新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高分突破訓(xùn)練第24講 新信息背景下的數(shù)列問題（2份，原卷版+解析版）

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解決此類問題的一些技巧：
（1）此類問題在設(shè)立問題中通常具有“環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)”的特點，第（1）問讓你熟悉所創(chuàng)設(shè)的定義與背景，第（2），（3）問便進(jìn)行進(jìn)一步的應(yīng)用，那么在解題的過程中要注意解決前面一問中的過程與結(jié)論，因為這本身就是對“新信息”的詮釋與應(yīng)用。
（2）盡管此類題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項，求和”的風(fēng)格不同，但其根基也是我們所學(xué)的一些基礎(chǔ)知識與方法。
（3）在分類討論時要遵循“先易后難”的原則，以相對簡單的情況入手，可能在解決的過程中會發(fā)現(xiàn)復(fù)雜情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復(fù)雜情況也有章可循。
典型例題：
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對于數(shù)列，規(guī)定數(shù)列△為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△；一般地，規(guī)定△為的階差分?jǐn)?shù)列，其中△△△，且，．
(1)已知數(shù)列的通項公式．試證明△是等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列的首項，且滿足△△，，求數(shù)列及的通項公式；
(3)在（2）的條件下，判斷是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)，
(3)存在，-28
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)定義可得，然后可證明；
（2）由條件可得，然后可得，然后利用累加法可求出，然后可得答案；
（3）令，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可得答案.
(1)
證明：依題意，△，
，
△△，
△，
△是首項為1，公差為5的等差數(shù)列．
(2)
△△，，
△△△，
△，，
，，
當(dāng)時，
，
，
當(dāng)時，也滿足上式，
．
(3)
，，
令，則，
則當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，
而，
，即時，存在最小值，其最小值為．
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項，前項和為．設(shè)與是常數(shù)，若對一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列．
(1)若等差數(shù)列是“”數(shù)列，求的值；
(2)若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)定義得，化簡得，進(jìn)而得出對一切正整數(shù)均成立，從而可求出的值；
（2）由題可知，根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，最后根據(jù)，即可求出數(shù)列的通項公式.
(1)
解：因為等差數(shù)列是“”數(shù)列，則，即，
也即，此式對一切正整數(shù)均成立，
若，則恒成立，故，而，這與是等差數(shù)列矛盾，
所以．（此時，任意首項為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）
(2)
解：因為數(shù)列是“”數(shù)列，則，
所以，而，
，
，
，
，
，，
，
.
例3．（2022·北京海淀·高三期末）已知行列的數(shù)表中，對任意的，，都有.若當(dāng)時，總有，則稱數(shù)表A為典型表，此時記.
(1)若數(shù)表，，請直接寫出B，C是否是典型表；
(2)當(dāng)時，是否存在典型表A使得，若存在，請寫出一個A；若不存在，請說明理由；
(3)求的最小值.
【答案】(1)B不是典型表，C是典型表；
(2)不存在；
(3)為偶數(shù)時 ，為奇數(shù)時.
【解析】
【分析】
（1）由題設(shè)典型表的定義，結(jié)合給定的數(shù)表判斷即可.
（2）根據(jù)題設(shè)分析知：數(shù)值分配時有即可，結(jié)合典型表的定義及數(shù)表的對稱性確定最小時在數(shù)表上的分布情況，即可判斷是否存在.
（3）結(jié)合（2）的分析，討論為偶數(shù)、奇數(shù)情況下的最小值.
(1)
對于數(shù)表B有，而不成立，故數(shù)表B不是典型表；
對于數(shù)表C，當(dāng)時總有成立，故數(shù)表C是典型表.
(2)
由題設(shè)知：當(dāng)要存在典型表A使得，則需.
∵要使最小，即典型表A中的“1”最少，又時總有，
∴讓盡量多的橫列和，故將表分成4個數(shù)表，對角的兩個數(shù)表數(shù)值相同，但上下、左右對稱的數(shù)表數(shù)值不同，此時可保證最小.
∴如典型表，有.
∴不存在典型表A使得.
