\l "_Tc174966507" 01 方法技巧與總結(jié) PAGEREF _Tc174966507 \h 2
\l "_Tc174966508" 02 題型歸納與總結(jié) PAGEREF _Tc174966508 \h 2
\l "_Tc174966509" 題型一：曲率問(wèn)題 PAGEREF _Tc174966509 \h 2
\l "_Tc174966510" 題型二：斜坐標(biāo)系與定義新運(yùn)算 PAGEREF _Tc174966510 \h 3
\l "_Tc174966511" 題型三：定義新概念 PAGEREF _Tc174966511 \h 4
\l "_Tc174966512" 題型四：空間平面方程與直線(xiàn)方程 PAGEREF _Tc174966512 \h 5
\l "_Tc174966513" 題型五：三面角問(wèn)題 PAGEREF _Tc174966513 \h 6
\l "_Tc174966514" 題型六：數(shù)學(xué)文化 PAGEREF _Tc174966514 \h 8
\l "_Tc174966515" 03 過(guò)關(guān)測(cè)試 PAGEREF _Tc174966515 \h 10
面對(duì)新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識(shí)相結(jié)合。明確解題目標(biāo)后，靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計(jì)算公式。在解題過(guò)程中，合理構(gòu)造輔助線(xiàn)和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡(jiǎn)化問(wèn)題。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，可嘗試建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計(jì)算和證明。同時(shí)，要善于將空間問(wèn)題平面化，通過(guò)截面、投影等方式轉(zhuǎn)化求解對(duì)象。最后，解題后要進(jìn)行驗(yàn)證和反思，確保結(jié)論的正確性，并總結(jié)所使用的方法和技巧，以便在未來(lái)遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)能夠迅速應(yīng)對(duì)。
題型一：曲率問(wèn)題
【典例1-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性．規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各項(xiàng)點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．已知多面體的頂點(diǎn)數(shù)V，棱數(shù)E，面數(shù)F滿(mǎn)足，則八面體的總曲率為（ ）

