一、單選題（本大題共8小題）
1．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
2．在中，角的對邊分別為，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，，∥，則∥B．若，，則
C．若，，，則D．若，∥，則
4．向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
5．數(shù)據(jù)1，2，5，4，8，10，6的第60百分位數(shù)是（ ）
A．4.5B．5.5C．6D．8
6．已知兩條不同的直線m，n和兩個不同的平面α，β，下列四個命題中正確的為（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
7．某學(xué)校高一年級學(xué)生有900人，其中男生500人，女生400人，為了獲得該校高一全體學(xué)生的身高信息，現(xiàn)采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣方法抽取了容量為180的樣本，經(jīng)計算得男生樣本的均值為170，女生樣本的均值為161，則抽取的樣本的均值為是（ ）
A．165.5B．166C．166.5D．168
8．在如圖所示的電路中，三個開關(guān)，，閉合與否相互獨立，且在某一時刻，，閉合的概率分別為，，，則此時燈亮的概率為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知向量，滿足，則以下說法正確的是（ ）
A．若，，則或
B．若，則
C．若，，則向量在向量上的投影數(shù)量為
D．向量在向量上的投影向量為
10．某單位為了解員工參與一項志愿服務(wù)活動的情況，從800位員工中抽取了100名員工進行調(diào)查，根據(jù)這100人的服務(wù)時長（單位：小時），得到如圖所示的頻率分布直方圖．則（ ）
A．a(chǎn)的值為0.018
B．估計員工平均服務(wù)時長為45小時
C．估計員工服務(wù)時長的中位數(shù)為48.6小時
D．估計本單位員工中服務(wù)時長超過50小時的有45人
11．如圖，在正方體中，，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線與所成的角的大小為
B．直線平面
C．平面平面
D．直線與平面所成角的正弦值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量的夾角為，且，則 .
13．某校為了解今年春季學(xué)期開學(xué)第一周，高二年級學(xué)生參加學(xué)校社團活動的時長，有關(guān)部門隨機抽查了該校高二年級100名同學(xué)，統(tǒng)計他們今年春季學(xué)期開學(xué)第一周參加學(xué)校社團活動的時長，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中這100名同學(xué)今年春季學(xué)期開學(xué)第一周參加學(xué)校社團活動的時長（單位：小時）范圍是，數(shù)據(jù)分組為.這100名同學(xué)中，今年春季學(xué)期開學(xué)第一周參加學(xué)校社團活動的時長不少于6小時的人數(shù)為 人.
14．鎮(zhèn)江西津渡的云臺閣，是一座宋元風格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成為鎮(zhèn)江市的地標建筑之一.如圖，在云臺閣旁水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則云臺閣的高度為 米.

四、解答題（本大題共5小題）
15．已知平面向量，.
(1)若，求；
(2)若，求.
16．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，．
(1)若，，求A；
(2)若，求周長的最大值．
17．某消防隊為了了解市民對“消防基本常識”的認知程度，針對本市不同年齡的人舉辦了一次“消防之星”知識競賽，滿分100分（95分及以上為“消防之星”），共有100人榮獲“消防之星”稱號，將其按年齡分成以下五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這些人的平均年齡和第80百分位數(shù)；
(2)若從第三組，第四組，第五組三組中分層抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的2人年齡在不同組的概率；
(3)若第三組的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和2，第四組的年齡的平均數(shù)與方差分別為46和4，據(jù)此計算這100人中第三組與第四組所有人的年齡的方差.
附：
18．如圖，直三棱柱中，與交于點O，M為線段AC的中點，，．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求三棱錐的體積．
19．如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，四邊形為正方形，且，點為棱的中點，點為棱上一點.
(1)若點為中點，求證：平面；
(2)若點滿足，
（i）求證：；
（ii）求直線與平面所成角的正切值.
參考答案
1．【答案】D
【分析】先求共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)即可.
【詳解】因為，所以，
所以.
故選D.
2．【答案】D
【分析】利用兩角和與差的余弦展開式化簡可得，由正弦定理得，再利用正弦的二倍角公式可得答案.
【詳解】因為
，
所以，
因為，所以，或舍去，可得，
因為，由正弦定理得，
所以，
因為，所以，可得，
，所以.
