北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)（成達(dá)部）2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2024年10月12月
第I卷（共40分）
一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題所列出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）
1. 設(shè)集合，則（）
A. B. ?C. ?D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合的表達(dá)式，可求出集合是的奇數(shù)倍，是的整數(shù)倍，即可得出的關(guān)系.
【詳解】由可知，集合表示的是的奇數(shù)倍；
由可知，集合表示的是的整數(shù)倍；
即可知是的真子集，即?.
故選：B
2. 函數(shù)的定義域是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意，分子根號下的式子大于或等于零，分母不為零，據(jù)此列出的不等式組，求解即可．
【詳解】解：要使原式有意義只需：
，解得且，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故選B．
【點(diǎn)睛】求函數(shù)的定義域分兩類，一是實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，有變量的實(shí)際意義確定；二是一般函數(shù)的定義域，由使式子有意的的范圍確定，一般是列出不等式組求解．注意結(jié)果要寫成集合或區(qū)間的形式．
3. 下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法，以及初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，不符合題意；
對于B中，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得在區(qū)間上是減函數(shù)，不符合題意；
對于C中，由函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且，所以函數(shù)奇函數(shù)，
又由函數(shù)在為增函數(shù)，所以在區(qū)間上也是增函數(shù)，符合題意；
對于D中，由函數(shù)，當(dāng)時，，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得在區(qū)間上是減函數(shù)，不符合題意.
故選：C.
4. 為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）
A. 向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度
B. 向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度
C. 向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度
D. 向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度
【答案】D
【解析】
【分析】按照左加右減，上加下減，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，得到答案.
【詳解】A選項(xiàng)，向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到，錯誤；
B選項(xiàng)，向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度得到，錯誤；
C選項(xiàng)，向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到，錯誤；
D選項(xiàng)，向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到，正確.
故選：D
5. 下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）
①若，則；②若，則；
③不全為零；④
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值，可以直接判斷①②，用作差法判斷③④，進(jìn)而確定選項(xiàng).
【詳解】對于①②，，則，但是，，故①②錯誤；
對于③，因?yàn)椴蝗珵?，則a2+b2?ab=a?12b2+34b2>0，則，故③正確；
對于④，，則，故④正確.
故選：C.
6. 函數(shù)的大致圖像是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由排除兩個選項(xiàng)，再由時，排除一個選項(xiàng)后可得正確選項(xiàng)．
【詳解】∵，所以，故排除C，D，
當(dāng)時，恒成立，排除A，
故選：B．
7. 若“”是“”充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先解出絕對值不等式，再根據(jù)充分不必要條件得到集合的包含關(guān)系，即可得到不等式組，解得即可.
【詳解】由，即，解得，
因?yàn)椤啊笔恰啊背浞植槐匾獥l件，
所以真包含于，所以（等號不能同時取得），解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C
8. 已知關(guān)于的不等式的解集是，則下列結(jié)論中錯誤的是（）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式及其解集得出，然后結(jié)合二次函數(shù)的大致圖象及直線可得關(guān)于的性質(zhì)．
【詳解】根據(jù)不等式的解集得，原不等式化為，
作出函數(shù)的大致圖象，及直線，如圖，函數(shù)圖象的對稱軸是，由圖象知：
，即，A正確；
，B錯；
，即x1?x2>4，C正確；
，即，D正確．
故選：ACD．
9. 已知函數(shù)，若對于任意正數(shù)，關(guān)于的方程都恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個數(shù)為（）
A. B. C. D. 無數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】分、、三種情況討論，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值.
【詳解】當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時，關(guān)于的方程有且只有一個實(shí)根，不合乎題意；
當(dāng)時，，如下圖所示：
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
由題意可得，解得；
若，則，如下圖所示：
函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由題意可得，此時無解.
綜上所述，.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
10. 設(shè)A，B為兩個非空有限集合，定義，其中表示集合S的元素個數(shù).某學(xué)校甲?乙?丙?丁四名同學(xué)從思想政治?歷史?地理?物理?化學(xué)?生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為，，，.已知{物理，化學(xué)，生物}，{地理，物理，化學(xué)}，{思想政治，歷史，地理}，給出下列四個結(jié)論：
①若，則{思想政治，歷史，生物}；
②若，則{地理，物理，化學(xué)}；
③若{思想政治，物理，生物}，則；
④若，則{思想政治，地理，化學(xué)}
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】
【分析】對于①③，直接根據(jù)定義計(jì)算，即可判定；對于②，通過定義計(jì)算得到必為偶數(shù)，討論和，兩種情況下的求解，即可判定；對于④，通過舉例{物理，地理，歷史}，即可判定.
【詳解】對于①中，由，所以，所以，
又由{地理，物理，化學(xué)}，所以{思想政治，歷史，生物}，所以①正確；
對于②，由，即，
所以，所以必為偶數(shù)，又，
當(dāng)時，，不符合，
所以且，此時情況較多，比如：{物理，地理，生物}，所以②錯誤；
對于③中，若{思想政治，物理，生物}，
則，
所以，所以③正確；
對于④中，當(dāng){物理，地理，歷史}時，
，
滿足，但不是{思想政治，地理，化學(xué)}，所以④錯誤.
故選：B.
第II卷（共60分）
二?填空題（本大題共8小題，每小題4分，其32分）
11. 函數(shù)的值域?yàn)開_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
【詳解】由已知，它在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
時，，又時，，時，，
所以所求的值域?yàn)?
故答案為：．
12. 已知函數(shù)，若對于任意的正實(shí)數(shù)都滿足，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，令，求得，再令，即可求得的值，得到答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，對于任意的正實(shí)數(shù)都滿足，
令，可得，
令，可得.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)x∈0,+∞時，______.
【答案】
【解析】
【分析】當(dāng)x∈0,+∞時，可得，根據(jù)題意，結(jié)合，即可求解.
【詳解】當(dāng)x∈0,+∞時，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且時，，
可得，
即當(dāng)x∈0,+∞時，.
故答案為：.
14. 已知關(guān)于的方程的兩根為，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的分布知識求解．
【詳解】由一元二次方程根的分布得，解得，
故答案為：．
15. 若函數(shù)有4個零點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，得到，作出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合解求出m的取值范圍.
【詳解】解：有4個零點(diǎn)，方程有4個根，
得到，則函數(shù)與直線有4個交點(diǎn)，
作出函數(shù)的圖像如下：