(3)
要使最小，需讓盡量多的橫列和或典型表中“1”盡量少，
當(dāng)為偶數(shù)時，由（2）知：；
當(dāng)為奇數(shù)時，在偶數(shù)的數(shù)表中間加一行一列，并在新增行列中添加個“1”，即可滿足典型數(shù)列，此時；
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：第二問，通過，結(jié)合數(shù)表的對稱性確定最小時的數(shù)值分布情況，即可判斷存在性，第三問，由第二問情況歸納為偶數(shù)時，進(jìn)而推廣到為奇數(shù)時.
例4．（2022·北京房山·高三期末）若數(shù)列 滿足，則稱為數(shù)列．記 ．
(1)寫出一個滿足，且的數(shù)列；
(2)若，證明數(shù)列是遞減數(shù)列的充要條件是；
(3)對任意給定的整數(shù)，是否存在首項為的數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個滿足條件的數(shù)列；如果不存在，說明理由.
【答案】(1)（或 ）
(2)證明見解析
(3)不存在，理由見解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)與和可考慮寫出交替的數(shù)列.
(2)先證必要性，根據(jù)數(shù)列是遞減數(shù)列，可得，進(jìn)而求得.再證明充分性，因為，故，再累加可得證明即可.
(3)設(shè),則，再累加求得，再分析的奇偶，根據(jù)整除的性質(zhì)，先假設(shè)存在再證明矛盾即可.
(1)
（或 ）
(2)
必要性：因為數(shù)列是遞減數(shù)列，
所以 ，
所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以；
充分性：由于，，…，，
所以，即，
因為，所以，
所以數(shù)列是遞減數(shù)列.
綜上，結(jié)論得證．
(3)
令，
則．
因為，，……,，
所以
因為，所以為偶數(shù)，
所以為偶數(shù)．
所以要使，必須使為偶數(shù)，即整除，
亦即或．
當(dāng)時，
數(shù)列的項滿足，，時，
有，；
當(dāng)時，
數(shù)列的項滿足，，，時，
有，．
當(dāng)，時，不能被整除，
所以對任意給定的整數(shù),不存在數(shù)列使得，．
【點睛】
在解數(shù)列新定義的問題,需要根據(jù)題意去絕對值分析,并根據(jù)整除的性質(zhì)推理證明.
例5．（2022·北京東城·高三期末）對于給定的正整數(shù)和實數(shù)，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)：①；②對，，則稱數(shù)列具有性質(zhì).
(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的前項和；
(2)對于給定的正奇數(shù)，若數(shù)列同時具有性質(zhì)和，求數(shù)列的通項公式；
(3)若數(shù)列具有性質(zhì)，求證：存在自然數(shù)，對任意的正整數(shù)，不等式均成立.
【答案】(1)5
(2)
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意得到當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，從而；（2）根據(jù)題干條件得到，故為常數(shù)列，結(jié)合求出；（3）對要證明的不等式變形，構(gòu)造，研究其性質(zhì)，證明出結(jié)論.
(1)
由題意得：，，則當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以數(shù)列的前項和；
(2)
由題意得：，，對于給定的正奇數(shù)，，對，，則令，，得：，，綜上：為常數(shù)列，由可得：
(3)
要證，只需證，即證，令數(shù)列，由于具有性質(zhì)，即，對，，則，對，，所以具有性質(zhì)，令，設(shè)的最小值為，對，令，，由于具有性質(zhì)，則有，所以，
所以，所以成立
【點睛】
本題數(shù)列不等式證明題目，要根據(jù)題干中條件對數(shù)列進(jìn)行變形，用到了構(gòu)造新數(shù)列，數(shù)論的基礎(chǔ)知識，對學(xué)生的邏輯思維能力要求較高.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為.若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”.
(1)若數(shù)列的前n項和，證明：是“數(shù)列”；
(2)設(shè)是等差數(shù)列，其首項，公差.若是“數(shù)列”，求的值；
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，再根據(jù)數(shù)列是“數(shù)列”的概念即可證明結(jié)果．
（2）依題意，，根據(jù)是“數(shù)列”，可知則，可得，由此能求出的值，再進(jìn)行檢驗，即可求出結(jié)果．
(1)
解：因為，
當(dāng)時，，顯然滿足題意，
當(dāng)時， ，（且）
若，，所以，滿足題意，
綜上，則為“H數(shù)列”；
(2)
解：由題意，，所以，所以
又，
若是“H數(shù)列”，則由得
所以，
因，則對任意的n為整數(shù)，，則或，
驗證：時，，
因恒為偶數(shù)，所以m恒為整數(shù)，成立.
