\l "_Tc171859228" 01 方法技巧與總結(jié) PAGEREF _Tc171859228 \h 2
\l "_Tc171859229" 02 題型歸納與總結(jié) PAGEREF _Tc171859229 \h 3
\l "_Tc171859230" 題型一：奔馳定理 PAGEREF _Tc171859230 \h 3
\l "_Tc171859231" 題型二：重心定理 PAGEREF _Tc171859231 \h 5
\l "_Tc171859232" 題型三：內(nèi)心定理 PAGEREF _Tc171859232 \h 6
\l "_Tc171859233" 題型四：外心定理 PAGEREF _Tc171859233 \h 6
\l "_Tc171859234" 題型五：垂心定理 PAGEREF _Tc171859234 \h 7
\l "_Tc171859235" 03 過關(guān)測試 PAGEREF _Tc171859235 \h 8
技巧一．四心的概念介紹：
（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1．
（2）內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．
（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等．
（4）垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直．
技巧二．奔馳定理---解決面積比例問題
重心定理：三角形三條中線的交點．
已知的頂點，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為．
注意：（1）在中，若為重心，則．
（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2：1，且分的三個三角形面積相等．
重心的向量表示：．
奔馳定理：，則、、的面積之比等于
奔馳定理證明：如圖，令，即滿足
，，，故．
技巧三．三角形四心與推論：
（1）是的重心：．
（2）是的內(nèi)心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．常見結(jié)論
（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上．
為的內(nèi)心．
（2）外心：為的外心．
（3）垂心：為的垂心．
（4）重心：為的重心．
題型一：奔馳定理
【典例1-1】已知為內(nèi)一點，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
【典例1-2】點在的內(nèi)部，且滿足：，則的面積與的面積之比是（ ）
A．B．3C．D．2
【變式1-1】設(shè)是內(nèi)一點，且，定義，其中分別是的面積，若，則的最小值是（ ）
A．B．18C．16D．9
【變式1-2】設(shè)，過作直線分別交（不與端點重合）于，若，，若與的面積之比為，則
A．B．C．D．
【變式1-3】（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
【變式1-4】（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，則有.設(shè)是銳角內(nèi)的一點，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則為的重心
B．若，則
C．若，，，則
D．若為的垂心，則
題型二：重心定理
【典例2-1】已知是所在平面內(nèi)一定點，動點滿足，則動點的軌跡一定過的 .（選填：外心、內(nèi)心、垂心、重心）
【典例2-2】（2024·高三·陜西渭南·期末）如圖所示，中為重心，過點，，，則 ．

【變式2-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，為的重心，，則 ．
【變式2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在中，過重心的直線交邊于點，交邊于點（、為不同兩點），且，，則的取值范圍為 .
【變式2-3】在 中，角 所對的邊分別為，已知 ，設(shè) 分別是的外心和重心，則 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【變式2-4】（2024·全國·二模）點是所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足，則直線經(jīng)過的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
題型三：內(nèi)心定理
【典例3-1】已知為的內(nèi)心，，且滿足，則的最大值為 .
【典例3-2】在△ABC中，，若O為內(nèi)心，且滿足，則x+y的最大值為 ．
【變式3-1】已知點O是邊長為的等邊△ABC的內(nèi)心，則＝ ．
【變式3-2】（2024·高三·山東聊城·期中）已知是的內(nèi)心，，，，則 ．
【變式3-3】已知中，，，，I是的內(nèi)心，P是內(nèi)部（不含邊界）的動點.若（，），則的取值范圍是 .
題型四：外心定理
【典例4-1】已知點在所在平面內(nèi)，滿足，則點是的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心
【典例4-2】為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則是的（ ）
A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心
【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式4-2】在中，，是的外心，為的中點，，是直線上異于、的任意一點，則（ ）
A．3B．6C．7D．9
【變式4-3】已知O為的外心，，則（ ）
A．8B．10C．12D．1
【變式4-4】在中，，O是的外心，則的最大值為
【變式4-5】已知內(nèi)一點是其外心，，且，則的最大值為 ．
【變式4-6】在中，，，為的外心，，，分別為，，的中點，且，則 .
題型五：垂心定理
【典例5-1】已知的垂心為點，面積為15，且，則 ；若，則 .
【典例5-2】若是的垂心，且，則的值為 ．
【變式5-1】在中，三個內(nèi)角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則 ．
【變式5-2】已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則 .
