【指數(shù)增長】隨著中國經(jīng)濟的高速增長，旅游人數(shù)不斷增加，A、B兩個景區(qū)自 2001年起采取了不同的應(yīng)對措施，A地提高了門票價格，B地則取消了門票.下 表給了A、B兩個景區(qū)2001~2015年的游客人次及逐年增加量.
比較一下兩地景區(qū)旅游人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？
A地區(qū)經(jīng)營地比較平衡，B地區(qū)發(fā)展比較快.
為了便于觀察，我們把表格中的數(shù)據(jù)畫成圖像：
觀察圖像和表格，可以發(fā)現(xiàn)：A景區(qū)的游客人次近似于直線上升(線性增長)，年增加量大致相等(約為10萬人次)；B景區(qū)的游客人次是非線性增長，年增加量越來越大，難從圖像和年增加量都難看出變化規(guī)律.
【探究】我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的.那么能否通過 對B景區(qū)每年的游客人次做其他運算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？
增加量=變后量-變前量
【嘗試】從2002年起，將B景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
【結(jié)論】結(jié)果表明，B景區(qū)的游客人次的年增長率都約為1.11-1=0.11，是一個常數(shù).
【總結(jié)】像這樣，增長率為常數(shù)的變化方式，稱為指數(shù)增長.因此，B景區(qū)的游客 人數(shù)近似于指數(shù)增長.即從2011年起，每一年的游客人次都是上一年的 1.1倍左右，增長量越來越多.
t年后，B景區(qū)游客人次是2011年的1.11t倍.即t年后B景區(qū)的游客人次:
容易看出這是一個函數(shù)，其中指數(shù)t是自變量.
【指數(shù)衰減】南極冬季的冰架面積大約為1880萬平方千米，假設(shè)冰川每年融化0.1%， 那么n年后南極的冰川的剩余量W為：
【定義】如果用字母 代替上述兩個問題中的底數(shù)1.11和0.999，那么函數(shù)
一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù). 其中 是自變量，定義域是R.
和 就都可以表示為 的形式，
其中， 是自變量，底數(shù) 是一個大于0且不等于1的常量.
【1】 解析式中 的系數(shù)為1
【2】 底數(shù) 是常數(shù)，滿足
【3】 自變量 是指數(shù)，且
因此，指數(shù)函數(shù)的定義只是一個形式定義.判斷一個函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)關(guān)鍵是看這個函數(shù)的解析式變形整理之后是不是具備以上三個特征.
例如， 等都是指數(shù)函數(shù)，這是因為
其中， 稱為指數(shù)型函數(shù)，
【問題】 指數(shù)函數(shù) 中為什么規(guī)定 ？
【答】 ①若 ，則當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 無意義.
②若 ，則對于 的某些數(shù)值，可以 無意義.如 ，這 時對于 等情況在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在.
②若 ，則對于任意 ， ，是一個常量，沒有研究 的必要.為了避免上述情況的發(fā)生，所以規(guī)定 ，這樣 規(guī)定之后，對于任意的實數(shù) ， 都有意義且 .
【二】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)系中作出底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)圖像.
一般地，指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)如下表所示：
（1）過定點（0，1）
【1】指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
【2】指數(shù)函數(shù)在y軸右側(cè)的圖像，底數(shù)越大 圖像越高.（底大圖高）
【4】指數(shù)函數(shù)圖像下端與 軸無限接近， 但永不相交.
【5】指數(shù)函數(shù)都是下凸的函數(shù).
【例題】比較下列各題中兩個值的大小.
【解】（1）函數(shù) 是增函數(shù)，且2.5＜3，則1.72.5＜1.73
（2）函數(shù) 是減函數(shù)，且 ，則
【1】求下列函數(shù)的定義域和值域.
【2】不論 為何值，函數(shù) 的圖像一定經(jīng)過點P， 則點P的坐標(biāo)是多少？
所以函數(shù)經(jīng)過定點（2，2）
(方法二)因為指數(shù)函數(shù) 經(jīng)過定點(0,1),所以當(dāng) ，此時
【3】求出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.
易知 在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)
當(dāng) 時， 在R上單調(diào)遞增，
所以 在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

4.1 指數(shù)

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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