1. 已知點(diǎn)B是點(diǎn)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，則（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】首先得到點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量模的計(jì)算公式即可得解.
【詳解】點(diǎn)B是點(diǎn)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，
，
，
故選：A.
2. 設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行的公式計(jì)算可得或 ，進(jìn)而可判斷充分與必要條件.
【詳解】直線與直線平行則，
即，可得或 ，
故“ ”是“直線與直線平行”的充分不必要條件，
故選：A
3. 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓，把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用矩形ABCD截某圓錐得到的橢圓E與該矩形的四邊相切，且該矩形的長(zhǎng)：寬為，則橢圓E的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，再根據(jù)求解即可.
【詳解】由題意，得，故離心率為
故選：C
4. 中，，，C點(diǎn)在y軸上，若AB邊上的中線CD也是AB邊上的高，則直線CD的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，根據(jù)兩直線垂直斜率之積等于可得，然后利用點(diǎn)斜式即可得
【詳解】由題意，得D是AB的中點(diǎn)，則，且，
又，則，
則直線CD的方程為，即
故選：B
5. 已知直線與圓相交，且直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為4，則直線的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用垂徑定理和點(diǎn)到直線的距離公式逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)橄议L(zhǎng)為4，所以圓心到直線的距離，
對(duì)于A，，不符合題意；
對(duì)于B，，符合題意；
對(duì)于C，，不符合題意；
對(duì)于D，，不符合題意；
故選：B
6. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則下列是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)的是（ ）
A. 191B. 193C. 1023D. 1025
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件構(gòu)造等比數(shù)列，逐個(gè)求解即可判斷各項(xiàng).
【詳解】，
，
是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
，即，
對(duì)于A、令，解得2，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B、令，解得2，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C、令，解得2，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D、令，解得2，是第10項(xiàng)，故D正確
故選：
7. 如圖，在平行六面體中，，，則下列直線與平面垂直的是（ ）
A. ACB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè) ， ， ，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可得 ，進(jìn)而可得 平面 .
【詳解】設(shè) ， ， ，
則 為空間所有向量的一個(gè)基底，且 ， ， ，
因?yàn)?， ，
所以 ， ，
， ，
，又 ，平面，
平面
故選：C
8. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為A，B，C，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列分段和的性質(zhì)可得，，仍然成等差數(shù)列，進(jìn)而化簡(jiǎn)求解即可.
【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)、前2n項(xiàng)、前3n項(xiàng)的和分別為A、B、C，
，，仍然成等差數(shù)列，
，
化為，即
故選：D
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線l的一個(gè)方向向量為，則直線l的傾斜角可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率，結(jié)合方向向量與斜率關(guān)系列方程求斜率，進(jìn)而確定傾斜角的大小.
【詳解】由題意，，解得，則，
設(shè)傾斜角為，則，解得或.
故選：BC
10. 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)，連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上，兩點(diǎn)所形成的曲線C可以是（ ）
A. 若，C是圓心在原點(diǎn)的圓
B. 若，C是焦點(diǎn)在x軸上橢圓
C. 若，C是焦點(diǎn)在x軸上橢圓
D. 若，C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
【答案】ACD
【解析】
【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，再根據(jù)化簡(jiǎn)求解可得，再分別討論，，與時(shí)的情況即可.
【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，由條件可得，
即，
又、的坐標(biāo)滿足，
對(duì)A，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是圓心在原點(diǎn)的圓，所以A正確;
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故B錯(cuò)誤;
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故C正確;
對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故D正確.
故選：ACD
11. 已知數(shù)列滿足：，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)遞推公式可得，化簡(jiǎn)可得，再逐個(gè)選項(xiàng)求解數(shù)列各項(xiàng)判斷即可.
【詳解】，
時(shí)，，
兩式相減，得，
，即，
對(duì)于A，，，，，
，，，
，，，
故A正確；
對(duì)于B，，，
，，，
故B不正確；
對(duì)于C，時(shí)，，
時(shí)，，故C正確；
對(duì)于D，，，，，
，
故D正確，
故選：ACD
三、填空題：本題共1小題，每小題5分，共5分.
12. 圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過，兩點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心坐標(biāo)與半徑，可得圓的方程.
【詳解】解：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，
解得x=1，即圓心為，半徑為，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
故答案為：；
13. 已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若，則_________.
【答案】5
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的求和公式即可求解.
【詳解】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得：，
所以，則，
因此，所以
故答案為：
14. 已知A，B為雙曲線C的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且是頂角為的等腰三角形，寫出C的一條漸近線方程_________.
【答案】或
【解析】
【分析】由題意，求出M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)，可求雙曲線的漸近線方程.
【詳解】令雙曲線方程為，，，
因?yàn)槭琼斀菫榈牡妊切危?br>則，故橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為,
故，代入雙曲線方程：，
雙曲線的漸近線方程為
故答案為：或
四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 如圖，已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，記，，
（1）用，，表示向量
（2）求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算求解即可；
（2）根據(jù)，再平方求解可得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，?br>所以；
【小問2詳解】
依題意，得，，
所以，
，
所以.
16. 已知是等差數(shù)列，且，
（1）求的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè)數(shù)列，若，求滿足條件的最大整數(shù)
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，求出公差，即可求得答案；
（2）由（1）的結(jié)果可求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法求出，解不等式即得答案.
【小問1詳解】
是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由得，，
由得，，，
所以
【小問2詳解】
，
則，
由，解得，，即，
所以滿足條件的最大整數(shù)n為
17. 已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程;
（2）若經(jīng)過點(diǎn)的直線l與點(diǎn)M的軌跡相交于C，D兩點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段CD的長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先設(shè)點(diǎn)，再求出斜率，列方程求值.
（2）設(shè)直線l的方程為：聯(lián)立，根據(jù)垂直得到所以即，整理帶入得到答案.
【小問1詳解】
設(shè)，則，，所以，化簡(jiǎn)得
【小問2詳解】
易知直線l的斜率存在，記為k，設(shè)直線l的方程為：，，，
聯(lián)立得，所以①
因?yàn)?，所以即，即?br>整理可得，將①代入，得，即，
所以
18. 如圖，在直三棱柱中，，，M是AB的中點(diǎn)，已知平面與平面的夾角為