【變式5-3】已知在中，，點為的垂心，則= ．
1．已知是內(nèi)部的一點，，則的面積與的面積之比是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川南充·三模）已知點P在所在平面內(nèi)，若，則點P是的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．內(nèi)心
3．已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點G，O，H依次為的（ ）
A．重心，外心，內(nèi)心B．重心、內(nèi)心，外心
C．重心，外心，垂心D．外心，重心，垂心
4．O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：，則直線AP一定通過的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
5．已知點A、B、C是平面上不共線的三點，點為的外心，動點滿足條件： (，)，則點的軌跡一定通過的（ ）．
A．內(nèi)心B．垂心C．重心D．邊的中點
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點是的重心，過點的直線與邊分別交于兩點，為邊的中點．若，則（ ）
A．B．C．2D．
7．已知，，，是平面上的4個定點，，，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經(jīng)過的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
8．已知的重心為，則向量（ ）
A．B．
C．D．
9．已知的重心為O，若向量，則（ ）
A．B．C．D．
10．已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點，且，則以下正確的是 （ ）
A．點為的內(nèi)心B．點為的外心
C．D．為等邊三角形
11．已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
12．在中，動點P滿足，則P點軌跡一定通過的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
13．（多選題）（2024·高三·江西新余·期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）
A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若M為的垂心，，則
D．若，，M為的外心，則
14．（多選題）（2024·江蘇南京·二模）已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的重心，，，則（ ）
A．B．
C．的面積的最大值為D．的最小值為
15．（多選題）（2024·遼寧·二模）的重心為點，點O，P是所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足，則（ ）
A．三點共線B．
C．D．點在的內(nèi)部
16．（多選題）已知點是所在平面內(nèi)任意一點，下列說法中正確的是（ ）
A．若，則為的重心
B．若，則為的內(nèi)心
C．若為的重心，是邊上的中線，則
D．若，則
17．（多選題）點O為所在平面內(nèi)一點，則（ ）
A．若，則點O為的重心
B．若，則點O為的內(nèi)心
C．若，則點O為的垂心
D．在中，設(shè)，那么動點O的軌跡必通過的外心
18．（多選題）已知，在所在的平面內(nèi)，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為的外心
B．為的垂心
C．為的內(nèi)心
D．為的重心
19．（多選題）在中，角的對邊分別為，為的外心，則（ ）
A．若有兩個解，則
B．的取值范圍為
C．的最大值為9
D．若為平面上的定點，則A點的軌跡長度為
20．設(shè)M為內(nèi)一點，且，則與的面積之比為 ．
21．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標(biāo)志而來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角形的四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若是內(nèi)一點，的面積分別為，則有.已知為的內(nèi)心，且，若，則的最大值為 .
22．我校高一同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若是內(nèi)的一點，、、的面積分別為、、，則存在結(jié)論，這位同學(xué)利用這個結(jié)論開始研究：若為內(nèi)的一點且為內(nèi)心，的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，若，則的最大值為 .
23．已知點為內(nèi)一點，，則的面積之比為 ．
24．已知點在所在的平面內(nèi)，則下列各結(jié)論正確的個數(shù)是 ．
①若為的垂心，．則
②若為邊長為2的正三角形，則的最小值為
③若，則動點的軌跡經(jīng)的外心
④若為的重心，過點的直線分別與、交于、兩點，若，，則
25．點O是平面上一定點，A，B，C是平面上的三個頂點，，分別是邊AC，AB的對角.有以下四個命題：
①動點P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點集合中；
②動點P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點集合中；
③動點P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點集合中；
④動點P滿足，則的垂心一定在滿足條件的P點集合中.其中正確命題的個數(shù)為 .
26．點是平面上一定點，、、是平面上的三個頂點，、分別是邊、的對角，以下命題正確的是 （把你認為正確的序號全部寫上）．
①動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；
②動點滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點集合中；
③動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；
④動點滿足，則的垂心一定在滿足條件的點集合中；
⑤動點滿足，則的外心一定在滿足條件的點集合中．
27．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）在中，點O、點H分別為的外心和垂心，，則 .
28．設(shè)H是的垂心，且，則 ．
29．在中，，，為的垂心，且滿足，則 .
30．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的外心、垂心分別為，，，則 .

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