A．B．C．D．
【典例1-2】閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為 ，其中 為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面 ，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面. ”已知在直四棱柱中，底面為菱形.. （角的運(yùn)算均采用弧度制）
(1)若，求四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率；
(2)若四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，求與平面的夾角的正弦值；
(3)截取四面體，若該四面體在點(diǎn)處的離散曲率為與平面交于點(diǎn)，證明：.
【變式1-1】設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中（，2，…，k，）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且．
(1)求直四棱柱在各個(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和；
(2)若直四棱柱在點(diǎn)A處的離散曲率為x，直四棱柱體積為，求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間．
題型二：斜坐標(biāo)系與定義新運(yùn)算
【典例2-1】（多選題）設(shè)是空間中兩兩夾角均為的三條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，若，則把有序數(shù)對(duì)叫作向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若向量，向量，則
B．若向量，向量，則
C．若向量，向量，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
D．若向量，向量，向量，則二面角的余弦值為
【典例2-2】（2024·高三·上海徐匯·期末）已知，，，定義一種運(yùn)算：，已知四棱錐中，底面是一個(gè)平行四邊形，，，
（1）試計(jì)算的絕對(duì)值的值，并求證面；
（2）求四棱錐的體積，說(shuō)明的絕對(duì)值的值與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算的絕對(duì)值的幾何意義.
【變式2-1】已知，，，定義一種運(yùn)算：，在平行六面體中，，，.
(1)證明：平行六面體是直四棱柱；
(2)計(jì)算，并求該平行六面體的體積，說(shuō)明的值與平行六面體體積的關(guān)系.
題型三：定義新概念
【典例3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若干個(gè)能確定一個(gè)立體圖形的體積的量稱(chēng)為該立體圖形的“基本量”．已知長(zhǎng)方體，下列四組量中，一定能成為該長(zhǎng)方體的“基本量”的是（ ）
A．，，的長(zhǎng)度
B．，，的長(zhǎng)度
C．，，的長(zhǎng)度
D．，BD，的長(zhǎng)度
【典例3-2】（2024·河南·二模）等腰四面體是一種特殊的三棱錐，它的三組對(duì)棱分別相等.已知一個(gè)長(zhǎng)方體的體積為12，則用長(zhǎng)方體其中的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的等腰四面體的體積為（ ）
A．3B．4C．6D．8
【變式3-1】（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，．對(duì)于空間任意兩點(diǎn)，，若線(xiàn)段上不存在也在線(xiàn)段，上的點(diǎn)，則稱(chēng)，兩點(diǎn)“可視”，則與點(diǎn)“可視”的點(diǎn)為（ ）
A．B．C．D．
【變式3-2】（2024·安徽合肥·三模）幾何中常用表示的測(cè)度，當(dāng)為曲線(xiàn)、平面圖形和空間幾何體時(shí)，分別對(duì)應(yīng)其長(zhǎng)度、面積和體積．在中，，，，為內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），在空間中，到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的軌跡為，則等于（ ）
A．B．C．D．
題型四：空間平面方程與直線(xiàn)方程
【典例4-1】（1）在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面的法向量，且平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn).求證：.
（2）我們稱(chēng)（1）中結(jié)論為平面的點(diǎn)法式方程，若平面過(guò)點(diǎn)，求平面的點(diǎn)法式方程.
【典例4-2】空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線(xiàn)的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問(wèn)題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過(guò)的直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【變式4-1】三個(gè)“臭皮匠”在閱讀一本材料時(shí)發(fā)現(xiàn)原來(lái)空間直線(xiàn)與平面也有方程．即過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線(xiàn)l的方程為．三個(gè)“臭皮匠”利用這一結(jié)論編了一道題：“已知平面的方程為，直線(xiàn)l是兩個(gè)平面與的交線(xiàn)，則直線(xiàn)l與平面所成的角的正弦值是多少？”想著這次可以難住“諸葛亮”了．誰(shuí)知“諸葛亮”很快就算出了答案．請(qǐng)問(wèn)答案是 ．
【變式4-2】在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面的一般方程為，點(diǎn)到平面的距離，則在底面邊長(zhǎng)與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于 ．
題型五：三面角問(wèn)題
【典例5-1】類(lèi)比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線(xiàn)，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．
（1）當(dāng)、時(shí)，證明以上三面角余弦定理；
（2）如圖2，平行六面體中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．
【典例5-2】類(lèi)比思想在數(shù)學(xué)中極為重要，例如類(lèi)比于二維平面內(nèi)的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理：如圖1，由射線(xiàn)，，構(gòu)成的三面角，記，，，二面角的大小為，則．如圖2，四棱柱中，為菱形，，AA1=23，，且點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為的中點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)直線(xiàn)與平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)夾角為，證明：；
(3)過(guò)點(diǎn)作平面，使平面平面，且與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，若，求值．
【變式5-1】（2024·高三·河北·期末）由空間一點(diǎn)出發(fā)不共面的三條射線(xiàn)，，及相鄰兩射線(xiàn)所在平面構(gòu)成的幾何圖形叫三面角，記為．其中叫做三面角的頂點(diǎn)，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三個(gè)面角，分別記為，，，二面角、、叫做三面角的二面角，設(shè)二面角的平面角大小為，則一定成立的是（）
A．B．
C．D．
題型六：數(shù)學(xué)文化
【典例6-1】我國(guó)南北朝時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家祖暅原提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類(lèi)比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（ ）
A．B．C．D．
【典例6-2】胡夫金字塔的形狀為四棱錐，1859年，英國(guó)作家約翰·泰勒（JhnTaylr，1781-1846）在其《大金字塔》一書(shū)中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔時(shí)利用黃金比例，泰勒還引用了古希臘歷史學(xué)家希羅多德的記載：胡夫金字塔的每一個(gè)側(cè)面的面積都等于金字塔高的平方．如圖，若，則由勾股定理，，即，因此可求得為黃金數(shù)，已知四棱錐底面是邊長(zhǎng)約為856英尺的正方形，頂點(diǎn)的投影在底面中心，為中點(diǎn)，根據(jù)以上信息，的長(zhǎng)度（單位：英尺）約為（ ）．
A．611.6B．481.4C．692.5D．512.4
【變式6-1】球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形(特別是三角形)的角?邊?面積等問(wèn)題，其在航海?航空?衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.定義：球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)稱(chēng)為球的一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)；過(guò)球心的平面與球面的交線(xiàn)稱(chēng)為該球的大圓；對(duì)于球面上不在同一個(gè)大圓上的點(diǎn)，，，過(guò)任意兩點(diǎn)的大圓上的劣弧，，所組成的圖形稱(chēng)為球面，記其面積為.易知：球的任意兩個(gè)大圓均可交于一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，如圖1的和；若球面上，，的對(duì)徑點(diǎn)分別為，，，則球面與球面全等.如圖2，已知球的半徑為，圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小為，圓弧和所在平面?圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小分別為，.記.
（1）請(qǐng)寫(xiě)出，，的值，并猜測(cè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求(用，，，表示).
【變式6-2】球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門(mén)學(xué)科．如圖，球O的半徑為R．A、B、C為球面上三點(diǎn)，劣弧BC的弧長(zhǎng)記為a，設(shè)表示以O(shè)為圓心，且過(guò)B、C的圓，同理，圓的劣弧AC、AB的弧長(zhǎng)分別記為b，c，曲面ABC（陰影部分）叫做球面三角形．若設(shè)二面角分別為α，β，γ，則球面三角形的面積為．

