理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應用多邊形的性質(zhì)解決有關(guān)問題．
你還記得什么叫正多邊形嗎?說出你常見的幾種正多邊形？
觀察圖3-58中的正多邊形，思考下面的問題： (1) 它們都是軸對稱圖形嗎?如果是，分別畫出每個圖形所有的對稱軸并說出這些對稱軸是怎樣的直線.
正三角形的對稱軸是三邊的垂直平分線；
正方形的對稱軸是邊的垂直平分線和對角線所在的直線；
正五邊形的對稱軸是邊的垂直平分線；
正六邊形的對稱軸是邊的垂直平分線和相隔兩個頂點的連線所在的直線.
(2) 正三角形有幾條對稱軸?正四邊形、正五邊形、正六邊形呢?由此你能猜測正n邊形有幾條對稱軸嗎?
正三角形有3條對稱軸； 正四邊形、正五邊形、正六邊形分別有4條5條6條對稱軸； 正 n 邊形有 n 條對稱軸.
(3) 通過畫圖，你發(fā)現(xiàn)正多邊形的各條對稱軸有怎樣的特征?由此你能推出正多邊形的什么性質(zhì)?
正多邊形的各條對稱軸相交于一點.性質(zhì)：正多邊形的各條對稱軸相交于一點.
(4) 利用尺規(guī)作出一個正三角形的外接圓和內(nèi)切圓，你發(fā)現(xiàn)正三角形的外接圓的圓心與內(nèi)切圓的圓心有什么特征?
是同心圓，且圓心是各對稱軸的交點. 該點到正三角形的各頂點的距離相等，到三邊的距離也相等.
(5) 畫出一個正方形，你能說出它的外接圓和內(nèi)切圓的位置嗎?你發(fā)現(xiàn)正方形的外接圓與內(nèi)切圓有什么特征?
正方形的外接圓與內(nèi)切圓是同心圓，圓心是各對稱軸的交點. 該點到正方形的各頂點的距離相等，到四條邊的距離也相等.
(6)由 (4)(5)你猜測正多邊形都有外接圓和內(nèi)切圓嗎?如果有，它們的外接圓與內(nèi)切圓有什么特征(圖3-59)?
任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓，圓心是各對稱軸的交點.
正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形有n條對稱軸. 正多邊形的各條對稱軸相交于一點，這點到正多邊形的各個頂點的距離相等，到各邊的距離也相等. 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓，圓心是各對稱軸的交點.
如圖3-60，正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.
你能分別說出圖 3-60 中正方形與正六邊形的中心、半徑、邊心距和中心角的度數(shù)嗎?
(7) 正n邊形的n條半徑把正n邊形分成了n個怎樣的圖形?相應的邊心距把其中每一個圖形又分成了兩個怎樣的圖形?
正n邊形的n條半徑把正n邊形分成了n個全等的等腰三角形，每個等腰三角形又被相應的邊心距分成了兩個全等的直角三角形.
(8) 如果正三角形的邊長為 a，那么它的外接圓的半徑r和內(nèi)切圓的半徑 d分別是多少?它們之間滿足什么關(guān)系?一般地，如果正n邊形的邊長為 an，半徑為rn，邊心距為d，這三個量之間有什么關(guān)系?
(9) 以正n邊形的中心O為旋轉(zhuǎn)中心，將正n邊形旋轉(zhuǎn) 360°，你能得到什么結(jié)論?
(10) 正n邊形是中心對稱圖形嗎?
當n為偶數(shù)時，正n邊形是中心對稱圖形，它的中心O是對稱中心. 當n為奇數(shù)時，正n邊形不是中心對稱圖形.
一個正六邊形花壇的半徑為R，求花壇的邊長a，周長p和面積S.
解：如圖 3-61，ABCDEF 為正六邊形. 連接OA，OB，作OG⊥AB，垂足為點G，則OA＝OB＝R，AB＝a.
通過作出正多邊形的半 徑和邊心距，可以把正多邊形的有關(guān)計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.
這種近似算法可以利用圖 3-62 解釋：作一個直徑為9的圓和圓的外切正方形. 將正方形的各邊三等分，連接相應的分點，正方形被分成9個邊長為3 的小正方形. 分別連接圖 3-62中四個角上小正方形的一條對角線，得到一個八邊形.
