第3章 對圓的進一步認識回顧與總結(jié)青島版數(shù)學(xué)九年級上冊 1. 本章學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容? 總結(jié)一下，與同學(xué)交流. 2. 圓是軸對稱圖形嗎?利用圓的軸對稱性，你探索并證明了什么定理?說出它的條件和結(jié)論. 3. 圓是中心對稱圖形嗎? 為什么?學(xué)習(xí)目標 4. 圓心角與它所對的弧有什么關(guān)系?在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦、弧之間有什么關(guān)系? 5. 確定一個圓的條件是什么? 經(jīng)過任意三點能作一個圓嗎? 6. 用反證法證明一個命題的一般步驟是什么?它與直接證明的方法有什么不同? 7. 什么是圓周角?圓周角與它所對弧上的圓心角有什么關(guān)系?圓周角定理有哪些推論? 8. 什么是三角形的外心?什么是三角形的內(nèi)心?它們各有哪些性質(zhì)? 9. 試述直線與圓的位置關(guān)系. 圓的半徑r與圓心到直線的距離d的數(shù)量關(guān)系與這條直線與圓的位置關(guān)系之間有什么聯(lián)系? 10.圓的切線有什么性質(zhì)? 怎樣判定一條直線是圓的切線? 11. 經(jīng)過圓上一點可以作圓的幾條切線?經(jīng)過圓外一點呢?從圓外一點所作圓的切線具有什么性質(zhì)? 12. 寫出弧長公式和扇形面積公式，說明公式中各個字母的含義，在 S，n，r，1這四個量中，已知其中的幾個量，就可以求出其余的量? 13. 正n邊形的邊長、半徑與邊心距之間具有怎樣的關(guān)系?在研究它們之間的關(guān)系時是怎樣轉(zhuǎn)化為等腰三角形或直角三角形進行研究的? 14. 怎樣用尺規(guī)過不在同一條直線上的三點作圓?怎樣用尺規(guī)作三角形的外接圓、內(nèi)切圓?怎樣用尺規(guī)作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形? 15. 在本章中，你認為體現(xiàn)了哪此基本的數(shù)學(xué)思想?分類思想 分類是自然科學(xué)和社會科學(xué)中廣泛應(yīng)用的重要思想和方法. 人們先對所研究的對象進行分析，再按照某些特征把它們劃分為許多門類，分別加以研究，這就是分類的思想方法.廣角鏡 我國明代著名藥學(xué)家李時珍在他的巨著《本草綱目》中，把收錄的 1 892 種藥物劃分為16部，部以下再分類，總計60類，成為國際上一致推崇和引用的藥典. 門捷列夫?qū)敃r已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的化學(xué)元素按族進行分類，并編制出元素周期表.利用元素周期表，不僅可以按照元素的族研究該族元素的共同性質(zhì)，而且能根據(jù)表中的空格預(yù)測尚未發(fā)現(xiàn)的元素.鍺的發(fā)現(xiàn)就是一個著名的實例. 在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常運用分類的思想. 例如，將實數(shù)進行分類，將三角形進行分類等等在解決數(shù)學(xué)問題時，如果面臨的數(shù)學(xué)問題不能以統(tǒng)一的形式進行解決，可以把問題涉及的范圍劃分為若干種情況，在各種情況下分別研究問題的解，然后把各種情況加以歸納得到原問題的解. 在本章第 3.3 節(jié)中，研究了圓周角與它所對弧上的圓心角的關(guān)系.由于圓周角與圓心的相對位置有著不同的情況，各種情況下處理問題的方式并不相同，因而我們按照圓心在圓周角的一邊上、在圓周角的內(nèi)部、在圓周角的外部三種情況(圖3-24) 分別進行研究，最后歸納出“圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半”的結(jié)論，這里就運用了分類的方法. 在第 3.2 節(jié)研究“確定圓的條件”、第 3.4 節(jié)研究“直線與圓的位置關(guān)系”以及解決一些具體問題的過程中，也都運用了分類思想. 運用分類思想時必須注意兩個問題： 其一，要用一個統(tǒng)一的標準把研究對象進行劃分；其二，劃分時要做到既不重復(fù)，也不遺漏. 你能舉出運用分類思想解決問題的實例嗎??D復(fù)習(xí)與鞏固?C2. 填空題： (1) 如圖， ⊙O的直徑為10，弦AB的長為8. 如果點P是弦AB上的一個動點，那么線段 OP的長度的取值范圍是_____________.3≤OP≤5 (2) 如圖，AB，AC是⊙O的弦. ∠ABO ＝ α ，∠ACO ＝ β ，∠BOC＝θ. α ， β ， θ三者間的數(shù)量關(guān)系是_________________.θ＝2(α＋β) 3. 如圖，在直角坐標系中， ⊙M的圓心在x軸上， ⊙M與x軸的交點為A(－ 2，0)，B(6，0).求⊙M與y軸的交點 C，D的坐標. 4. 如圖，⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，AB＝AD，分別連接ACBD . 如果不再標注其他字母，不再添加輔助線，你能推出哪些結(jié)論 (至少寫出5個) ? 5. 