了解圖形的位似、知道利用位似可以按指定的比例將一個圖形放大或縮小；
會按照給出的相似比，畫出與已知多邊形位似的圖形.
這一組蝴蝶圖案除彼此相似外，還有什么特點？
對應點的連線都經(jīng)過點O.
活動1.在四邊形ABCD外，任取一點O，分別連接OA，OB，OC，OD；
如圖，任意畫一個四邊形ABCD.
活動3.四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD相似嗎？并說明理由.
相似，理由是：通過畫圖，由三角形的中位線定理可知：A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′A′∥DA，即四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD的對應角相等.
又因為四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD的對應邊成比例，所以四邊形A′B′C′D′∽四邊形ABCD.
活動4.四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD每對對應點所在的直線有怎樣的位置關系？
每對對應點所在的直線都經(jīng)過同一點.
活動5.過點O任意作一條射線，分別交兩個四邊形的邊于E′，E，則OE′與OE的比是多少？
　 一般地，如果兩個圖形滿足以下兩個條件：所有經(jīng)過對應點的直線都相交于同一點；這個交點到兩個對應點的距離之比都相等，那么這兩個圖形就叫做位似圖形， 經(jīng)過各對應兩點的直線的交點叫做位似中心.位似中心到兩個對應點的距離之比叫做位似比.
例1 如圖，請以坐標原點O為位似中心，作平行四邊形ABCD的位似圖形，并把平行四邊形ABCD的邊長放大3倍.
分析：把平行四邊形ABCD的邊長放大3倍，即畫一個與平行四邊形ABCD的位似比為3：1的平行四邊形.
3.依次連結GC，CE ，EF，F(xiàn)G.四邊形GCEF就是所求作的四邊形.
利用圖形的位似可以把一個圖形放大或縮小.若所畫圖形與原圖形的位似比大于1，則將圖形放大；若所畫圖形與原圖形的位似比小于1，則將原圖形縮小.
如圖，例1中平行四邊形ABCD的頂點坐標分別為 A(0，4)，B(2，0)，C(6，0)，D(4，4).
(1)寫出平行四邊形GCEF的各個頂點坐標.
G(0，12)，C(6，0)，E(18，0)，F(xiàn)(12，12).
(2)寫出平行四邊形 G′C′E′F′的各個頂點坐標.
G′(0，-12)，C′(-6，0)，E′(-18，0)，F(xiàn)′(-12，-12).
(3)將平行四邊形GCEF和平行四邊形 G′C′E′F′的各個頂點坐標與平行四邊形ABCD的對應頂點坐標作比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？
平行四邊形GCEF和平行四邊形 G′C′E′F′的各個頂點的橫坐標、縱坐標分別是平行四邊形ABCD的對應頂點橫、縱坐標的3倍或-3倍.
以坐標原點為位似中心的位似圖形有以下性質：
當以坐標原點為位似中心時，若原圖形上點的坐標為(x，y)，位似圖形與原圖形的位似比為k，則位似圖形上的對應點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky).
1.△DEF和△ABC是位似圖形，點O是位似中心，點D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點，若△DEF的面積是2，則△ABC的面積是( )
A、2 B、4 C、6 D、8
解析：根據(jù)題意，得△DEF和△ABC的相似比為1∶2，則面積比為1∶4，因為△DEF的面積是2，則△ABC的面積是8.
2.如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為位似中心，將△ABO擴大到原來的2倍，得到△A′B′O．若點A的坐標是(1，2)，則點A′的坐標是( )
A、(2，4) B、(-1，-2) C、(-2，-4) D、(-2，-1)
3.如圖，已知△ABC與點O ，以點O為位似中心畫△DEF，使其與△ABC位似，且相似比為2.
解：畫法一: △DEF與△ABC同側.(1)作射線OA，OB，OC；(2)在射線OA，OB，OC上分別取點D，E，F(xiàn)，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC；(3)連接DE，EF，F(xiàn)D，則△DEF就是所要畫的圖形.
畫法二: △DEF與△ABC異側.(1)作射線AO，BO，CO；(2)在射線AO，BO，CO上分別取點D，E，F(xiàn)，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC；(3)連接DE，EF，F(xiàn)D，則△DEF與△ABC位似，相似比為2.
你能總結出位似作圖的一般步驟嗎？
1.確定位似中心；2.確定關鍵點（一般是多邊形的頂點）；3.找出新圖形的關鍵點；4.順次連接各點，得到所求作的圖形.
首先把原圖形的各點的橫、縱坐標都乘相似比k或乘-k，然后描點連線即可.
(1)所有經(jīng)過對應點的直線都相交于同一點；(2)這個交點到兩個對應點的距離之比都相等.

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4.7 圖形的位似

版本： 浙教版（2024）

年級： 九年級上冊

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