重難點突破02 向量中的隱圓問題（五大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc171861061" 01 方法技巧與總結(jié) PAGEREF _Tc171861061 \h 2
\l "_Tc171861062" 02 題型歸納與總結(jié) PAGEREF _Tc171861062 \h 3
\l "_Tc171861063" 題型一：數(shù)量積隱圓 PAGEREF _Tc171861063 \h 3
\l "_Tc171861064" 題型二：平方和隱圓 PAGEREF _Tc171861064 \h 3
\l "_Tc171861065" 題型三：定冪方和隱圓 PAGEREF _Tc171861065 \h 4
\l "_Tc171861066" 題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓 PAGEREF _Tc171861066 \h 4
\l "_Tc171861067" 題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓） PAGEREF _Tc171861067 \h 5
\l "_Tc171861068" 03 過關(guān)測試 PAGEREF _Tc171861068 \h 6
技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓
乘積型：
定理：平面內(nèi)，若為定點，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓
證明：由，根據(jù)極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．
技巧二．極化恒等式和型：
定理：若為定點，滿足,則的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓。
證明：，所以，即的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓．
技巧三．定冪方和型
若為定點，，則的軌跡為圓．
證明：
．
技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓
坐標法妙解
技巧五．阿氏圓
一般地，平面內(nèi)到兩個定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，此圓被叫做阿氏圓．當(dāng)時，點P的軌跡是線段AB的中垂線．
題型一：數(shù)量積隱圓
【典例1-1】已知平面向量滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2024·遼寧鞍山·一模）已知平面向量，，滿足，若，則的最小值為
A．B．C．D．0
【變式1-1】設(shè)平面向量滿足與的夾角為且，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2024·遼寧沈陽·二模）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（）
A．1B．C．3D．
題型二：平方和隱圓
【典例2-1】已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．
【典例2-2】已知平面向量、滿足，，設(shè)，則________.
【變式2-1】在平面直角坐標系中，已知點，，圓，若圓上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【變式2-2】在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足（為坐標原點），則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
題型三：定冪方和隱圓
【典例3-1】已知點，，直線：上存在點，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是______.
【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【變式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？计谥校┮阎矫鎲挝幌蛄?，的夾角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為
A．B．C．D．
【變式3-2】已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（）
A．B．2C．D．1
題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓
【典例4-1】已知平面向量，，且，，向量滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【典例4-2】已知向量滿足，且向量在方向上的投影向量為．若動點C滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則最小值為 .
【變式4-2】已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．
【變式4-3】已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.
題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）
【典例5-1】已知平面向量，，，滿足，且，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【典例5-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，，滿足，且，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式5-1】已知平面向量滿足，且，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式5-2】（2024·高三·山東日照·期中）已知平面向量，，滿足⊥，且，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式5-3】已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為（）
A．B．2C．D．
1．已知平面向量滿足，則的最小值是（）
A．B．C．D．
2．已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是( )
A．B．
C．D．2
3．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知向量，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（）
A．B．C．D．
4．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（）
A．B．2C．D．
5．已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值為（）
A．B．C．D．
6．（2024·北京朝陽·一模）在中，，，點在線段上.當(dāng)取得最小值時，（）
A．B．C．D．
7．（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）在同一直角坐標平面內(nèi)，已知點，點P滿足，則的最小值為（）
A．B．
C．D．
8．已知向量，，滿足，，，，則的最小值等于（）
A．B．C．4D．
9．已知，，是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）
A．B．C．D．
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，則的最小值為（）
A．B．C．8D．2
11．已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是．
12．已知是平面中的三個單位向量，且，則的最小值是 .
13．在平面內(nèi)，已知非零向量與單位向量的夾角為，若向量滿足，則的最小值為 .
14．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）平面中存在三個向量，，，若，，且，且滿足，則的最小值．
15．已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為 .
16．已知是邊長為2的正三角形，點在平面內(nèi)且，則的最大值為，最小值為 .
17．已知為單位向量，且，則的最小值為 .
18．設(shè)向量滿足，與的夾角為，則的最大值為
19．設(shè)是單位向量，且，向量滿足，則的取值范圍是 .
20．已知平面向量，，滿足，，且，則的最大值為 .
21．已知向量，，滿足，，，，則的取值范圍為 .
22．已知向量，，滿足，，與的夾角為，，則的最大值為 .
23．在平面內(nèi)，若有，，，則的最大值為 .