\l "_Tc174991791" 01 方法技巧與總結(jié) PAGEREF _Tc174991791 \h 2
\l "_Tc174991792" 02 題型歸納與總結(jié) PAGEREF _Tc174991792 \h 2
\l "_Tc174991793" 題型一：由動(dòng)點(diǎn)保持平行求軌跡 PAGEREF _Tc174991793 \h 2
\l "_Tc174991794" 題型二：由動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡 PAGEREF _Tc174991794 \h 3
\l "_Tc174991795" 題型三：由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或定長(zhǎng)）求軌跡 PAGEREF _Tc174991795 \h 4
\l "_Tc174991796" 題型四：由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡 PAGEREF _Tc174991796 \h 5
\l "_Tc174991797" 題型五：投影求軌跡 PAGEREF _Tc174991797 \h 6
\l "_Tc174991798" 題型六：翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡 PAGEREF _Tc174991798 \h 7
\l "_Tc174991799" 03 過關(guān)測(cè)試 PAGEREF _Tc174991799 \h 9
“動(dòng)態(tài)”問題是高考立體幾何中最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它融入了“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面等元素，為傳統(tǒng)的靜態(tài)立體幾何題增添了新的活力，使得題型更加新穎。同時(shí)，由于“動(dòng)態(tài)”元素的引入，立體幾何題變得更加多元化，它能夠在立體幾何問題與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問題以及解析幾何問題之間建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)這些知識(shí)點(diǎn)之間的靈活轉(zhuǎn)化。
立體幾何中的軌跡問題常用的五種方法總結(jié)：
1、定義法
2、交軌法
3、幾何法
4、坐標(biāo)法
5、向量法
題型一：由動(dòng)點(diǎn)保持平行求軌跡
【典例1-1】（多選題）（2024·遼寧大連·二模）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M為中點(diǎn)，N為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．三棱錐的體積為
C．點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為D．的取值范圍為
【典例1-2】已知長(zhǎng)方體，，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，其中，μ∈0,1，且平面，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的軌跡長(zhǎng)度是 .
【變式1-1】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是 （填序號(hào)）
①當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值
②若面，則的最小值為
③若的外心為M，則為定值2
④若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
題型二：由動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡
【典例2-1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體中，和均是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，則四面體外接球的表面積為 ；點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在四面體的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持EF⊥AC，則點(diǎn)F的軌跡的長(zhǎng)度為 .
【典例2-2】（2024·山西·二模）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，體積為，動(dòng)點(diǎn)在棱錐側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為 .
【變式2-1】（多選題）（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，棱的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作正方體的截面，且，若點(diǎn)在截面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），則（ ）
A．當(dāng)最大時(shí)，與所成的角為
B．三棱錐的體積為定值
C．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D．若平面，則的最小值為
【變式2-2】（多選題）（2024·湖南懷化·二模）在三棱錐中，平面，點(diǎn)是三角形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與平面所成角的大小為
B．三棱錐的體積最大值是2
C．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是
D．異面直線與所成角的余弦值范圍是
題型三：由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或定長(zhǎng)）求軌跡
【典例3-1】（多選題）（2024·江西九江·三模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在截面內(nèi)，且，則（ ）
A．三棱錐的體積為B．線段的長(zhǎng)為
C．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為D．的最大值為
【典例3-2】（2024·四川宜賓·三模）在直三棱柱中，，，點(diǎn)P在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，則該三棱柱的表面積為（ ）
A．4B．C．D．
【變式3-1】（2024·四川南充·二模）三棱錐中，，，為內(nèi)部及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【變式3-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)平面，且，則點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
題型四：由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡
【典例4-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)， ，分別為的中點(diǎn)，若直線與直線所成的角為，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形的面積為 ．

【典例4-2】（多選題）（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．當(dāng)P在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
B．當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是
C．若F是的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是
D．使直線AP與平面ABCD所成的角為的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
【變式4-1】（多選題）（2024·廣東梅州·二模）如圖，平面，，M為線段AB的中點(diǎn)，直線MN與平面的所成角大小為30°，點(diǎn)P為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．以為球心，半徑為2的球面在平面上的截痕長(zhǎng)為
B．若P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是一條直線
C．若P到直線MN的距離為1，則的最大值為
D．滿足的點(diǎn)P的軌跡是橢圓
【變式4-2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
題型五：投影求軌跡
【典例5-1】在等腰直角中，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿翻折使，點(diǎn)在平面上的投影為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說法錯(cuò)誤的是
A．線段為定長(zhǎng)B．
C．線段的長(zhǎng)D．點(diǎn)的軌跡是圓弧
【典例5-2】如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點(diǎn)為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率．
【變式5-1】（2024·浙江嘉興·高三嘉興一中?？计谥校┤鐖D，在中，，，.過的中點(diǎn)的動(dòng)直線與線段交于點(diǎn).將沿直線向上翻折至，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在線段上.則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 .
【變式5-2】如圖，在矩形中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起得到，當(dāng)二面角的平面角為，點(diǎn)在平面上的投影為，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到，則點(diǎn)所形成軌跡的長(zhǎng)度為 .
題型六：翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡
【典例6-1】（多選題）（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在五邊形中，四邊形為正方形，，，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起到面位置，使得，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．平面平面
B．若為的中點(diǎn)，則平面
C．折起過程中，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D．三棱錐的外接球的體積為
【典例6-2】如圖，已知菱形中，，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成（點(diǎn)位于平面上方），連接和，F(xiàn)為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（ ）
①平面平面；②與的夾角為定值；
③三棱錐體積最大值為；④點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.
A．①②B．①③C．①②④D．②③④
【變式6-1】（多選題）（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在等腰梯形中，，且為的中點(diǎn)，沿將翻折，使得點(diǎn)到達(dá)的位置，構(gòu)成三棱錐（如圖2），則（ ）
A．在翻折過程中，與可能垂直
B．在翻折過程中，二面角無最大值
C．當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，與所成角小于
D．點(diǎn)在平面內(nèi)，且直線與直線所成角為，若點(diǎn)的軌跡是橢圓，則三棱錐的體積的取值范圍是
【變式6-2】（多選題）（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿向上翻折到的位置，連接，在翻折的過程中，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使得
B．四棱錐體積的最大值為
C．的中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D．與平面所成的角相等
1．（多選題）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形內(nèi)包含邊界的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．滿足平面的點(diǎn)的軌跡為線段
B．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C．直線與直線所成角的范圍為
D．滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
2．（多選題）（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)N是底面正方形ABCD內(nèi)及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)），已知，P為MN中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．無論M，N在何位置，為異面直線B．若M是棱中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
C．M，N存在唯一的位置，使平面D．AP與平面所成角的正弦最大值為
3．（多選題）（2024·湖南·三模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（ ）