注意這個八邊形的各內(nèi)角都是 135°，但不是正八邊形. 圖中直徑為 9的圓的面積十分接近這個八邊形的面積. 利用數(shù)方格的方法可知圖中八邊形的面積等于7個小正方形的面積，即7 × 32 ＝ 63.
現(xiàn)在，我們會用公式 S＝πR2計算出直徑為9的圓的面積為 63.62 (精確到0.01).它與邊長為8的正方形的面積僅相差 0.38.相當于在利用圓面積公式時，π取3.160 49. 從中你能感受到古埃及人的聰明才智嗎?
1. 下面的命題是真命題嗎? 如果不是，請舉出一個反例. (1) 正多邊形的對稱軸是經(jīng)過正多邊形的頂點和中心的直線；
假命題. 反例：正方形的對稱軸為經(jīng)過正方形對邊中點的直線及兩條對角線所在的直線.
(2) 邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形； (3) 既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的多邊形是正多邊形；
假命題. 反例：菱形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，但它不一定是正多邊形.
(4) 有一個外接圓和一個內(nèi)切圓的多邊形是正多邊形.
假命題. 反例：直角三角形既有外接圓也有內(nèi)切圓但不是正多邊形.
2. 完成下表中正多邊形的計算，并把計算結(jié)果填入表內(nèi)：
如圖3－64，A，B，C，D，E 都是⊙O上的點，且∠AOB ＝∠BOC＝∠COD ＝∠DOE . 思考下面的問題：
(1) 弦AB，BC，CD，DE 的長相等嗎? 為什么?
∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∴AB＝BC＝CD＝DE.
(2) ∠ABC，∠BCD，∠CDE是否相等?為什么?
∵ ∠AOB＝ ∠BOC＝ ∠COD＝ ∠DOE，∴ ∠OAB ＝ ∠OBA ＝ ∠OBC ＝ ∠OCB ＝ ∠OCD ＝∠ODC＝ ∠ODE＝∠OED.∵∠ABC ＝∠OBA ＋∠OBC， ∠BCD ＝ ∠OCB ＋∠OCD， ∠CDE＝∠ODC ＋ ∠ODE，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE.
(3) 由(1)與(2)，你能將圓周n 等分嗎?你能設計一種畫正n邊形的方法嗎?與同學交流.
先計算出正n邊形的邊所對應的圓心角，再確定圓心角所對應的弦長，按照弦長依次等分圓周即可.
你能用上面的方法畫一個正五邊形嗎?試一試.
用直尺和圓規(guī)作圓的內(nèi)接正方形.已知：⊙O (圖3－66).求作：⊙O的內(nèi)接正方形ABCD.
利用圓內(nèi)接正方形的對角線是外接圓的直徑，并且對角線互相垂直平分的性質(zhì)，能用尺規(guī)作出⊙O的內(nèi)接正方形嗎?
作法： (1) 過圓心O作⊙O的任意一條直徑AC. (2)過點O作AC的垂線，交⊙O于B，D兩點. (3) 順次連接點A，B，C，D，A. 四邊形ABCD就是所求作的⊙O的內(nèi)接正方形.
用直尺和圓規(guī)作圓的內(nèi)接正六邊形.已知：⊙O(圖3－66).求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形.
利用圓內(nèi)接正六邊形的邊長等于圓的半徑，可以作出圓內(nèi)接正六邊形.
作法： (1)如圖 3-68，在⊙O上任取一點A，自點A起依次截取長度等于半徑OA的弦，得到點B，C，D，E，F(xiàn). (2) 順次連接點 A、B、C，D、E，F(xiàn)、A. 六邊形ABCDEF就是求作的⊙O的內(nèi)接正六邊形.
解決了用尺規(guī)作圓內(nèi)接正四邊形、正六邊形的問題后，你認為哪些邊數(shù)的圓內(nèi)接正多邊形的尺規(guī)作圖問題都隨之得到解決?
1796年的一個晚上，德國格丁根大學，一個19歲的大學二年級學生照例開始做導師每天單獨布置的數(shù)學題.前兩題順利，第三題寫在一張小紙條上，要求只用圓規(guī)和一把沒有刻度的直尺做出正十七邊形.
青年沒在意，做著做著，卻感到越來越吃力.困難激起了他的斗志，他拿著圓規(guī)和直尺，在紙上嘗試著一些超常規(guī)的思路. 直到窗外露出一絲曙光，青年才長舒一口氣，終于找到了作法.