時，，不恒為整數(shù)，
不成立.
綜上所述，.
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若實數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“P數(shù)列”．
(1)若數(shù)列是P數(shù)列，且，，求，的值；
(2)求證：若數(shù)列是P數(shù)列，則的項不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；
(3)若數(shù)列是P數(shù)列，且中不含值為零的項，記的前2025項中值為負(fù)數(shù)的項的個數(shù)為m，求m的所有可能取值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）推導(dǎo)出，，由此能求出，的值；
（2）假設(shè)數(shù)列的項都是正數(shù)，則，，與假設(shè)矛盾；假設(shè)數(shù)列的項都是負(fù)數(shù)，則，與假設(shè)矛盾，由此能證明的項不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；
（3）存在最小的正整數(shù)滿足，，數(shù)列是周期為9的數(shù)列，由此能求出結(jié)果．
(1)
解：因為是數(shù)列，且，
所以，
所以，
所以，解得，
所以；
(2)
證明：假設(shè)數(shù)列的項都是正數(shù)，即，，，
所以，，與假設(shè)矛盾，
故數(shù)列的項不可能全是正數(shù)，
假設(shè)數(shù)列的項都是負(fù)數(shù)，
則，而，與假設(shè)矛盾，
故數(shù)列的項不可能全是負(fù)數(shù)，
所以的項不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；
(3)
解：由（2）可知數(shù)列中項既有負(fù)數(shù)也有正數(shù)，
且最多連續(xù)兩項都是負(fù)數(shù)，最多連續(xù)三項都是正數(shù)．
因此存在最小的正整數(shù)滿足，．
設(shè)，，
則，，，．，，，，，
故有，即數(shù)列是周期為9的數(shù)列，
由上可知，，，這9項中，
，為負(fù)數(shù)，，這兩項中一個為正數(shù)，另一個為負(fù)數(shù)，其余項都是正數(shù)，
因為，
所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，，，，這項中至多有一項為負(fù)數(shù)，而且負(fù)數(shù)項只能是，
記，，，這項中負(fù)數(shù)項的個數(shù)為，
當(dāng)，3，4時，若，則，故為負(fù)數(shù)，
此時，；
若，則，故為負(fù)數(shù)．
此時，，
當(dāng)時，必須為負(fù)數(shù)，，，
綜上可知的取值集合為．
【點睛】
本題考查了利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列中的項，考查數(shù)列中的項不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)的證明，考查實數(shù)的集合的求法，難度較大，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運用．
過關(guān)練習(xí)：
一、單選題
1．（2022·山西運城·高三期末（理））在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取該數(shù)列的項：第一次取1；第二次取2個連續(xù)的偶數(shù)2，4；第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5，7，9；第四次取4個連續(xù)的偶數(shù)10，12，14，16；第五次取5個連續(xù)的奇數(shù)17，19，21，23，25；按此規(guī)律取下去，得到一個數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，則這個數(shù)列中第2022個數(shù)是（ ）
A．3974B．3976C．3978D．3980
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意可得，找出取數(shù)的規(guī)律為：奇數(shù)次取奇數(shù)個奇數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個偶數(shù)，前次總共取的數(shù)各數(shù)量可以通過等差數(shù)列求和得到，且第次的最后一個數(shù)為，據(jù)此即可求解.
【詳解】
由題意可得，奇數(shù)次取奇數(shù)個奇數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個偶數(shù)，
前次共取了個數(shù)，且第次的最后一個數(shù)為，
當(dāng)時，，故到第63次取時取了63個奇數(shù)，且前63次共取了2016個數(shù)，即第2016個數(shù)為，
∴時，依次為3970，3972，3974，3976，3978，3980，...，
∴第2022個數(shù)為3980.
故選：D.