A．三棱錐的體積是定值
B．存在點(diǎn)P，使得與所成的角為
C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
D．若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為
4．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正三棱臺(tái)由一個(gè)平面截棱長(zhǎng)為6的正四面體所得，，M，分別是AB，的中點(diǎn)，P是棱臺(tái)的側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．該三棱臺(tái)的體積為
B．平面平面
C．直線CP與平面所成角的正切值的最小值為
D．若，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為
5．（多選題）（2024·全國(guó)·二模）已知正方體外接球的體積為是空間中的一點(diǎn)，則下列命題正確的是（ ）
A．若點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為
B．若是棱上的點(diǎn)（不包括點(diǎn)），則直線與是異面直線
C．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則始終有
D．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐體積為定值
6．（多選題）（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，若點(diǎn)為四邊形內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則平面截正方體所得截面的面積為
B．若直線與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線
C．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D．若正方體以直線為軸，旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，則的最小值是120
7．（多選題）（2024·河北石家莊·三模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（ ）

A．若點(diǎn)為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為
B．若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最小值為
C．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則平面與四邊形的交線長(zhǎng)為
D．若點(diǎn)在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界）且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
8．（多選題）（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中點(diǎn)，在直四棱柱的表面上運(yùn)動(dòng)，則（ ）
A．若在棱上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為
B．若在棱上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐的體積為定值
C．若，則點(diǎn)的軌跡為平行四邊形
D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
9．（多選題）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，下列說法正確的是（ ）

A．平面
B．若，，，四點(diǎn)共面，則
C．若，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，且平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D．若，由平面分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體為和，某球能夠被整體放入或，則該球的表面積最大值為
10．（多選題）（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，過中點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)．將沿直線翻折至，且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點(diǎn)，是直線上異于的任意一點(diǎn)，則（ ）

A．
B．
C．點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為
D．直線與平面所成角的余弦值的最小值為
11．（多選題）如圖甲，在矩形中，，，為上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足將沿折起后，點(diǎn)在平面上的射影總在棱上，如圖乙，則下列說法正確的有（ ）
A．翻折后總有
B．當(dāng)時(shí)，翻折后異面直線與所成角的余弦值為
C．當(dāng)時(shí)，翻折后四棱錐的體積為
D．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為
12．（2024·黑龍江·二模）已知三棱錐的四個(gè)面是全等的等腰三角形，且，，則三棱錐的外接球半徑為 ；點(diǎn)為三棱錐的外接球球面上一動(dòng)點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 ．
13．（2024·山東聊城·一模）已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為 .
14．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是半徑為3的球體表面上兩定點(diǎn)，且，球體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 .
15．（2024·山東臨沂·二模）如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個(gè)半正多面體，亦稱“阿基米德體”．點(diǎn)A，B，M是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)N是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，若，則該多面體的表面積為 ，點(diǎn)N軌跡的長(zhǎng)度為 ．

16．如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個(gè)矩形折成一個(gè)空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點(diǎn)分別記為，，為的中點(diǎn)，則多面體的體積為 ；若點(diǎn)是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 ．
17．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）表面積為36π的球M表面上有A，B兩點(diǎn)，且為等邊三角形，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，當(dāng)點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是 ；當(dāng)P在該球的球面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為 .
18．在正四棱柱中，，E 為中點(diǎn)，為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)為 .
19．（2024·河南開封·二模）已知矩形，，過作平面，使得平面，點(diǎn)在內(nèi)，且與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為 ，長(zhǎng)度的最小值為 ．
20．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)在四邊形內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成軌跡的長(zhǎng)度為 .
21．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)，滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為 ．

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高考數(shù)學(xué)練習(xí)重難點(diǎn)20 立體幾何中的動(dòng)態(tài)、軌跡問題【六大題型】（原卷版）

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【講通練透】重難點(diǎn)突破04 立體幾何中的軌跡問題（六大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破精講

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