(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；
(2)若平面三角形ABC為直角三角形，，設(shè)．則：
①求證：；
②延長(zhǎng)AO與球O交于點(diǎn)D，若直線(xiàn)DA，DC與平面ABC所成的角分別為，，S為AC中點(diǎn)，T為BC中點(diǎn)，設(shè)平面OBC與平面EST的夾角為θ，求sinθ的最小值，及此時(shí)平面AEC截球O的面積．
1．設(shè)、、…、為平面內(nèi)的個(gè)點(diǎn)，在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)到、、…、點(diǎn)的距離之和最小，則稱(chēng)點(diǎn)為、、…、點(diǎn)的一個(gè)“中位點(diǎn)”，有下列命題：①、、三個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)，在線(xiàn)段上，則是、、的中位點(diǎn)；②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直線(xiàn)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；③若四個(gè)點(diǎn)、、、共線(xiàn)，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；④梯形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)；其中的真命題是（ ）
A．②④B．①②C．①④D．①③④
2．（多選題）（2024·江西·三模）球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門(mén)學(xué)科．如圖，球的半徑為R，A，B，為球面上三點(diǎn)，劣弧BC的弧長(zhǎng)記為，設(shè)表示以為圓心，且過(guò)B，C的圓，同理，圓的劣弧的弧長(zhǎng)分別記為，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，，則稱(chēng)其為曲面等邊三角形，線(xiàn)段OA，OB，OC與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若平面是面積為的等邊三角形，則
B．若，則
C．若，則球面的體積
D．若平面為直角三角形，且，則
3．（多選題）設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中，為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面.已知在直四棱柱中，四邊形為菱形，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等
B．若，則四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為
C．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面
D．若四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，則直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為
4．（多選題）所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫作擬柱體，擬柱體的側(cè)面是三角形、梯形或平行四邊形，其體積是將上下底面面積、中截面(與上下底面距離相等的截面)面積的4倍都相加再乘以高(上下底面的距離)的，在擬柱體中，平面//平面，分別是的中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)四邊形的面積的面積為，面截得擬柱體的截面積為，平面與平面的距離為，下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．直線(xiàn)與是異面直線(xiàn)
B．四邊形的面積是的面積的4倍
C．挖去四棱錐與三棱錐后，擬柱體剩余部分的體積為
D．?dāng)M柱體的體積為
5．（多選題）如果一個(gè)凸n面體共有m個(gè)面是直角三角形，那么我們稱(chēng)這個(gè)凸n面體的直度為，則（ ）
A．三棱錐的直度的最大值為1
B．直度為的三棱錐只有一種
C．四棱錐的直度的最大值為1
D．四棱錐的直度的最大值為
6．（多選題）（2024·安徽滁州·模擬預(yù)測(cè)）閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面”解答問(wèn)題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等
B．若，則四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為
C．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面
D．若四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，則與平面的夾角為
7．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等
B．若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為
C．若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為
D．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面
8．將個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體如圖放置，其中上層正方體下底面的頂點(diǎn)與下層正方體上底面棱的中點(diǎn)重合.設(shè)最下方正方體的下底面的中心為，過(guò)的直線(xiàn)與平面垂直，以為頂點(diǎn)，為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)可以被完全放入立體圖形中.若，則的最小值為 ；若有解，則的最大值為 .
9．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為：，其中（i=1，2，…，k，）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面遍歷多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．
（1）任取正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)，在該點(diǎn)處的離散曲率為 ；
（2）已知長(zhǎng)方體，，，點(diǎn)P為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則四棱錐P－ABCD在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值為 ．
10．（2024·高三·云南保山·期末）刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.根據(jù)曲率的定義，正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為 ，四棱錐的總曲率為 .
11．18世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家辛卜森運(yùn)用定積分，推導(dǎo)出了現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中柱、錐、球、臺(tái)等幾何體的統(tǒng)一體積公式)(其中分別為的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積)，我們也稱(chēng)為“萬(wàn)能求積公式”.例如，已知球的半徑為，可得該球的體積為；已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，可得該正四棱錐的體積為.類(lèi)似地，運(yùn)用該公式求解下列問(wèn)題:如圖，已知球的表面積為36πcm2，若用距離球心都為的兩個(gè)平行平面去截球，則夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體的體積為 .

