1. 通過具體實例,感受不同現(xiàn)實背景下函數(shù)值增長的變化規(guī)律,知道增長率為常數(shù)的變化方式為指數(shù)增長,了解指數(shù)函數(shù)的意義.2. 通過建立具體實例中的函數(shù)模型,借助由特殊到一般的研究方法,抽象出指數(shù)函數(shù)的概念,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).3. 通過數(shù)據(jù)分析,感受指數(shù)函數(shù)值的變化規(guī)律,體會指數(shù)函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系,學(xué)會用函數(shù)模型描述客觀世界事物變化規(guī)律.
數(shù)學(xué)有趣之謎：財主與指數(shù)爆炸從前有個姓張的大財主，他很富有卻對仆人很吝嗇，是個典型的守財奴．一天，鎮(zhèn)上來了一個神秘人，他找到張財主，說：“我想和你簽個合同，在接下來的31天我將每天給你10萬元，而你只需第1天給我1分錢，以后你每天給我的錢是前一天的2倍．”張財主聽了心中暗自竊喜，心想他31天就能得到310萬，馬上答應(yīng)下來．合同生效了，財主欣喜若狂．張財主第1天付給神秘人1分錢，得到10萬元．第2天，張財主付給神秘人2分錢，得到10萬元．第3天，張財主付給神秘人4分錢，得到10萬元．第4天，張財主付給神秘人8分錢，得到10萬元．到了第10天，張財主共得到100萬元，而總共才付給神秘人10元2角3分.張財主想：要是合同訂兩個月、三個月該多好！可漸漸地，情況發(fā)生了轉(zhuǎn)變．
第21天張財主付給神秘人1萬多元，得到10萬元．到第28天，張財主要付給神秘人134萬多元，才能得到10萬元．張財主破產(chǎn)了，因為在這31天內(nèi)，他在得到310萬元的同時，共付給了神秘人2 147 483 647分，也就是2 000多萬元！張財主的故事一定讓你感到吃驚：開始時微不足道的數(shù)字，兩倍兩倍地增長，竟然會變得這么巨大！事實的確如此，因為張財主碰上了“指數(shù)爆炸”．一種事物如果成倍成倍地增大(如2×2×2×…), 即符合指數(shù)函數(shù)y＝ax(a> 1)時， 這種增大的速度就像“大爆炸”一樣，非常驚人．
【活動1】建立指數(shù)函數(shù)模型
【問題1】某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個……1個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是________.
【問題2】莊子曰：“一日之棰，日取其半，萬世不竭”．設(shè)經(jīng)過的天數(shù)為x(天)，木棒剩余的長度為y(尺)，則 y可以表示為________.
　【問題3】你能再寫出一些類似的函數(shù)嗎?這些函數(shù)具有什么共同特征?
【問題4】你能從上述函數(shù)中,抽象出指數(shù)函數(shù)的定義嗎?
【活動2】探究指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征
【問題5】下列函數(shù)中,哪些是指數(shù)函數(shù)?哪些不是指數(shù)函數(shù)?
【問題6】對于指數(shù)函數(shù),其底數(shù)有怎樣的要求?
【問題7】指數(shù)函數(shù)有怎樣的結(jié)構(gòu)特征?
典例精析
【例1】若函數(shù)f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則(　　)A. a＝1，或a＝2　 B. a＝1C. a＝2　 D. a>0，且a≠1
思路點撥：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念求參數(shù)的值．
【方法規(guī)律】1. 對于指數(shù)函數(shù)的概念，要牢牢抓住指數(shù)函數(shù)的三個重要特征：(1) 底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)；(2) 指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上；(3) ax的系數(shù)必須為1.
【變式訓(xùn)練1】下列函數(shù)中,哪些是指數(shù)函數(shù)?
解：(1) 底數(shù)-8 ,且a≠1,所以2a-1>0,且2a-1≠1,所以y=(2a-1)x（a>,且a≠1）是指數(shù)函數(shù).　(4) 3x前的系數(shù)是2,而不是1,所以不是指數(shù)函數(shù).
思路點撥：(1)根據(jù)待定系數(shù)法求出指數(shù)函數(shù)的表達式，然后直接求解即可．(2)設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)的解析式，然后代入已知點的坐標求解參數(shù)，從而確定函數(shù)解析式，再代值求解．
【方法規(guī)律】解決此類問題的關(guān)鍵是求出指數(shù)函數(shù)解析式．求指數(shù)函數(shù)解析式的步驟：(1) 設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(a>0且a≠1).(2) 利用已知條件求底數(shù)a.(3) 寫出指數(shù)函數(shù)的解析式．
【變式訓(xùn)練2】已知指數(shù)函數(shù)y＝(2b－3)ax經(jīng)過點(1，2)，求a，b的值．
解：由指數(shù)函數(shù)的定義可知2b－3＝1，即b＝2.將點(1，2)代入y＝ax，得a＝2.
【例3】放射性物質(zhì)的半衰期T定義為每經(jīng)過時間T，該物質(zhì)的質(zhì)量會衰退為原來的一半．某鉛制容器中有兩種放射性物質(zhì)A，B，開始記錄時該容器中物質(zhì)A的質(zhì)量是物質(zhì)B的質(zhì)量的2倍，而120 h后兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等．已知物質(zhì)A的半衰期為7.5 h，則物質(zhì)B的半衰期為(　　) A. 10 h B. 8 h C. 12 h D. 15 h
思路點撥：根據(jù)題設(shè)中實際問題建構(gòu)指數(shù)函數(shù)模型，再利用指數(shù)冪的運算進行求解
【方法規(guī)律】由特殊到一般探求變化規(guī)律，建構(gòu)不同的指數(shù)函數(shù)模型，研究兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別．
【變式訓(xùn)練3】某人進行理財投資．設(shè)其投資金額為x元，獲利金額為y元，有以下兩種方案：甲：y＝0.2x，乙：y＝1.005x，則分別投資1 000元、1 500元時，應(yīng)分別選擇________方案.
解:當x＝1 000時，甲：y＝0.2×1 000＝200；乙：y＝1.0051 000≈146.581 500，故此時選乙方案．
思路點撥：根據(jù)函數(shù)的奇偶性,結(jié)合實數(shù)指數(shù)冪的運算進行求解.
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？
2.你認為本節(jié)課的重點和難點是什么？
2.若函數(shù)f(x)＝(a2－a－1)ax＋a2－4是指數(shù)函數(shù)，則(　　)A.a＝1 B.a＝2 C.a＝1，或a＝2 D.a>0，且a≠1
5. (2018·寶雞三模)調(diào)查表明，酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要原因．交通法規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.8 mg/mL，而在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小時50%的速度減少，則他至少要經(jīng)過________h后才可以駕駛機動車．

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4.2.1 指數(shù)函數(shù)的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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