如圖，在△ABC中，∠C ＝ 90°，BE是角平分線，DE⊥BE交AB于點D，⊙O是△BDE的外接圓. (1) 求證：AC是⊙O的切線；(2) △BCE與△BED 相似嗎? 如果不相似，說明理由； 如果相似，寫出對應(yīng)線段的比例式.6. 如圖，⊙O內(nèi)兩條弦AB，CD相交于點E， 已知AE＝3 cm，EB＝8cm，CE＝ 4cm， 求CD的長.7. 證明： 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等. 解：已知：如圖所示，四邊形 ABCD 是⊙O的外切四邊形，CD，DA，AB，BC 是⊙O的切線，切點分別為點 E ，F(xiàn)，G，H. 8. 要從一塊形狀為直角三角形的鐵片上剪出面積盡量大的半圓形的鐵片，需要先在這塊鐵皮上作出半圓. (1) 如果半圓的圓心在較長的直角邊上，且與另兩條邊都相切. 用直尺和圓規(guī)作出這個半圓； 解：當半圓的圓心在較長的直角邊 BC 上，且與另兩條邊都相切時，這個半圓的圓心是∠BAC的平分線與 BC 的交點，其半徑長是圓心與點 C 之間的距離，如圖(1)所示. (2) 如果圓心在較短的直角邊上，或者在斜邊上，你會作出這個半圓嗎? 解：當半圓的圓心在較短的直角邊 AC 上時，半圓的圓心是∠ABC 的平分線與AC 的交點，其半徑長是圓心與點 C之間的距離，如圖(2)所示； 當半圓的圓心在斜邊AB上時，半圓的圓心是∠ACB的平分線與AB的交點，其半徑長是圓心到 AC(或BC)的距離，如圖(3)所示. (3) 已知直角三角形三邊長的比是3∶4∶5. 在上面作出的三個半圓中，哪個半圓的面積最大? 解：如圖(1)所示，設(shè)圓心在 BC 上時半O1與AB 相切于點 D，連接 O1D. 設(shè) AC＝3a，BC＝4a，AB＝5a(a＞0)，半圓O1，的半徑為r，則 DO1＝O1C＝r1，BO1＝4a－r1. 9. 如圖，兩個同心圓的圓心為 O，正方形ABCD 的頂點都在大圓上，四條邊都與小圓相切，大圓的半徑 OA與 OB 分別與小圓交于點E與F，正方形的邊長為a.求AB與EF的弧長之差，并求陰影部分的面積. 10. 兩個圓的半徑的比為 2∶1，求它們的外切正五邊形的邊心距的比、周長的比和面積的比.解：∵圓的外切正五邊形的邊心距等于該正五邊形內(nèi)切圓的半徑， ∴ 它們的外切正五邊形的邊心距的比為兩圓半徑的比，即2∶1. ∴這兩個正五邊形相似， ∴它們周長的比等于半徑的比，面積的比等于半徑比的平方. ∴ 周長的比為 2∶1，面積的比為 4∶1.11. 如圖，已知⊙O的弦 CD垂直于直徑AB， 垂足是點E. 連接 CO并延長交AD于點F. 若AB＝2，求當 CF⊥AD時，CD的長.G解：如圖，延長 CF 與⊙O交于點G.拓展與延伸G12. 如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC、AP⊥BC 垂足為點P. ⊙O過A，P兩點，并分別交AB，AC于點 E，F(xiàn). 分別按以下要求盡可能多地找出圖中的有關(guān) 大小、位置和形狀之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. (1) 相等的角；(2)相等的線段； (3) 相等的??；(4)垂直的直線； (5) 全等三角形；(6) 相似三角形.(1) 相等的角；∠BAP＝∠CAP＝∠B＝∠C＝45°.∠APB ＝∠APC＝∠BAC＝90°.(2)相等的線段；AP＝BP＝PC證明如下：由(1)得∠BAP＝∠CAP＝∠B＝∠C＝45°，∴ AP＝BP＝CP. (3) 相等的?。?4)垂直的直線；BA⊥CA，AP⊥BC (已知)證明如下： ∵∠BAC＝90°， ∴ BA⊥CA.(5) 全等三角形；證明如下：∵AB＝AC，BP＝CP，AP＝AP，∴ △APB≌△APC (SSS).△APB ≌ △APC(6) 相似三角形.△APB∽△APC∽△BAC 13. 如圖所示的曲邊三角形可以按下面的方法作出：作一個正三角形，分別以正三角形的各個頂點為圓心、以邊長為半徑作弧，使弧經(jīng)過另外兩個頂點. 然后擦去正三角形，三段圓弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形. 已知正三角形的周長為 S，求曲邊三角形的周長.14. 如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，OC交AB于點P， PC＝BC. 求證：BC是⊙O的切線.∵∠BPC＝∠APO，∴ ∠A＋∠BPC＝90°.∴ ∠OBA＋∠PBC＝90°， 即∠OBC＝90°.∴ OB⊥BC.∴ BC 是⊙O 的切線.?解：AC＝CD＝DB＝AE＝BF，OE＝OF，EC＝FD.探索與創(chuàng)新 16. 如圖①，AB為⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，且∠CAE ＝ ∠B. (1) 求證：AE與⊙O相切于點A； (2) 如圖②，若AB是⊙O的非直徑的弦，且∠CAE＝∠B. AE與⊙O還相切于點A嗎? 為什么? 解：AE 與⊙O還相切于點A. 如圖，連接 AO 并延長交⊙O于點D，連接 DC.DD課程結(jié)束

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