故選D.
3．【答案】D
【分析】對于ABC，舉例判斷，對于D，利用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理分析判斷即可.
【詳解】對于A，如圖當，，∥時，與相交，所以A錯誤，
對于B，如圖，當，時，∥，所以B錯誤，
對于C，如圖當，，時，∥，所以C錯誤，
對于D，設(shè)，在平面內(nèi)作，因為，所以，
因為∥，所以，
因為，所以，所以D正確.
故選D.
4．【答案】A
【分析】根據(jù)向量的坐標運算求解.
【詳解】因為，
則，且，
所以.
故選：A.
5．【答案】C
【分析】對這7個數(shù)按從小到大的順序排列，然后根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.
【詳解】這7個數(shù)從小到大排列為：1，2，4，5，6，8，10，
因為，
所以第60百分位數(shù)是第5個數(shù)，即是6.
故選C.
6．【答案】D
【分析】利用點、線、面的位置關(guān)系即可得出答案.
【詳解】對于A，若，，則可能相交，故A錯誤；
對于B，若，，則可能，故B錯誤；
對于C，若，，則可能，故C錯誤；
對于D，若，在平面內(nèi)能找到直線，使得，
由，可得，又因為，則，故D正確.
故選：D.
7．【答案】B
【分析】由樣本均值計算公式，代入數(shù)據(jù)即可求得；
【詳解】抽取的樣本的均值近似于總體的均值，
由題意可得：，，
抽取的樣本的均值為.
故選B.
8．【答案】D
【分析】利用兩個獨立事件及對立事件來解決問題.
【詳解】此時燈亮由兩個獨立事件組成，即開關(guān)同時閉合和開關(guān)同時閉合，
由這兩個獨立事件至少有一組閉合，燈就一定亮，
而它的對立事件是這兩個獨立事件同時都不滿足閉合，
所以燈亮的概率為.
故選D.
9．【答案】ABD
【分析】A選項，計算出，根據(jù)向量垂直得到方程，求出或，A正確；B選項，兩邊平方，求出；C選項，根據(jù)垂直關(guān)系得到，從而根據(jù)投影向量的模長公式求出C正確；D選項，在C選項基礎(chǔ)上，根據(jù)投影向量的公式進行求解.
【詳解】A選項，，
因為，所以，
解得或，A正確；
B選項，兩邊平方得，，
因為，所以，
故，則，B正確；
C選項，因為，所以，
，故，
則向量在向量上的投影數(shù)量為，C錯誤；
D選項，由C選項知，，
向量在向量上的投影向量為，D正確.
故選ABD.
10．【答案】AC
【分析】對于A項，根據(jù)各組的頻率和為1可求出；對于B項，利用平均數(shù)的定義求解判斷；對于C項，先判斷中位數(shù)的位置，然后列方程求解即可；對于D項，根據(jù)頻率分布直方圖求出服務(wù)時長超過50小時的頻率，再乘以800進行判斷.
【詳解】對于A項，由頻率分布直方圖得，
解得，所以A正確，
對于B項，員工平均服務(wù)時長為，所以B錯誤，
對于C項，因為前2組的頻率和為，前3組的頻率和為，
所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為，則，
解得，所以C正確，
對于D項，因為服務(wù)時長超過50小時的頻率為，
所以本單位員工中服務(wù)時長超過50小時的約有人，所以D錯誤.
故選AC.
11．【答案】ABD
【分析】利用平移法可求出直線與所成的角，判斷A；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B；采用反證法可判斷C；根據(jù)線面角的定義求出直線與平面所成角的正弦值，判斷D.
【詳解】對于A，連接，則，即為正三角形，
又，分別為，的中點，故，
故直線與所成的角即為所成角或其補角，而，
故直線與所成的角的大小為，A正確；
對于B，由于，故四邊形為平行四邊形，
故，而，故,
又平面，平面，故平面，B正確；
對于C，取EF中點為M，連接DM，顯然，故，
假設(shè)平面平面，而平面平面，
平面，則平面，又平面，
則，這與二者交于D點矛盾，C錯誤；
對于D，不妨設(shè)正方體棱長為2，點C到平面的距離為d，
則，
而，
則，解得，
設(shè)直線與平面所成角為，則，D正確，
故選：ABD
12．【答案】
【分析】由平面向量數(shù)量積的定義可得，再由，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算律即可得解.
