，若，則（ ）
A．B．1C．D．
15．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
若，且，則（ ）
A．B．C．D．
16．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則（ ）
A．B．C．D．
05 不同類型分布列綜合
17．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，設(shè)，那么的值是（ ）
A．0.84B．0.7C．0.4D．0.3
18．已知X服從兩點(diǎn)分布，若，則（ ）
A．B．C．D．
19．國(guó)家提出“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略，各地紛紛響應(yīng)．某縣有7個(gè)自然村，其中有4個(gè)自然村根據(jù)自身特點(diǎn)推出鄉(xiāng)村旅游，被評(píng)為“旅游示范村”．現(xiàn)要從該縣7個(gè)自然村里選出3個(gè)作宣傳，則恰有2個(gè)村是“旅游示范村”的概率為（ ）
A．B．C．D．
20．個(gè)零件中有個(gè)次品，從中每次抽檢個(gè)，檢驗(yàn)后放回，連續(xù)抽檢次，則抽檢的個(gè)零件中恰有個(gè)是次品的概率為 ；
21．盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，3個(gè)黃球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，若用隨機(jī)變量表示任選4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則服從超幾何分布，其參數(shù)為（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
22．已知連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量滿足，，若與的方差相同且，則（ ）.
A．B．C．D．
23．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則 .
24．設(shè)隨機(jī)變量，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則（ ）
A．B．
C．D．
25．若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則．為了解使用新技術(shù)后的某果園的畝收入（單位：萬元）情況，從該果園抽取樣本，得到使用新技術(shù)后畝收入的樣本均值，樣本方差．已知該果園使用新技術(shù)前的畝收入X（單位：萬元）服從正態(tài)分布，假設(shè)使用新技術(shù)后的畝收入Y服從正態(tài)分布，則（ ）
A．B．
C．D．
一、單選題
1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）（ ）
A．65B．160C．165D．210
2．（2024·浙江·三模）的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．C．D．4
3．（2024·廣東東莞·三模）若，則（ ）
A．10B．0C．D．130
4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知某隨機(jī)變量的分布列如圖表，則隨機(jī)變量X的方差（ ）
A．120B．160C．200D．260
5．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）某高校要求學(xué)生除了學(xué)習(xí)第二語言英語，還要求同時(shí)進(jìn)修第三語言和第四語言，其中第三語言可從A類語言：日語，韓語，越南語，柬埔寨語中任選一個(gè)，第四語言可從E類語言：法語，德語，俄語，西班牙語，意大利語，則學(xué)生可選取的語言組合數(shù)為（ ）
A．20B．25C．30D．35
6．（2024·甘肅酒泉·三模）有甲、乙兩臺(tái)車床加工同一種零件，且甲、乙兩臺(tái)車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的，甲、乙兩臺(tái)車床的正品率分別為．現(xiàn)從一批零件中任取一件，則取到正品的概率為（ ）
A．0.93B．0.934C．0.94D．0.945
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)游戲比賽，其規(guī)則如下：每一輪兩人分別投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，比較兩者的點(diǎn)數(shù)大小，其中點(diǎn)數(shù)大的得3分，點(diǎn)數(shù)小的得0分，點(diǎn)數(shù)相同時(shí)各得1分．經(jīng)過三輪比賽，在甲至少有一輪比賽得3分的條件下，乙也至少有一輪比賽得3分的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）某公司員工食堂每天都有米飯和面食兩種套餐，已知員工甲每天中午都會(huì)在這兩種套餐中選擇一種，米飯?zhí)撞偷膬r(jià)格是每份18元，面食套餐的價(jià)格是每份12元，如果甲當(dāng)天選擇了某種套餐，他第二天會(huì)有60%的可能性換另一種類型的套餐，假如第1天甲選擇了米飯?zhí)撞?，第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，給出以下論述：
①；
②；
③
④前天甲午餐總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為.
其中正確的是（ ）
A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③
二、多選題
9．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若m，n為正整數(shù)且，則（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表
若離散型隨機(jī)變量Y滿足，則（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）高考數(shù)學(xué)試題的第二部分為多選題，共三個(gè)題每個(gè)題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有2個(gè)或3個(gè)是正確選項(xiàng)，全部選對(duì)者得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．小明對(duì)其中的一道題完全不會(huì)，該題有兩個(gè)選項(xiàng)正確的概率是，記為小明隨機(jī)選擇1個(gè)選項(xiàng)的得分，記為小明隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)的得分．則
A．B．
C．D．
三、填空題
12．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）2024年7月14日13時(shí)，2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)火炬開始在巴黎傳遞，其中某段火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)由包含甲、乙、丙在內(nèi)的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為 ．
13．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，其分布列為
若，則 .
