1. 命題“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命題“，”的否定是，，
故選：C.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題設(shè)，則或，
由，顯然有、、、，
所以A、B、D錯(cuò)，C對(duì).
故選：C.
3. 已知是函數(shù)的零點(diǎn)，且，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在為增函數(shù)，因?yàn)椋?，，則，由零點(diǎn)存在定理可得，又因?yàn)?，，?
故選：B.
4. 已知，是第三象限角，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，則，
而，且是第三象限角，則，
所以.
故選：A.
5. 設(shè)、，則的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，不妨取，，則，故“”“”，A不滿足要求；
對(duì)于B選項(xiàng)，若，且函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，故“”“”，所以，是的一個(gè)充要條件，B不滿足要求；
對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，則，且，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，故，則，則有或，所以，“”“”，C不滿足要求；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且函?shù)為增函數(shù)，故，可得，所以，“”“”，且“”“”，所以，“”是“”的一個(gè)充分不必要條件，D滿足要求.
故選：D.
6. 已知是第一象限角，則下列正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵?br>∴，所以則角的終邊在一、二象限或y軸非負(fù)半軸上，，A不正確；，B不正確；由，角的終邊在第一象限或第三象限，所以 ，D正確；角的終邊在第三象限時(shí)，，C不正確；
故選：D.
7. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】若，則，故，
由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則.
故選：A.
8. 已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最大值為2
B. 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
D. 直線與函數(shù)的圖象所有公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為
【答案】D
【解析】，
由，則，
當(dāng)，即時(shí)，取最大值為3，A錯(cuò)；
由正弦函數(shù)的單調(diào)性，知和，
即和時(shí)，單調(diào)遞增，B錯(cuò)；
，但不關(guān)于對(duì)稱，C錯(cuò)；
令，則，又，
所以或或，即或或，
故所有公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，D對(duì).
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 集合A，B與對(duì)應(yīng)關(guān)系f如圖所示，則是從集合A到集合B的函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】選項(xiàng)A：集合A中任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的，是函數(shù)，
選項(xiàng)B：集合A中存在元素3在集合B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)的，不是函數(shù)，
選項(xiàng)C：集合A中任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的，是函數(shù)，
選項(xiàng)D：集合A中存在元素5在集合B中有2個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不是函數(shù).
故選：AC.
10. 德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，狄利克雷函數(shù)就以其名命名，該函數(shù)解析式為，則下列關(guān)于函數(shù)的命題中，是真命題的為（ ）
A. 為偶函數(shù)
B. 任意非零有理數(shù)都是的周期
C. ，
D. 若，則
【答案】ABC
【解析】選項(xiàng)A：當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，則也是有理數(shù)，則，
當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，則也是無(wú)理數(shù)，則，
故當(dāng)時(shí)，，故A正確；
選項(xiàng)B：，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，則也是有理數(shù)，，
當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，則也是無(wú)理數(shù)，，故B正確
選項(xiàng)C：當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，，，
當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，，，故C正確；
選項(xiàng)D：若，，則，但，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
11. 如圖，已知直線，與函數(shù)，的圖象分別交于，，，四點(diǎn)，且為平行四邊形，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】依題意，當(dāng) 時(shí)， 在 圖象下方，
所以在 圖象上， 在 圖象上，
所以 ， ， ，
又因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?br>所以 ，即 ，即
，
又因?yàn)? ，所以 ，
.故A正確，B錯(cuò)誤.
由均值不等式 ，化簡(jiǎn)可得 ，
當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，由于 ，故 ，D正確，C錯(cuò)誤.
故選：AD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線但又不與該直線相交，則________．
【答案】1
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)無(wú)限接近直線但又不與該直線相交，所以，又函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，所以.
所以.所以.
故答案為：1.
13. 設(shè)，為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合，若，，則集合的子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．
【答案】32
【解析】因?yàn)槎x集合，且，，
又，
所以集合A中的元素分別為1，2，3，4，5共5個(gè)，
則集合的子集的個(gè)數(shù)為.
故答案為：32.
14. 設(shè)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：．．若存在實(shí)數(shù)，使得，，，同時(shí)成立，則的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】由，得；由，得，則；
由，得，則；由，得，則，
而，，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 求滿足下列條件的各式的值：
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）由，，得，
所以.
（2）由，得，
所以.
16. 某公司生產(chǎn)某種儀器的固定成本為4000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入500元，已知總收入（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量（單位：臺(tái)，，）滿足函數(shù)：，利潤(rùn)是總收入與總成本之差．
（1）將利潤(rùn)（單位：元）表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？
解：（1）利潤(rùn)是總收入與總成本之差，所以．
（2），
所以當(dāng)或時(shí)，公司獲得最大利潤(rùn)為74120元．
17. 如圖，以軸的非負(fù)半軸為始邊的角，的終邊分別交圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)）于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，已知扇形的弧長(zhǎng)與面積的數(shù)值都是．
（1）求圓心角的弧度數(shù)；
（2）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
解：（1）記圓的半徑為，扇形的弧長(zhǎng)與面積分別為，，
則由得，
由得，所以圓心角的弧度數(shù)為．
（2）由題意，所以，
，
所以點(diǎn)橫坐標(biāo)．
18. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?br>（1）借助，證明：函數(shù)總能表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和；
（2）設(shè)函數(shù)．
（i）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并根據(jù)定義進(jìn)行證明；
（ii）求不等式的解集．
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)，的定義域也為，
由，，得，函數(shù)為偶函數(shù)，
由，，得，函數(shù)為奇函數(shù)，
又，
所以函數(shù)總能表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.
（2）（i）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，且，
，
由，知，則，，，
因此，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（ii）因?yàn)闉榕己瘮?shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
不等式等價(jià)于，即，解之得，
所以不等式的解集為.
19. 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，，分別為邊，上的點(diǎn)（，不與點(diǎn)重合），已知．
（1）求證：的周長(zhǎng)為定值，并求出該定值；
（2）求面積的最小值．
（1）證明：法一：設(shè)，，，，則，，
因?yàn)?，所以，變形得①?br>的周長(zhǎng)為②，
將①變形得代入②，
所以，
又，所以，
所以的周長(zhǎng)為定值2；
法二：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，
易得，則，，，
所以，則，
周長(zhǎng)為.
（2）解：法一：
，
由①得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)③，
將③變形得，，
所以或（舍去），
所以，
所以面積的最小值為，
法二：設(shè)，，則，，
由第一問(wèn)知，，
所以，
因?yàn)?，所以?br>展開(kāi)得，
由基本不等式變形可得，
解得，所以，
所以面積的最小值為.

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