12．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，.
①直四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等；
②若，則直四棱柱在頂點(diǎn)A處的離散曲率為；
③若，則直四棱柱在頂點(diǎn)A處的離散曲率為；
④若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面.
上述說(shuō)法正確的有 （填寫(xiě)序號(hào)）
13．（2024·江西南昌·三模）球面幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等面都有廣泛的應(yīng)用，如圖，A，B，C是球面上不同的大圓（大圓是過(guò)球心的平面與球面的交線(xiàn)）上的三點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的圖形稱(chēng)為球面．已知地球半徑為R，北極為點(diǎn)N，P，Q是地球表面上的兩點(diǎn)若P，Q在赤道上，且，則球面的面積為 ；若，則球面的面積為 ．
14．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為 ．
15．（2024·山東日照·一模）若點(diǎn)在平面外，過(guò)點(diǎn)作面的垂線(xiàn)，則稱(chēng)垂足為點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影，記為.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)（與，不重合），.給出下列三個(gè)結(jié)論：
①線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是；
②存在點(diǎn)使得平面；
③存在點(diǎn)使得；
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .
16．（2024·高三·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知是棱長(zhǎng)為的正四面體，設(shè)的四個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個(gè)數(shù)為，則稱(chēng)為的階等距平面，為的階等距集.
(1)若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應(yīng)的的個(gè)數(shù)；
(2)已知為的4階等距平面，且點(diǎn)與點(diǎn)分別位于的兩側(cè).若的4階等距集為，其中點(diǎn)到的距離為，求平面與夾角的余弦值.
17．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡(jiǎn)稱(chēng)圓錐S）與不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)S的平面α相交，記交線(xiàn)為C，圓錐S的軸線(xiàn)l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線(xiàn)所成角θ的一半，為探究曲線(xiàn)C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點(diǎn)為F，直線(xiàn)l與平面α交點(diǎn)為A，直線(xiàn)AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線(xiàn)OS與球T的切點(diǎn)為M，，．
(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，關(guān)系式；
(2)求證：曲線(xiàn)C是拋物線(xiàn)．
18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開(kāi)口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來(lái)刻畫(huà)，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值．
19．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．
（1）如圖1，已知長(zhǎng)方體A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，，點(diǎn)P為底面A1B1C1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則求四棱錐P﹣ABCD在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值；
（2）圖2為對(duì)某個(gè)女孩面部識(shí)別過(guò)程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點(diǎn)，然后用短小的直線(xiàn)段連接相鄰三個(gè)采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格．區(qū)域α和區(qū)域β中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大的是哪個(gè)區(qū)域？（確定“區(qū)域α”還是“區(qū)域β”）
20．（1）如圖，對(duì)于任一給定的四面體，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；
（2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿(mǎn)足：，求該正四面體的體積．
21．離散曲率是刻畫(huà)空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．
(1)求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；
(2)如圖，已知在三棱錐中，平面ABC，，，三棱錐在頂點(diǎn)C處的離散曲率為．