14．（2023·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）某藍(lán)莓基地種植藍(lán)莓，按個(gè)藍(lán)莓果重量（克）分為級(jí)：的為級(jí)，的為級(jí)，的為級(jí)，的為級(jí)，的為廢果．將級(jí)與級(jí)果稱為優(yōu)等果．已知藍(lán)莓果重量服從正態(tài)分布．對(duì)該藍(lán)莓基地的藍(lán)莓進(jìn)行隨機(jī)抽查，每次抽出個(gè)藍(lán)莓果．記每次抽到優(yōu)等果的概率為（可精確到）．若為優(yōu)等果，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽出優(yōu)等果，但抽查次數(shù)最多不超過次，若抽查次數(shù)的期望值不超過，的最大值為 ．
附：，，
四、解答題
15．（2024·浙江杭州·一模）一設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為，且.定義事件的信息量為，稱的平均信息量為信息熵.
(1)若，求此時(shí)的信息熵;
(2)最大熵原理:對(duì)一個(gè)隨機(jī)事件的概率分布進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的狀態(tài)數(shù)最多，復(fù)雜程度最大，概率分布最均勻，這才是風(fēng)險(xiǎn)最小（最合理）的決定.證明:，并解釋等號(hào)成立時(shí)的實(shí)際意義.
（參考不等式:若，則）
16．（2024·北京朝陽·二模）科技發(fā)展日新月異，電動(dòng)汽車受到越來越多消費(fèi)者的青睞.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023 年1月至12月 A，B兩地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)各月的銷售量數(shù)據(jù)如下：
月銷量比是指：該月 A 地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)的銷售量與B 地區(qū)的銷售量的比值（保留一位小數(shù)）.
(1)在2023年2月至12月中隨機(jī)抽取1個(gè)月，求 A 地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)該月的銷售量高于上月的銷售量的概率；
(2)從2023 年1月至12月中隨機(jī)抽取3個(gè)月，求在這3個(gè)月中恰有1個(gè)月的月銷量比超過8且至少有1個(gè)月的月銷量比低于5的概率；
(3)記2023年1月至12月 A，B 兩地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)各月的銷售量數(shù)據(jù)的方差分別為，，試判斷與的大小.（結(jié)論不要求證明）
17．（2024·廣東佛山·三模）隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：
假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．
(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；
(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．
18．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）在一場(chǎng)羽毛球比賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍. 比賽采用“雙敗淘汰制”：首先，四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對(duì)陣，每組的勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”. 接著，“勝區(qū)”中兩人對(duì)陣，勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”；“敗區(qū)”中兩人對(duì)陣，敗者直接淘汰出局獲第四名. 然后，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對(duì)陣，勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”，敗者獲第三名. 最后，“決賽區(qū)”的兩人進(jìn)行冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名. 已知甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對(duì)陣乙，丙對(duì)陣?。?
①求甲獲得第四名的概率；
②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；
(2)除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對(duì)陣，每組的勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”，敗者淘汰；最后，“決賽區(qū)”的兩人進(jìn)行冠軍決賽，勝者獲得冠軍. 已知甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，則哪種賽制對(duì)甲奪冠有利？請(qǐng)說明理由.
19．（2024·江蘇南京·二模）在三維空間中，單位立方體的頂點(diǎn)坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)表示，其中.而在維空間中，以單位立方體的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，其中.現(xiàn)有如下定義：在維空間中，，兩點(diǎn)的曼哈頓距離為
(1)在3維單位立方體中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，試求所取兩點(diǎn)的曼哈頓距離為1的概率；
(2)在維單位立方體中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離
（i）求出的分布列與期望；
（ii）證明：隨機(jī)變量的方差小于.
4
5
0.4
0.6
0
2
1
2
3
40
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
m
0.2
0.1
1
2
3

1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
A 地區(qū)
（單位：萬輛）
29.4
39.7
54.3
49.4
56.2
65.4
61.1
68.2
70.2
71.9
77.1
89.2
B 地區(qū)
（單位：萬輛）
7.8
8.8
8.1
8.3
9.2
10.0
9.7
9.9
10.4
9.4
8.9
10.1
月銷量比
3.8
4.5
6.7
6.0
6.1
6.5
6.3
6.9
6.8
7.6
8.7
8.8
選擇餐廳情況（午餐，晚餐）
王同學(xué)
9天
6天
12天
3天
張老師
6天
6天
6天
12天

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