考試說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.
1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚.
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整，字跡清楚.
3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.
4.保持卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.
第I卷（選擇題，共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則（）
A. B.
C. D.
2. 已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）
A. 20B. 22C. 30D. 32
3. 已知，，，則的最小值為（）
A. 2B. C. D. 4
4. 數(shù)列中，若，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）
A. B. C. D.
5. 在中，為中點(diǎn)，，，若，則（）
A. B. C. D.
6. 在三棱柱中，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，若平面，則（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 已知偶函數(shù)定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和為（）
A. B. C. D.
8. 已知平面向量，，，滿足，且，，則的最小值為（）
A. B. 0C. 1D. 2
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)最大值為
B. 是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C. 是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱軸
D. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，即可得到函數(shù)的圖象
10. 在正方形中，，為中點(diǎn)，將沿直線翻折至位置，使得二面角為直二面角，若為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. 若點(diǎn)在線段上，則的最小值為
B. 三棱錐的體積為
C. 異面直線、所成的角為
D. 三棱錐外接球的表面積為
11. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
B. 恒成立
C. 若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則的范圍是
D. 直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
第II卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.
12. 等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和.若，，則______.
13. 在中，，的平分線與交于點(diǎn)，且，，則的面積為______.
14. 已知三棱錐中，平面，，，，，、分別為該三棱錐內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度的最小值為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在三棱柱中，，，，，為中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
16. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
17. 已知在銳角中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，.
（1）求；
（2）若，為中點(diǎn)，，求；
（3）若，求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
18. 某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績(jī)，將最近一段時(shí)間內(nèi)每日的汽車銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖所示.
（1）求的值，并求該公司這段時(shí)間內(nèi)每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)；
（2）以頻率估計(jì)概率，若在這段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)選擇4天，設(shè)每日汽車銷售量在內(nèi)的天數(shù)為，在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購(gòu)買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：在三棱錐中，、均是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，現(xiàn)從寫有數(shù)字1~8的八個(gè)標(biāo)簽中
隨機(jī)選擇兩個(gè)分別貼在、兩個(gè)頂點(diǎn)，記頂點(diǎn)、上的數(shù)字分別為和，若為側(cè)棱上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，當(dāng)“二面角大于”即為中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率.
19. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，是中點(diǎn)，平面，.
（1）求四棱錐體積最大值；
（2）設(shè)，為線段上的動(dòng)點(diǎn).
①求平面與平面的夾角余弦值的取值范圍；
②四棱錐外接球記為球，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，求平面截球所得的截面面積.
數(shù)學(xué)試卷
考試說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.
1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚.
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整，字跡清楚.
3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.
4.保持卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.
第I卷（選擇題，共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別求出集合，，再根據(jù)交集的定義求.
【詳解】對(duì)集合：因?yàn)?，所以，即?br>對(duì)集合：因?yàn)楹愠闪?，所?
所以.
故選：B
2. 已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）
A. 20B. 22C. 30D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)虛根成對(duì)原理可知方程的另一個(gè)虛根為，再由韋達(dá)定理計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，
所以方程的另一個(gè)虛根為，
所以，解得，所以.
故選：D.
3. 已知，，，則的最小值為（）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，利用，結(jié)合基本不等式可求最小值.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：D.
4. 數(shù)列中，若，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合遞推關(guān)系利用分組求和法求.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，，，，，
又，，，
所以.
故選：C.
5. 在中，為中點(diǎn)，，，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】選擇為平面向量的一組基底，表示出，再根據(jù)表示的唯一性，可求的值.
【詳解】選擇為平面向量的一組基底.
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以；
又.
由.
故選：C
6. 在三棱柱中，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，若平面，則（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件及線面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得結(jié)論.
【詳解】依題意，作出圖形如圖所示
設(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
又平面，平面，所以平面，
連接，又因?yàn)槠矫?，，平面?br>所以平面平面，
又平面平面，平面，
所以，又，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以，又，
所以，所以，所以.
故選：B.
7. 已知偶函數(shù)定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的集合等于函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的集合，分析函數(shù)的圖象特征，作出兩函數(shù)的圖象，觀察圖象可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，的零點(diǎn)的集合與方程在區(qū)間上的解集相等，
又方程可化為，
所以函數(shù)，的零點(diǎn)的集合與函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的集合相等，
因?yàn)楹瘮?shù)為定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
因?yàn)椋?br>取可得，，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
又當(dāng)時(shí)，，
作出函數(shù)，的區(qū)間上的圖象如下：
觀察圖象可得函數(shù)，的圖象在區(qū)間上有個(gè)交點(diǎn)，
將這個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大依次記為，
則，，，，
所以函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和為.
故選：A.
8. 已知平面向量，，，滿足，且，，則的最小值為（）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】可設(shè)，，，由得到滿足的關(guān)系，再求的最小值.
【詳解】可設(shè)，，，
則.
可設(shè)：，則
.