（1）求的長(zhǎng);
（2）若N是的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)，Q是線段上一點(diǎn)，且平面
（i）求；
（ii）求直線PQ到平面的距離.
【答案】（1）2； （2）（i）23；（ii）
【解析】
【分析】（1）構(gòu)建合適空間直角坐標(biāo)系，記，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值，得到方程求參數(shù)，即得結(jié)果；
（2）（i）設(shè)，得，進(jìn)而可得，結(jié)合線面平行及向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)，即可得解；（ii）將線面距離化為求點(diǎn)面距，應(yīng)用向量法求距離.
【小問1詳解】
如圖，分別以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
記，則，，，，BC中點(diǎn)
因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，又，
由且都在平面內(nèi)，所以平面，
所以為平面的一個(gè)法向量，又，，
設(shè)n=x,y,z為平面的法向量，有，則，
令x=1，所以平面的一個(gè)法向量，
所以,，解得a=2.
【小問2詳解】
（i）由（1）知，，
設(shè)，則，，
因?yàn)槠矫?，所以，由?）知
所以，解得，所以.
（ii）因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)P到平面的距離，即為直線PQ到平面的距離，
，所以點(diǎn)P到平面的距離為，即直線PQ到平面的距離為

19. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用公式①(其中a，b，c，d為常數(shù))，將點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)變換為點(diǎn)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由a，b，c，d組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將，稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母A，B，表示.依據(jù)以上信息，處理以下問題：
（1）已知點(diǎn)按照二階矩陣變換n次得到點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo);
（2）如圖，將點(diǎn)P(x，y)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)到原點(diǎn)距離不變)，求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣
（3）如圖，y軸與直線是函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線C的兩條漸近線，判斷C是否為雙曲線，若是請(qǐng)給予證明，若不是請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）
（2）坐標(biāo)變換公式為
（3）是，證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，通過計(jì)算整理可得答案；
（2）設(shè)，，則，，，利用兩角和正弦及余弦公式計(jì)算即可；
（3）設(shè)圖象上任一點(diǎn)P(x，y)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，由（2）可知代入，得即可證明.
【小問1詳解】
記，由題意得即，
即
【小問2詳解】
設(shè)，，則，，，
故，
，
所以坐標(biāo)變換公式為該變換所對(duì)應(yīng)的二階矩陣為
【小問3詳解】
曲線C是雙曲線.
證明：考慮雙曲線的圖象關(guān)于兩條漸近線的夾角的角平分線對(duì)稱，設(shè)y軸與直線的角平分線與y軸所夾的銳角為，y軸與直線所夾的銳角為，則，
易知，，由于，所以，，
設(shè)圖象上任一點(diǎn)P(x，y)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，
由（2）可知：
所以
代入，得，旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)曲線方程為：，
即曲線C繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后為焦點(diǎn)在y軸上，對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線，所以曲線C是雙曲線.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用三角函數(shù)的定義解題：角的始邊與軸正半軸重合；在角的終邊上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則：；； .

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