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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2829" 【考點(diǎn)一 利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】 PAGEREF _Tc2829 \h 1
\l "_Tc24374" 【考點(diǎn)二 過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】 PAGEREF _Tc24374 \h 6
\l "_Tc3919" 【考點(diǎn)三 利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】 PAGEREF _Tc3919 \h 18
【考點(diǎn)一 利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】
例題：（2024上·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分，，是的中點(diǎn)．

(1)求證：是等腰三角形
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2024下·湖南株洲·八年級(jí)?？计谀┮阎谥?，的平分線交于點(diǎn)，．
(1)如圖1，求證：是等腰三角形；
(2)如圖2，若平分交于，，在邊上取點(diǎn)使，若，求的長(zhǎng)．
2．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖1，在中，和的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交于E，交于F．

(1)當(dāng)，則___________；
(2)當(dāng)時(shí)，若是的外角平分線，如圖2，它仍然和的角平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交于E，交于F，試判斷，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
3．（2023上·吉林松原·八年級(jí)?？计谀締?wèn)題背景】在學(xué)習(xí)了等腰三角形等有關(guān)知識(shí)后，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組發(fā)現(xiàn)：當(dāng)角平分線遇上平行線時(shí)一般可得等腰三角形．如圖1，為的角平分線上一點(diǎn)，常過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，易得為等腰三角形．
(1)【基本運(yùn)用】如圖2，把長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，則重合部分的形狀是_______．
(2)【類(lèi)比探究】如圖3，中，內(nèi)角與外角的角平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
(3)【拓展提升】如圖4，四邊形中，為邊的中點(diǎn)，平分，連接，求證：．
【考點(diǎn)二 過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】
例題：（2023上·吉林通化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．

(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，如圖1，則線段與的數(shù)量關(guān)系是__________；
(2)若點(diǎn)不是的中點(diǎn)，如圖2，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(提示：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn))
(3)若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，（2）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練】
1．（2024上·天津?yàn)I海新·八年級(jí)?？计谀┮阎本€，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線，上的點(diǎn)，，且，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終滿(mǎn)足．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)．
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，試確定線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
2．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┮阎诘冗吶切沃?，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且．
(1)【感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)【類(lèi)比】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)時(shí)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______，請(qǐng)說(shuō)明理由；（提示如下：過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．）
(3)【拓展】在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在直線上，且，若的邊長(zhǎng)為2，，則的長(zhǎng)是______．
3．（2024上·廣東中山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中， ， ， 點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段移動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿的延長(zhǎng)線移動(dòng)，并與點(diǎn) P同時(shí)停止． 已知點(diǎn) P，Q移動(dòng)的速度相同，連接與線段 相交于點(diǎn)D(不考慮點(diǎn) P與點(diǎn)A，B重合時(shí)的情況)．
(1)求證: ；
(2)求證: ；
(3)如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，在點(diǎn)P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否變化?如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)長(zhǎng)度；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)齊齊哈爾市第三中學(xué)校校考期末）綜合與實(shí)踐：
已知：等邊．
【觀察猜想】如圖①：D為線段上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)E．可知為_(kāi)_____三角形．
【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】如圖②：D為線段外一點(diǎn)，連接，以為一邊作等邊三角形．連接．猜想與數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，直線與相交所產(chǎn)生的交角中的銳角為_(kāi)_____．
【深入探究】：D為線段上一點(diǎn)，F(xiàn)為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．
（1）特殊感知：當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，如圖③，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；
（2）特例啟發(fā)：當(dāng)D為上任意一點(diǎn)，其余條件不變，如圖④，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
（3）拓展延伸：在等邊三角形中，點(diǎn)D在直線上，點(diǎn)F在直線上，且．若的邊長(zhǎng)為2，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【考點(diǎn)三 利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】
例題：（2023上·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一長(zhǎng)邊相等，解答下列問(wèn)題：如圖1，在中，交于點(diǎn)D，平分，且．
(1)為了證明結(jié)論“”，小亮在AC上截取，使得，解答了這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)按照小亮的思路寫(xiě)證明過(guò)程；
(2)如圖2，在四邊形中，已知，，，，，，求的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練】
1．在中，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在線段上，．
(1)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______；
(2)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)不重合，試說(shuō)明與的數(shù)量關(guān)系；
(3)在（1）的情況下，試判斷，與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．
2．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)大連市第三十四中學(xué)校考期中）已知，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接于點(diǎn)．
(1)寫(xiě)出圖1中與相等的角，______；
(2)如圖1，若，在圖中找出與相等的線段并證明；
(3)如圖2，若，求的長(zhǎng)度．

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1 等腰三角形

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