2．（2022·河南駐馬店·高三期末（文））對于正整數(shù)，設(shè)最接近的正整數(shù)為（如，），記，從全體正整數(shù)中除去所有，余下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前5項和為（ ）
A．55B．65C．70D．75
【答案】A
【解析】
【分析】
依題意對于給定的，存在唯一確定的，使得．再對與分類討論，即可得到，從得到求出數(shù)列的前5項和；
【詳解】
解：對于給定的，存在唯一確定的，使得．
①當(dāng)時，即，記，，
此時，即，；
②當(dāng)時，即，記，，
此時，即，．
所以，
恰好跳過，即，故數(shù)列的前5項和為．
故選：A
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)到與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項分別為2，3，5，8，12，17，23則該數(shù)列的第100項為（ ）
A．4862B．4962C．4852D．4952
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得數(shù)列2，3，5，8，12，17，23，，滿足：，，從而利用累加法即可求出，進(jìn)一步即可得到的值．
【詳解】
2，3，5，8，12，17，23，后項減前項可得1，2，3，4，5，6，
所以，
所以
.
所以.
故選：D
4．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列的特點是前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用“斐波那契數(shù)列”的定義及數(shù)列的性質(zhì)對選項A、B、C、D逐一分析即可得答案．
【詳解】
解： 對A：，故選項A正確；
對B：由“斐波那契數(shù)列”的定義有，
因為，
所以，故選項B正確；
對C：由“斐波那契數(shù)列”的定義有，
因為，
所以，故選項C正確；
對D：，故選項D錯誤．
故選：D．
5．（2022·浙江杭州·高三期末）若數(shù)列滿足，則下列說法錯誤的是（ ）
A．存在數(shù)列使得對任意正整數(shù)p，q都滿足
B．存在數(shù)列使得對任意正整數(shù)p，q都滿足
C．存在數(shù)列使得對任意正整數(shù)p，q都滿足
D．存在數(shù)列使得對任意正整數(shù)p，q部滿足
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，找到合適的數(shù)列滿足遞推關(guān)系，或舉反例否定. 對選項，找到，且滿足題意；對選項，找到，且滿足題意；對選項，找到與題設(shè)矛盾；對選項，找到滿足題意；
【詳解】
對選項，令，且，則有：，故選項正確；
對選項，由，得：
令，則當(dāng)時，數(shù)列滿足題設(shè)，所以B正確；
對選項，由，
令，得，，，，
令，得，，，
則，，從而，與矛盾，所以錯誤；
對選項，存在數(shù)列，比如，則有：，故選項正確；
故選：
【點睛】
需要熟悉常見函數(shù)的運算規(guī)則，比如對數(shù)運算、指數(shù)運算等，注意類比常見函數(shù)的運算性質(zhì)，尋找恰當(dāng)?shù)臄?shù)列；否定命題，賦值舉反例，發(fā)現(xiàn)矛盾.
6．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（ ）
A．6B．12C．18D．108
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)數(shù)列經(jīng)過第次拓展后的項數(shù)為，因為數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，則經(jīng)過第次拓展后增加的項數(shù)為，從而可得，從而可求出，從而可知經(jīng)過11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，由此可得出經(jīng)過11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.
【詳解】
解：設(shè)數(shù)列經(jīng)過第次拓展后的項數(shù)為，因為數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，則經(jīng)過第次拓展后增加的項數(shù)為，
所以，
即，即，
所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
是以，所以，
則經(jīng)過11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，
所以經(jīng)過11次拓展后6所在的位置為第，
所以.
故選：A.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））對于數(shù)列{an}，若存在正整數(shù)k(k≥2)，使得，，則稱是數(shù)列{an}的“谷值”，k是數(shù)列{an}的“谷值點”.在數(shù)列{an}中，若an＝，則數(shù)列{an}的“谷值點”為（ ）
A．2B．7C．2，7D．2，3，7
【答案】C
【解析】
【分析】
由數(shù)列通項公式寫出前n項，結(jié)合數(shù)列 “谷值點”的定義判斷{an}的“谷值點”.
【詳解】
由an＝，則，，，
當(dāng)n≥7，n∈N*時恒有> 0，
∴an＝＝，此時數(shù)列{an}遞增，
綜上，a2