【詳解】因為向量，的夾角為，，所以，
所以，
所以.
故答案為：.
13．【答案】68
【分析】計算出參加學(xué)校社團活動的時長不少于6小時的頻率，進而得到出參加學(xué)校社團活動的時長不少于6小時的人數(shù).
【詳解】今年春季學(xué)期開學(xué)第一周參加學(xué)校社團活動的時長不少于6小時的頻率為
，
故參加學(xué)校社團活動的時長不少于6小時的人數(shù)為.
故答案為：68
14．【答案】
【分析】設(shè)，利用三角函數(shù)分別表示,然后分別中利用余弦定理表示,因為,所以,
求出h即可.
【詳解】設(shè)，
在中，，.
在中， ,,
在中，,.
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：,
因為,
所以， 即，.
故答案為： .
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標表示得到方程，解出值，再利用向量的坐標表示即可得到答案；
（2）根據(jù)向量垂直的坐標表示得到，再利用向量夾角的坐標表示即可.
【詳解】（1）因為，
又因為，所以，解得，
所以.
（2）因為，
所以，解得.
所以，
所以.
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理直接求解；
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式得，從而可求出周長的最大值．
【詳解】（1）由正弦定理知，所以，解得，
因為B為鈍角，所以．
（2）由余弦定理得，
又由，，則，
所以，
所以，當且僅當時，等號成立，
即的最大值為4，
所以周長的最大值為．
17．【答案】(1)平均年齡為34.5歲，第80百分位數(shù)為45；
(2)；
(3)26.8.
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均值公式和百分位數(shù)的求法即可；
（2）利用古典概型公式，列出所有情況和滿足題意的情況即可；
（3）根據(jù)分層方差公式計算即可.
【詳解】（1）這些人的平均年齡為
(歲).
由頻率分布直方圖可知，年齡在的頻率為，
在的頻率為，
則第80百分位數(shù)為，由，解得.
所以估計這些人的平均年齡為34.5歲，第80百分位數(shù)為45.
（2）第三組，第四組，第五組的頻率分別為0.3，0.2，0.1，
若從這三組中分層抽取6人，則從第三組抽取3人，記為；第四組抽取2人，
記為；第五組抽取1人，記為；
對應(yīng)的樣本空間，
，
所以；
設(shè)事件為“從6人中隨機抽取兩人，所抽取的2人年齡在不同組”，
則，
，所以，
所以.
（3）設(shè)第三組、第四組的年齡的平均數(shù)分別為，方差分別為.則.
由第三組有30人，第四組有20人，
設(shè)第三組和第四組所有人的年齡平均數(shù)為，方差為，
則，
.
所以這100人中第三組與第四組所有人的年齡的方差為26.8.
18．【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)線面平行判定定理證明；
（2）應(yīng)用面面垂直判定定理證明；
（3）等體積法求三棱錐的體積.
【詳解】（1）
連接，因為直三棱柱，，，又
所以是正方形且O為線段的中點，
又M為線段AC中點，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因為，，平面平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（3）因為M為線段AC中點，
所以，
即三棱錐的體積為．
19．【答案】(1)證明見解析
(2)（i）證明見解析；（ii）
【分析】（1）根據(jù)條件可得，從而證得平面；（2）（i）首先證明平面PBC，從而證明平面DEF，即可得到；（ii）由（i）可知即為直線與平面所成的角，根據(jù)邊長關(guān)系求出即可得到答案.
【詳解】（1）中，點，分別為棱，的中點，
∴
又四邊形是正方形，∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）（i）在四棱錐中，
平面，四邊形為正方形,
,,
,平面，平面，
平面
平面
在中，，為中點
，，平面，平面
平面
平面
又，，平面，平面
平面，又平面
.
（ii）由（i）可知即為直線與平面所成的角，
在中，，，則
又，∴，
∴
故直線與平面所成的角的正切值為

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