題型一：基本不等式及其應用
1．（2024·高三·安徽蕪湖·期末）《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，并稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示的圖形，點在半圓上，且，點在直徑上運動．作交半圓于點．設，，則由可以直接證明的不等式為（ ）
A．B．
C．D．
2．下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（ ）
已知，求的最小值；解答過程：；
求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；
設，求的最小值；解答過程：，
當且僅當即時等號成立，把代入得最小值為4．
A．0個B．1個C．2個D．3個
3．下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：直接法求最值
4．（2024·上海普陀·二模）若實數(shù)，滿足，則的最小值為 .
5．（2024·高三·上海青浦·期中）若且滿足，則的最小值為 .
6．若，則的最小值為 ．
題型三：常規(guī)湊配法求最值
7．若，則的最小值是 ．
8．若，則函數(shù)的值域是 .
9．若 ，則有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
題型四：化為單變量法
10．若，，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高三·河南漯河·期末）設正實數(shù)、、滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
12．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為 .
13．已知，若，則的最小值為 .
題型五：雙換元求最值
14．（2024·全國·模擬預測）已知，，則的最小值為 ．
15．（2024·高三·福建龍巖·期中）已知且，則的最小值為 ．
題型六：“1”的代換求最值
16．（2024·高三·江蘇南京·開學考試）函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中，則的最小值為 .
17．（2024·四川南充·二模）已知x，y是實數(shù)，，且，則的最小值為
18．（2024·陜西西安·模擬預測）若直線過函數(shù)，且）的定點，則的最小值為 .
19．（2024·上海徐匯·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值為 .
題型七：齊次化求最值
20．（2024·高三·浙江·開學考試）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 .
21．已知，，，則的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
題型八：利用基本不等式證明不等式
22．已知，，為正數(shù)，函數(shù).
(1)若，求的最小值；
(2)若且，，不全相等，求證：.
23．不等式選講已知均為正實數(shù)，函數(shù)的最小值為4．
(1)求證：；
(2)求證：．
24．（2024·四川資陽·模擬預測）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)證明：．
題型九：利用基本不等式解決實際問題
25．（2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）

A．B．
C．D．
26．（2024·廣東韶關·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（ ）
A．10000B．10480C．10816D．10818
27．（2024·高三·山東濟寧·開學考試）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買黃金，售貨員現(xiàn)將的砝碼放在天平的左盤中，取出黃金放在天平右盤中使天平平衡；將天平左右盤清空后，再將的砝碼放在天平右盤中，再取出黃金放在天平的左盤中，使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．則（ ）
A．B．
C．D．以上都有可能
28．（2024·高三·北京朝陽·期末）根據(jù)經(jīng)濟學理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動投入、資本投入和技術水平的影響，用表示產(chǎn)量，表示勞動投入，表示資本投入，表示技術水平，則它們的關系可以表示為，其中.當不變，與均變?yōu)樵瓉淼谋稌r，下面結論中正確的是（ ）
A．存在和，使得不變
B．存在和，使得變?yōu)樵瓉淼谋?br>C．若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋?br>D．若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋?br>29．某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時，需要12天完成，只由一名女社員分裝時，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內(nèi)分裝完畢.由于現(xiàn)有的男?女社員人數(shù)都不足以單獨完成任務，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時會不可避免地造成一些損耗.根據(jù)以往經(jīng)驗，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務的所有男社員會損耗蔬菜共80千克，參與任務的所有女社員會損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（ ）
A．10B．15C．30D．45
題型十：與 a+b、平方和、 ab有關問題的最值
30．（多選題）（2024·全國·模擬預測）若實數(shù)a，b滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
31．（多選題）已知位于第一象限的點在曲線上，則（ ）
A．B．
C．D．
32．（多選題）設正實數(shù)，，且滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
33．（多選題）已知，，，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為
B．的最小值為
C．的最小值為
D．的最小值為
題型十一：三角換元法
34．（多選題）由知實數(shù)a，b滿足，則（ ）
A．a(chǎn)b的最大值為
B．的最大值為
C．
D．當時，的最大值為
35．（多選題）（2024·全國·模擬預測）實數(shù)，滿足，則（ ）
A．
B．的最大值為
C．
D．的最大值為
36．（多選題）若，滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．B．C．D．
題型十二：多次運用基本不等式
37．已知，則的最小值為 .
38．（2024·黑龍江·二模）已知實數(shù)，且，則取得最大值時，的值為（ ）
A．B．C．D．或
39．若實數(shù)a，b滿足ab＞0，則的最小值為（ ）
A．8B．6C．4D．2
40．已知則的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．5
題型十三：待定系數(shù)法
41．（云南師范大學附屬中學2023-2024學年高三4月月考數(shù)學試題）已知實數(shù)，，不全為0，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
42．（2024·山西運城·二模）若a，b，c均為正實數(shù)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
題型十四：多元均值不等式
43．已知，則的最小值為 .
44．函數(shù)的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
題型十五：萬能K法
45．已知實數(shù)滿足，則的最大值為 .