由圖像可知，當(dāng)，即時，函數(shù)與直線有4個交點(diǎn).
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題.含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)問題，要先分離參數(shù)，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成曲線的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想解決零點(diǎn)問題.
16. 設(shè)關(guān)于的方程和的實(shí)根分別為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得，設(shè)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，得到，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意，關(guān)于的方程和的實(shí)根分別為，
可得，則方程的解為，
設(shè)函數(shù)
又因?yàn)?，可得?br>整理得，解得或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
17. 李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營一家網(wǎng)店，每售出一件商品獲利8元．現(xiàn)計(jì)劃在“五一”期間對商品進(jìn)行廣告促銷，假設(shè)售出商品的件數(shù)（單位：萬件）與廣告費(fèi)用（單位：萬元）符合函數(shù)模型．若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費(fèi)用應(yīng)投入_______萬元．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)李明獲得的利潤為萬元，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最小值及其對應(yīng)的的值.
【詳解】設(shè)李明獲得的利潤為萬元，則，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，因?yàn)椋串?dāng)時，等號成立.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
18. 已知函數(shù)，對于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時，記的最大值為.
①若，則__________；
②若則的取值范圍是__________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】①先計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合，畫出圖像，根據(jù)新定義，可得結(jié)果；
②先計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合，畫出圖像，根據(jù)新定義，結(jié)合分類討論的方法，可得結(jié)果.
詳解】①當(dāng)時，
，
則
，
作出的圖像，如下圖：

可知當(dāng)時，取到最大值，
最大值；
②由題意得：，
∴，，
又，
可得的圖象如圖所示，

∵，
∴區(qū)間長度為2，
當(dāng)時，
，
所以；
當(dāng)時，
，
所以，
∴的取值范圍為：.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)最值的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.
三?解答題（本大題共2小題，共28分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
19. 解關(guān)于的方程：
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】根據(jù)題意，化簡不等式為，結(jié)合分式不等式的解法，分類討論，即可求解.
【詳解】由不等式，可得，
（1）若，即時，，解得，所以不等式的解集為；
（2）若，即時，因?yàn)椋?br>解得或，不等式的解集為；
（3）若，即時，不等式即為，
當(dāng)時，可得，解得，不等式的解集為；
當(dāng)時，可得，此時不等式的解集為；
當(dāng)時，可得，解得，不等式的解集為，
綜上可得，當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.
20. 已知函數(shù).
（1）證明：函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；
（3）若關(guān)于的不等式對于任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，即可可證；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可得證；
（3）根據(jù)題意，得到函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為對于任意實(shí)數(shù)恒成立，分和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.
【小問1詳解】
證明：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又由，
所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù).
【小問2詳解】
證明：當(dāng)時，，
任取，且，
可得
因?yàn)?，且，可得，x2+1x1+1>0，
所以，即，
所以函數(shù)在0,+∞上是增函數(shù).
【小問3詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)為定義域上的奇函數(shù)，且在0,+∞上是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上也是增函數(shù)，
又因?yàn)?，所以函?shù)在上是增函數(shù)，
又由，可得，
因?yàn)椴坏仁綄τ谌我鈱?shí)數(shù)恒成立，
即不等式對于任意實(shí)數(shù)恒成立，
可得不等式對于任意實(shí)數(shù)恒成立，
即不等式對于任意實(shí)數(shù)恒成立，
當(dāng)時，不等式即恒成立，符合題意；
當(dāng)時，則滿足a>0Δ=2a2?4a≤0，解得，
綜上可得，，即實(shí)數(shù)的取值范圍0,1.

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