知識點1：分類加法計數(shù)原理
知識點2：分步乘法計數(shù)原理
【典例1-1】（2024·高三·江蘇南通·開學(xué)考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩位同學(xué)準(zhǔn)備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（????）A．12B．24C．28D．36
題型一：分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用
【典例1-2】從4名男生，3名女生中選出3人（可以一種性別）到校學(xué)生會任職，女生人數(shù)不多于男生人數(shù)，那么不同的選法種數(shù)有（????）種．A．23B．22C．24D．26
【方法技巧】 分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇（1）應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn)．（2）分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)，但也不能有遺漏．
【變式1-1】（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E 5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動，現(xiàn)有甲、乙、丙三個研學(xué)基地供選擇，每個學(xué)校只選擇一個基地，且每個基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同的選擇種數(shù)共有（????）A．36種B．42種C．48種D．60種
【變式1-2】在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（????）個A．44B．45C．54D．55
【變式1-3】定義“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運數(shù)”，比如116，431，則所有幸運數(shù)的個數(shù)為（????）A．18B．21C．35D．36
【典例2-1】（2024·云南大理·模擬預(yù)測）現(xiàn)有4個同學(xué)站成一排，將甲、乙2個同學(xué)加入排列，保持原來4個同學(xué)順序不變，不同的方法共有（????）種A．10B．20C．30D．60
題型二：分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用
【典例2-2】編號為1，2，3，4的四位同學(xué)參觀某博物館，該博物館共有編號為1，2，3，4的四個門，若規(guī)定編號為1，2，3，4的四位同學(xué)進(jìn)入博物館不能走與自己編號相同的門，則四位同學(xué)用不同的方式進(jìn)入博物館的方法種數(shù)為（????）A．12B．16C．81D．256
【方法技巧】 利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．（2）將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個事件才算完成．
【變式2-2】（2024·高三·江蘇徐州·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城市中任選一個前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有（????）A．18種B．48種C．108種D．192種
題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用
【典例3-2】（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）若從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中任取2個偶數(shù)和2個奇數(shù)，組成一個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)的個數(shù)是 ．
1．（2006 年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（上海卷））如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（　?。〢．48B．18C．24D．362．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（大綱卷Ⅱ））5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同報名方法有（????）A．10種B．20種C．25種D．32種3．（2006年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題（上海卷））電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式 ．（結(jié)果用數(shù)值表示）
1．2160有多少個不同的正因數(shù)？
2．在國慶長假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天，有多少種可能的安排方法？
3．口袋中裝有8個白球和10個紅球，每個球編有不同的號碼，現(xiàn)從中取出2個球．（1）正好是白球、紅球各一個的取法有多少種？（2）正好是兩個白球的取法有多少種？（3）至少有一個白球的取法有多少種？（4）兩球的顏色相同的取法有多少種？
4．（1）從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學(xué)，每人一件，有多少種不同的送法？（2）有5個編了號的抽屜，要放進(jìn)3本不同的書，不同的放法有多少種？（一個抽屜可放多本書）．
易錯點：對兩種計數(shù)原理的概念理解不夠深刻易錯分析：對分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的理解不夠深刻導(dǎo)致錯誤．【易錯題1】某校計劃在五四青年節(jié)期間舉行歌唱比賽，高二年級某班從本班5名男生4名女生中選4人，代表本班參賽，按照學(xué)校要求女生至少參加1人至多參加2人，則選派方式共有（????）A．80種B．90種C．100種D．120種【易錯題2】有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，且醫(yī)療小組中男、女醫(yī)生都要有，則不同的選法共有（????）A．135種B．150種C．165種D．270種
答題模板：計數(shù)原理的應(yīng)用1、模板解決思路在解決計數(shù)原理相關(guān)的應(yīng)用問題時，首要步驟是進(jìn)行深入的分析，明確在計算之前是需要進(jìn)行分類討論還是分步操作．分類時必須確保每一類別獨立且完整，無重疊也無遺漏；分步時則需保證每個步驟的連貫性和完整性．隨后，根據(jù)問題的具體需求，選擇恰當(dāng)?shù)挠嫈?shù)原理來進(jìn)行計算，以確定總的方法數(shù)或可能性．2、模板解決步驟（1）分類加法計數(shù)原理第一步：將完成一件事情的方案分成若干類．第二步：求出每一類的方法數(shù)．第三步：將每一類的方法數(shù)相加得到結(jié)果．（2）分步乘法計數(shù)原理第一步：將完成一件事的過程分成若干步．第二步：求出每一步的方法數(shù)．第三步：將每一步的方法數(shù)相乘得到結(jié)果．

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