46．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
47．（2024·高三·重慶·期中）已知x，，且，則的最大值為 ．
題型十六：與基本不等式有關的恒(能)成立問題
48．（2024·遼寧大連·一模）對于任意的正數(shù)m，n，不等式 成立，則λ的最大值為
49．（2024·高三·山東濱州·期末）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
50．若兩個正實數(shù)滿足且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
題型十七：基本不等式與其他知識交匯的最值問題
51．已知，向量，則的最大值為 .
52．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在直三棱柱中，，則該三棱柱的體積的最大值為 ．
53．（2024·四川南充·二模）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊．已知，．則的最小值為 ．
54．（2024·湖南·模擬預測）已知為銳角，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
題型十八：整體配湊法
55．（2024·四川成都·三模）若正實數(shù)滿足，則的最大值為 （用表示）．
56．對于正數(shù)，有，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
57．已知，且，則的取值范圍為 .
58．若，則的最小值為 .
1．（2024·陜西西安·模擬預測）下列說法錯誤的是（ ）
A．若正實數(shù)滿足，則有最小值4
B．若正實數(shù)滿足，則
C．的最小值為
D．若，則
2．（2024·河南焦作·模擬預測）已知正數(shù)，滿足，則當取得最小值時，（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·遼寧大連·一模）若奇函數(shù)，則的最小值為（ ）.
A．B．C．D．
5．（2024·貴州黔東南·二模）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A．0B．C．1D．
6．（2024·重慶·模擬預測）若實數(shù)，滿足， 則 的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．
7．（2024·江蘇南通·二模）設，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
8．（2024·全國·模擬預測）已知，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
9．（多選題）（2024·河北保定·二模）已知，則（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最大值為2D．的最小值為
10．（多選題）（2024·浙江紹興·二模）已知，，，則（ ）
A．且B．
C．D．
11．（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則（ ）
A．B．C．D．
12．（多選題）（2024·高三·浙江湖州·期末）已知正數(shù)滿足，下列結論中正確的是（ ）
A．的最小值為B．的最小值為2
C．的最小值為D．的最大值為1
13．（2024·湖北黃石·三模）設，，若，則的最小值為 ，此時的值為 .
14．（2024·上海靜安·二模）在下列關于實數(shù)的四個不等式中，恒成立的是 ．（請?zhí)钊肴空_的序號）
①；②；③；④．
15．（2024·四川德陽·模擬預測）已知正實數(shù)，，滿足，則的最小值是 .
16．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為 ．
1．（2021年天津高考數(shù)學試題）若，則的最小值為 ．
2．（多選題）（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）若x，y滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023年天津高考數(shù)學真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
4．（2015年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（湖南卷））若實數(shù)滿足，則的最小值為
A．B．2C．D．4
5．（2014年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（福建卷））要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是( )
A．80元B．120元
C．160元D．240元
6．（2013年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（天津卷））設a + b = 2, b>0,則的最小值為 .
7．（2014年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（陜西卷））設，且，則的最小值為
8．（2014年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（浙江卷））已知實數(shù)、、滿足，，則的最大值為 .
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc166568061" 01 模擬基礎練 PAGEREF _Tc166568061 \h 2
\l "_Tc166568062" 題型一：基本不等式及其應用 PAGEREF _Tc166568062 \h 2
\l "_Tc166568063" 題型二：直接法求最值 PAGEREF _Tc166568063 \h 3
\l "_Tc166568064" 題型三：常規(guī)湊配法求最值 PAGEREF _Tc166568064 \h 3
\l "_Tc166568065" 題型四：化為單變量法 PAGEREF _Tc166568065 \h 3
\l "_Tc166568066" 題型五：雙換元求最值 PAGEREF _Tc166568066 \h 3
\l "_Tc166568067" 題型六：“1”的代換求最值 PAGEREF _Tc166568067 \h 4
\l "_Tc166568068" 題型七：齊次化求最值 PAGEREF _Tc166568068 \h 4
\l "_Tc166568069" 題型八：利用基本不等式證明不等式 PAGEREF _Tc166568069 \h 4
\l "_Tc166568070" 題型九：利用基本不等式解決實際問題 PAGEREF _Tc166568070 \h 5
\l "_Tc166568071" 題型十：與 a+b、平方和、 ab有關問題的最值 PAGEREF _Tc166568071 \h 6
\l "_Tc166568072" 題型十一：三角換元法 PAGEREF _Tc166568072 \h 7
\l "_Tc166568073" 題型十二：多次運用基本不等式 PAGEREF _Tc166568073 \h 8
\l "_Tc166568074" 題型十三：待定系數(shù)法 PAGEREF _Tc166568074 \h 8
\l "_Tc166568075" 題型十四：多元均值不等式 PAGEREF _Tc166568075 \h 8
\l "_Tc166568076" 題型十五：萬能K法 PAGEREF _Tc166568076 \h 9
\l "_Tc166568077" 題型十六：與基本不等式有關的恒(能)成立問題 PAGEREF _Tc166568077 \h 9
\l "_Tc166568078" 題型十七：基本不等式與其他知識交匯的最值問題 PAGEREF _Tc166568078 \h 9
\l "_Tc166568079" 題型十八：整體配湊法 PAGEREF _Tc166568079 \h 10
\l "_Tc166568080" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc166568080 \h 10
\l "_Tc166568081" 真題實戰(zhàn)練 PAGEREF _Tc166568081 \h 12

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