一．子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念
2．Venn圖：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．
3．子集的性質(zhì)
(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A.
(2)對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.
4.子集的個數(shù)
假設(shè)集合A中含有n個元素，則有：
(1)A的子集有2n個；
(2)A的非空子集有(2n－1)個；
(3)A的真子集有(2n－1)個；
(4)A的非空真子集有(2n－2)個.
二．空集
1.定義：不含任何元素的集合叫做空集
2.記作：?
3.規(guī)定:空集是任何集合的子集，即??A
4.特性
(1)空集只有一個子集，即它的本身，???；
(2)若A≠?，則?A
5.區(qū)分：0，{0}，?與{?}之間的關(guān)系
一．判斷集合關(guān)系的方法
1.觀察法：一一列舉觀察.
2.元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系.
3.數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.
二.求給定集合的子集的兩個注意點：
1.按子集中元素個數(shù)的多少，以一定的順序來寫；
2.在寫子集時要注意不要忘記空集和集合本身.
三．由集合間的關(guān)系求參數(shù)
1.若已知集合是有限集，求解時，一般根據(jù)對應(yīng)關(guān)系直接列方程．
2.若已知集合是無限集，求解時，通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗證端點值，做到準確無誤．一般含“＝”用實心圓點表示，不含“＝”用空心圓圈表示．
3.注意點：①不能忽視集合為?的情形；②當集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論.
考點一 集合間的關(guān)系
【例1-1】（2023·江蘇）設(shè)集合，，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【例1-2】（2022·廣西桂林）已知集合，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·北京）已知集合，，則（ ）
A．?B．C．D．
2．（2022秋·福建福州）已知集合，則下列關(guān)系中，正確的是（ ）.
A．B．C．D．
3．（2023·寧夏銀川）下列集合關(guān)系中錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
考法二 空集
【例2-1】（2023安徽）下列集合中為的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（2022·上海）下列命題中正確的是（ ）
A．空集沒有子集
B．空集是任何一個集合的真子集
C．任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集
D．設(shè)集合，那么，若，則
【一隅三反】
1．（2023·天津）下列四個說法中，正確的有（ ）
①空集沒有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若，則；
④任何集合至少有兩個子集．
A．0個B．1個C．2個D．3個
2．（2023·北京）已知六個關(guān)系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關(guān)系表達正確的個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023·河南）下列四個命題：
①空集沒有子集；②空集是任何一個集合的真子集；
③?＝{0}；④任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集．
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
考法三 （真）子集的個數(shù)
【例3-1】（2022秋·江蘇揚州）已知集合，則集合的真子集個數(shù)為（ ）
A．8B．7C．6D．5
【例3-2】（2023·海南）若集合A滿足?，則集合A所有可能的情形有（ ）
A．3種B．5種C．7種D．9種
【一隅三反】
1．（2023·江蘇南京）集合的子集個數(shù)為（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．（2023·新疆）已知集合滿足，那么這樣的集合的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·河南開封）已知集合，，則集合B的真子集個數(shù)是（ ）
A．3B．4C．7D．8
考法四 已知集合關(guān)系求參數(shù)
【例4-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，，若，則（ ）．
A．2B．1C．D．
【例4-2】（2023·高一課時練習(xí)）已知集合，若，則實數(shù)a的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2023秋·河南鄭州）已知集合沒有非空真子集，則實數(shù)a構(gòu)成的集合為______.
【例4-4】（2023·江蘇）已知集合.
(1)若，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【一隅三反】
1．（2023·福建）（多選）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B?A，則實數(shù)a的取值可能為（ ）
A．－3B．－2
C．0D．3
2．（2022秋·河南·高一統(tǒng)考期中）集合或，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·安徽蕪湖）若集合，，且?，求實數(shù)m的值.
4．（2022·高一課時練習(xí)）已知集合．
(1)若，，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，，求實數(shù)的取值范圍．
5.（2023·安徽）已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
定義
符號表示
圖形表示
子集
如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集
A?B(或B?A)
真子集
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集
AB(或BA)
集合
相等
如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等
A＝B
?與0
?與{0}
?與{?}
相同點
都表示無的意思
都是集合
都是集合
不同點
?是集合；0是實數(shù)
?不含任何元素；{0}含一個元素0
?不含任何元素；{?}含一個元素，該元素是?
關(guān)系
0??
?{0}
?{?}或?∈{?}

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