①求直線(xiàn)PC與直線(xiàn)AB所成角的余弦值；
②若點(diǎn)Q在棱PB上運(yùn)動(dòng)，求直線(xiàn)CQ與平面ABC所成的角的最大值．
22．離散曲率是刻畫(huà)空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面.
(1)求四棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；
(2)如圖，現(xiàn)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，頂點(diǎn)在底面的射影為的中點(diǎn).
①若，求該四棱錐在處的離散曲率；
②若該四棱錐在處的離散曲率，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

相關(guān)試卷

重難點(diǎn)突破04 初等數(shù)論與平面幾何背景下新定義（六大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）：

這是一份重難點(diǎn)突破04 初等數(shù)論與平面幾何背景下新定義（六大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考），文件包含重難點(diǎn)突破04初等數(shù)論與平面幾何背景下新定義六大題型原卷版docx、重難點(diǎn)突破04初等數(shù)論與平面幾何背景下新定義六大題型解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共71頁(yè)， 歡迎下載使用。

拔高點(diǎn)突破01 統(tǒng)計(jì)背景下的新定義問(wèn)題（四大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）：

這是一份拔高點(diǎn)突破01 統(tǒng)計(jì)背景下的新定義問(wèn)題（四大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考），文件包含拔高點(diǎn)突破01統(tǒng)計(jì)背景下的新定義問(wèn)題四大題型原卷版docx、拔高點(diǎn)突破01統(tǒng)計(jì)背景下的新定義問(wèn)題四大題型解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共60頁(yè)， 歡迎下載使用。

拔高點(diǎn)突破03 圓錐曲線(xiàn)背景下的新定義問(wèn)題（八大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）：

這是一份拔高點(diǎn)突破03 圓錐曲線(xiàn)背景下的新定義問(wèn)題（八大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考），文件包含拔高點(diǎn)突破03圓錐曲線(xiàn)背景下的新定義問(wèn)題八大題型原卷版docx、拔高點(diǎn)突破03圓錐曲線(xiàn)背景下的新定義問(wèn)題八大題型解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共90頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

拔高點(diǎn)突破02 立體幾何中的動(dòng)態(tài)、軌跡問(wèn)題（六大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

拔高點(diǎn)突破02 立體幾何中的動(dòng)態(tài)、軌跡問(wèn)題（六大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）
拔高點(diǎn)突破01 立體幾何中的截面、交線(xiàn)問(wèn)題（九大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

拔高點(diǎn)突破01 立體幾何中的截面、交線(xiàn)問(wèn)題（九大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）
拔高點(diǎn)突破01 新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題（七大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

拔高點(diǎn)突破01 新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題（七大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）
拔高點(diǎn)突破02 平面向量與復(fù)數(shù)背景下的新定義問(wèn)題（六大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

拔高點(diǎn)突破02 平面向量與復(fù)數(shù)背景下的新定義問(wèn)題（六大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部