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由題意可知：，都是單位向量，且夾角確定，所以可先固定，，這樣就只有發(fā)生變化，求最值就簡(jiǎn)單了一些.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)的最大值為
B. 是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C. 是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱軸
D. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，即可得到函數(shù)的圖象
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式，把函數(shù)化成的形式，再對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，判斷各選項(xiàng)是否正確.
【詳解】因?yàn)?
所以，故A正確；
函數(shù)對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)必為，故B錯(cuò)誤；
由，得函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：，.
令，得是函數(shù)的一條對(duì)稱軸.故C正確；
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得，即將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象.故D正確.
故選：ACD
10. 在正方形中，，為中點(diǎn)，將沿直線翻折至位置，使得二面
角為直二面角，若為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. 若點(diǎn)在線段上，則的最小值為
B. 三棱錐的體積為
C. 異面直線、所成角為
D. 三棱錐外接球的表面積為
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)于A，的最小值為可判斷A；對(duì)于B，過作于，求得，可求三棱錐的體積判斷B；對(duì)于C；取的中點(diǎn)，則，取的中點(diǎn)，連接，求得，由余弦定理可求異面直線、所成的角判斷C；對(duì)于D，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線交于，求得外接球的半徑，進(jìn)而可求表面積判斷D.
【詳解】對(duì)于A，將沿直線翻折至，可得的最小值為，故A正確；
對(duì)于B，過作于，因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵?br>所以平面平面，又平面平面，所以平面，
由題意可得，
由勾股定理可得，
由，即，解得，
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以到平面的距離為，
又，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取的中點(diǎn)，則，且，，
所以，因?yàn)椋允钱惷嬷本€、所成的角，
取的中點(diǎn)，連接，
可得，所以，
在中，可得，
由余弦定理可得，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以異面直線、所成的角為，故C正確；
對(duì)于D，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線交于，
易得是的垂直平分線，所以是的外心，
又平面平面，又平面平面，所以平面，
又因?yàn)橹苯侨切蔚耐庑模允侨忮F的外球的球心，
又，所以，
所以三棱錐外接球的表面積為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
B. 恒成立
C. 若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則的范圍是
D. 直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
【答案】BCD
【解析】
【分析】分和兩種情況探討的符號(hào)，判斷A的真假；轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最小值問題，判斷B的真假；把方程有兩個(gè)不等實(shí)根，為有兩個(gè)根的問題，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得的取值范圍，判斷C的真假；直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有兩解，分析函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷D的真假.
【詳解】對(duì)A：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
所以函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn).A錯(cuò)誤；
對(duì)B：欲證，須證在上恒成立.
設(shè)，則，
由；由.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以的最小值為，因?yàn)椋?故B正確；
對(duì)C：.
設(shè)，
則，.
由；由.
所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
所以的最大值為：，又當(dāng)時(shí)，.
如圖所示：
所以有兩個(gè)解時(shí)，.故C正確；
對(duì)D：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為方程：有兩解，即有兩解.
設(shè)，，所以.
由；由.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以的最大值為.
因?yàn)椋?，所?br>所以.
且當(dāng)且時(shí)，；時(shí)，.
所以函數(shù)的圖象如下：
所以有兩解成立，所以D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題中，求參數(shù)的取值范圍問題，通常有如下方法：
（1）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的值域問題求解.
（2）轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的極值問題求解.
第II卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.
12. 等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和.若，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，將條件關(guān)系轉(zhuǎn)化為的方程，解方程求，由此可求結(jié)論.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，，
所以，
故答案為：.
13. 在中，，的平分線與交于點(diǎn)，且，，則的面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形面積公式，余弦定理列方程求，再由三角形面積公式求結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，為的平分線，
所以，又，
所以，
由余弦定理可得，又，
所以
所以，
所以的面積.
故答案為：.
14. 已知三棱錐中，平面，，，，，、分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知可得的中點(diǎn)外接球的球心，求得外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求得兩球心之間的距離，可求得線段的長(zhǎng)度的最小值.
【詳解】因?yàn)槠矫?，所以是直角三角形?br>所以，，
在中，
由余弦定理得，
所以，所以，所以是直角三角形，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，平面，
結(jié)合已知可得平面，所以是直角三角形，
從而可得的中點(diǎn)外接球的球心，故外接球的半徑為，
設(shè)內(nèi)切球的球心為，半徑為，由，
根據(jù)已知可得，
所以，
所以，解得，
內(nèi)切球在平面的投影為內(nèi)切球的截面大圓，且此圓與的兩邊相切（記與的切點(diǎn)為），
球心在平面的投影為在的角平分線上，所以，
由上易知，所以，
過作于，，從而，
所以，所以兩球心之間的距離，
因?yàn)椤⒎謩e為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，
所以線段的長(zhǎng)度的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先確定內(nèi)外切球球心位置，進(jìn)而求兩球半徑和球心距離，再利用空間想象判斷
兩球心與位置關(guān)系求最小值.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在三棱柱中，，，，，為中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可證結(jié)論；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為，過作的平行線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【小問1詳解】
連接，
因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>又，所以，所以，
又，平面，所以平面；
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為，過作平行線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以?br>則，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
又，所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
16. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）的取值范圍為.