導師看到作業(yè)當即驚呆了，他聲音顫抖地說：“知道嗎，你解開了一道有兩千多年歷史的數(shù)學懸案! 歐幾里得沒有解出來，阿基米德沒有解出來，牛頓也沒有解出來，你竟然一個晚上就解出來了!我最近正研究這道難題，昨天給你布置習題時，不小心把那張小紙條夾在了給你的題目里.” 這個大學生就是高斯( Gauss. 1777－1855).多年后他感慨地說：“當初若知道這是兩千年未解的難題，我不可能在一個晚上解決它”
后來高斯成為著名數(shù)學家、物理學家、天文學家，他是近代數(shù)學的奠基者之一，被譽為“數(shù)學王子”.《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》是高斯在青年時期取得的一項重要成果.高斯生前曾交代去世后將這個圖形刻在自己的墓碑上. 但后來他的墓碑上并沒有刻上正十七邊形，而是一個正十七角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太相近了，大家會分辨不出來.
高斯在童年時代就表現(xiàn)出非凡的數(shù)學天分：三歲學會算術(shù)，八歲因發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和公式而深得老師和同學的欽佩. 1799 年高斯以代數(shù)基本定理的第一個實質(zhì)性證明獲得博士學位.他的數(shù)學成就幾乎遍及數(shù)學的各個領(lǐng)域，其中許多都有著劃時代的意義.
同時，高斯還把數(shù)學應用于天文學、大地測量學和磁學的研究也都有杰出的貢獻.高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對待學問十分嚴謹，只是把他自己認為是十分成熟的作品發(fā)表出來.
步驟二： 作AE中點M，并以M為圓心，MA為半徑作圓，此圓交 OB于點F； 再以D為圓心，DF為半徑作圓，此圓交直線OA于G4和G6兩點.
步驟三： 過G4作OA的垂線，交⊙O于P4； 過G6作OA的垂線，交⊙O于P6； 則以⊙O為基準圓，A為正十七邊形之第一頂點，P4為第四頂點，P6為第六頂點.
1. 用直尺、圓規(guī)把一個已知圓三等分.
解：如圖所示 (1) 作⊙O，作直徑AB. (2) 以點 A 為圓心，⊙O 的半徑長為半 徑作弧交⊙O于點 C，D. (3) 點 C，B，D 將⊙O三等分.
2. 用量角器畫一個正五邊形.
解：如圖所示 (1)作⊙O，先用量角器畫一個72°的圓心角∠AOB，交⊙O于點A，B，再畫一個 72°的圓心角∠BOC，交⊙O于點C.以此類推得出點 D，E. (2)順次連接點 A，B，C，D，E，A 五邊形ABCDE 就是所求作的正五邊形.
1. 如圖，正六邊形ABCDEF的頂點都在以原點為圓心、以 2 為半徑的圓上，點B在y軸正半軸上. 求正六邊形ABCDEF各頂點的坐標.
2. 如圖，正六邊形螺帽的邊長 a＝12 mm， 要使扳手夾緊螺帽，扳手的開口b最 小應是多少?
3. 在一種聯(lián)合收割機上，撥禾輪的側(cè) 面是正五邊形，邊長是48 cm. 求它的 半徑R5和邊心距 r5 ( 精確到 0.1 cm ).
4. 用尺規(guī)作圓的內(nèi)接正八邊形.
解：在⊙O 中，用直尺和圓規(guī)作兩條互相垂直的直徑，就可以把⊙O 分成4 等份，從而作出正方形，若再逐次平分各邊所對的弧，就可以作出正八邊形.
5. 用等分圓周的方法畫出下列圖案.
6. 如圖，將邊長為20 cm 的正方形鐵片剪成一個正八邊 形求正八邊形的邊長(精確到0.1 cm).
7. 如圖，DEFGHI是正六邊形，延長邊 DE，F(xiàn)G，HI 分別相交于點 A，B，C. 設△ABC的周長為 P3，面積為 S3，六邊形 DEFGHI 的周長為P6，面積為S6. 求 P6∶P3及 S6∶S3 的值.
8. 如圖，分別是正方形、正五邊形和正六邊形. (1)分別計算圖中畫出的這三個正多邊形的“相鄰”兩條對角線的夾角的度數(shù)；
(2) 探究正n邊形的“相鄰”兩條對角線的夾角的度數(shù).

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3.7 正多邊形與圓

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