1. 已知，則 （ ）
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法求出，再求出復(fù)數(shù)的模.
【詳解】依題意，，則.
故選：C
2. 如圖，在平行六面體中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的加減法法則計(jì)算即可.
【詳解】
故選：C
3. 已知，，則坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
故選：.
4. 如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合圖形利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>且，，
所以.
故選：.
5. 設(shè)，分別是平面，的法向量，其中，，若，則（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題根據(jù)圖形關(guān)系得到，得到，解出即可.
【詳解】，且分別是平面的法向量，則，
則有，故，則.
故選：D.
6. 已知直線的方向向量為，直線的方向向量為，則直線與所成角的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量夾角公式，代入即可得到向量夾角，同時(shí)注意直線夾角的范圍.
【詳解】直線方向向量,
直線方向向量,
，
所以兩向量夾角為，
直線和所成角為，
故選：B.
7. 已知為平面的一個(gè)法向量，為直線的一個(gè)方向向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)及其法向量和方向向量的關(guān)系判斷即可.
【詳解】為平面的一個(gè)法向量，為直線的一個(gè)方向向量，
若，則或，充分性不成立，
若，則，必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：.
8. 已知點(diǎn)為空間不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則與不能構(gòu)成空間基底的向量是( )
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量的基底的意義即可得出．
【詳解】，
與、不能構(gòu)成空間基底；
故選：C．
9. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，且關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)的距離公式求解
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，
所以，
所以，
故選：D
10. 在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，，分別為，的中點(diǎn)，則和夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正四面體性質(zhì)取的中點(diǎn)為，即可知即為異面直線和的夾角的平面角,計(jì)算出各邊長(zhǎng)利用余弦定理即可求得結(jié)果.
【詳解】連接，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：

由正四面體的棱長(zhǎng)為1可得，
又分別是的中點(diǎn)，所以，且，
所以即為異面直線和的夾角的平面角，
又易知，且，所以，
因此，
即和夾角的余弦值為.
故選：A
二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）
11. 已知向量，則與共線的單位向量為_(kāi)________.
【答案】或
【解析】
【分析】求出，再根據(jù)求解即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以?br>所以，
所以與共線的單位向量為或.
故答案為：或.
12. 已知向量，且，則________，_________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】利用空間向量的垂直關(guān)系即可求解；根據(jù)向量的加法及模的運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，所以，
所以；
因?yàn)?，?br>，
所以.
故答案為：；.
13. 已知直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)________.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出，，然后得到，最后用勾股定理求即可得到點(diǎn)到直線距離.
【詳解】
如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)
由題意得，，，，，所以，.
故答案為：3.
14. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，.則與的夾角的余弦值為_(kāi)__________；在的投影向量___________.
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】先根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出與的坐標(biāo)，然后由向量夾角的運(yùn)算公式和投影向量的計(jì)算公式即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>所以，，
所以，
在的投影向量為.
故答案為：12；.
15. 以下關(guān)于空間向量的說(shuō)法：
①若非零向量，，滿足，，則
②任意向量，，滿足
③若為空間向量的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面
④已知向量，，若，則為鈍角
其中正確命題的序號(hào)是_________.
【答案】①③
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線定理可判斷①；由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷②；根據(jù)可判斷③；當(dāng)時(shí)可判斷④.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，，是非零向量，且滿足，，故存在實(shí)數(shù)，使得，，故，所以，故①正確；
對(duì)于②，因?yàn)?，不一定共線且向量的數(shù)量積為實(shí)數(shù)，所以不一定成立，故②不正確；
對(duì)于③，若為空間向量的一組基底，所以，，三點(diǎn)不共線，
，且，
所以，則，，，四點(diǎn)共面，所以③正確；
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，反向共線，有，，所以④不正確.
故答案為：①③.
三、解答題（共4道大題，共60分）
16. 如圖，在正方體中，，為線段的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）求平面的法向量；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2），答案不唯一；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即可證明線線垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法即可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的長(zhǎng)度即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槭钦襟w，故可得面，
又面，故可得.
【小問(wèn)2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如下所示：
則可得：，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取x=2，可得，
故平面的一個(gè)法向量為.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)點(diǎn)到平面距離為，
則.
故點(diǎn)到平面的距離為.
17. 如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用線面平行的向量判定方法求解即可；
（2）根據(jù)線面角的向量求解公式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】

如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線為軸，軸，在平面內(nèi)做與垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，A10,0,4，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
所以，即，
令，所以，，
即為平面的一個(gè)法向量，
所以，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
18. 如圖，在平行六面體中，，，，，，與相交于點(diǎn)，設(shè)，，.
（1）試用基底表示向量；
（2）求的長(zhǎng)；
（3）求直線與直線所成角.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可；
（2）由（1）可知，然后利用數(shù)量積求模長(zhǎng)即可；
（3）利用空間向量線線角的向量法求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
；
【小問(wèn)2詳解】
，，，，，
所以，
，
，
由（1）知，
所以，
所以；
【小問(wèn)3詳解】
，
，
，
所以與所成角為，
所以直線與直線所成角為.
19. 如圖，四棱錐S--ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求平面PAC與平面ACD的夾角大?。?br>（3）在（2）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）30°；（3）存在，SE∶EC＝2∶1.
【解析】
【分析】（1）由題設(shè)知，連，設(shè)交于于，由題意知平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量與，結(jié)合數(shù)量積即可證明AC⊥SD；
（2）分別求出平面與平面ACD的一個(gè)法向量，求法向量的夾角余弦值，即可求出結(jié)果；
（3）要使平面，只需與平面的法向量垂直即可，結(jié)合（2）中求出的平面的一個(gè)法向量，即可求解．
【詳解】（1）證明：連接BD，設(shè)AC交BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖．
設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高SO＝a．
于是S，D，C
＝，＝，
∵·＝0，故OC⊥SD，從而AC⊥SD．
（2）由題設(shè)知，平面PAC的一個(gè)法向量＝，平面DAC的一個(gè)法向量＝，設(shè)所求角為，則cs＝＝，∴平面PAC與平面DAC的夾角為30°．
（3）在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC．由（2）知是平面PAC的一個(gè)法向量，
且＝，＝．
設(shè)＝t，則＝＋＝＋t
＝而·＝0?t＝，
即當(dāng)SE∶EC＝2∶1時(shí)
⊥，而B(niǎo)E不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC．

相關(guān)試卷

北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），文件包含北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題Word版含解析docx、北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題Word版無(wú)答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共16頁(yè)， 歡迎下載使用。

北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），文件包含北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷Word版含解析docx、北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷Word版無(wú)答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共25頁(yè)， 歡迎下載使用。

北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)（成達(dá)部）2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)（成達(dá)部）2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），文件包含北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)成達(dá)部2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題Word版含解析docx、北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)成達(dá)部2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題Word版無(wú)答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共20頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

北京市北理工附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

北京市北理工附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）
北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題
北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）
北京市海淀區(qū)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

北京市海淀區(qū)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部