【解析】
【分析】（1）求函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，分別在，，，條件下研究導(dǎo)數(shù)的取值情況，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由條件可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，由此可得結(jié)論.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，設(shè)其根為，，
則，，
由，知，，，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
【小問2詳解】
因?yàn)?，?br>所以，
不等式可化為，
因?yàn)樵诤愠闪ⅲ?br>所以
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為，
故，
所以的取值范圍為.
17. 已知在銳角中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，.
（1）求；
（2）若，為中點(diǎn)，，求；
（3）若，求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及兩角和與差的三角函數(shù)公式，可求，進(jìn)而得到角.
（2）利用向量表示，借助向量的數(shù)量積求邊.
（3）利用與正弦定理表示出，借助三角函數(shù)求的取值范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>根據(jù)正弦定理，得，
所以，
因?yàn)椋?，所?
【小問2詳解】
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
所以，
所以，解得或（舍去），
故.
【小問3詳解】
由正弦定理：，
所以，，
因?yàn)?，所以?br>所以
，
，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則.
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，
所以，
所以，即，
即內(nèi)切圓半徑的取值范圍是：.
18. 某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績(jī)，將最近一段時(shí)間內(nèi)每日的汽車銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖所示.
（1）求的值，并求該公司這段時(shí)間內(nèi)每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)；
（2）以頻率估計(jì)概率，若在這段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)選擇4天，設(shè)每日汽車銷售量在內(nèi)的天數(shù)為，在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購(gòu)買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：在三棱錐中，、均是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，現(xiàn)從寫有數(shù)字1~8的八個(gè)標(biāo)簽中隨機(jī)選擇兩個(gè)分別貼在、兩個(gè)頂點(diǎn)，記頂點(diǎn)、上的數(shù)字分別為和，若為側(cè)棱上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，當(dāng)“二面角大于”即為中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率.
【答案】（1），175
（2）分布列見解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1可求的值，再根據(jù)百分位數(shù)的概念求第60百分位數(shù).
（2）根據(jù)條件概率計(jì)算，求的分布列和期望.
（3）根據(jù)二面角大于，求出可對(duì)應(yīng)的情況，再求中獎(jiǎng)的概率.
【小問1詳解】
由.
因?yàn)椋海?br>所以每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)在，且為.
【小問2詳解】
因?yàn)槌槿〉?天汽車銷售量不超過150輛的概率為，
抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率為.
所以：在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率為.
由題意，的值可以為：0，1，2，3.
且，，
，.
所以的分布列為：
所以.
【小問3詳解】
如圖：取中點(diǎn)，鏈接，，，，.
因?yàn)?，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
所以，，，平面，所以平面.
平面，所以.
所以為二面角DE 平面角.
在中，，所以.
若，在中，由正弦定理：.
此時(shí)：，.
所以，要想中獎(jiǎng)，須有.
由是從寫有數(shù)字1~8的八個(gè)標(biāo)簽中隨機(jī)選擇的兩個(gè)，所以基本事件有個(gè)，
滿足的基本事件有：，，，，，，，，共9個(gè)，
0
1
2
3
所以中獎(jiǎng)的概率為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在第（2）問中，首先要根據(jù)條件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率”.
19. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，是中點(diǎn)，平面，.
（1）求四棱錐體積的最大值；
（2）設(shè)，為線段上的動(dòng)點(diǎn).
①求平面與平面的夾角余弦值的取值范圍；
②四棱錐的外接球記為球，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，求平面截球所得的截面面積.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）設(shè)，用表示四棱錐體積，分析函數(shù)的單調(diào)性，可求四棱錐體積的最大值.
（2）①建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，用空間向量求二面角的余弦，結(jié)合二次函數(shù)的值域，可得二面角余弦的取值范圍.
②先確定球心，求出球心到截面的距離，利用勾股定理可求截面圓的半徑，進(jìn)而得截面圓的面積.
【小問1詳解】
設(shè)則，
所以四棱錐體積，.
所以：.
由；由.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以四棱錐體積的最大值為.
【小問2詳解】
①以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.
則，，，
所以，，.
設(shè)平面的法向量為，則
.
令，則.
取平面的法向量.
因?yàn)槠矫媾c平面所成的二面角為銳角，設(shè)為.
所以.
因?yàn)?，，所?
②易得，則，此時(shí)平面的法向量，
所以點(diǎn)到平面的距離為：，
設(shè)四棱錐的外接球半徑為，則,
所以平面截球所得的截面圓半徑.
所以平面截球所得的截面面積為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：平面截球的截面面積問題，要搞清球心的位置，球的半徑，球心到截面的距離，再利用勾股定理，求出截面圓的半徑.

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