一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．
1. 若，則是的（ ）條件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，再根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.
【詳解】對(duì)于，則，解得；
對(duì)于，則，解得；
因?yàn)槭堑恼孀蛹?br>所以是的充分不必要條件.
故選：A.
2. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由條件得到，化弦為切，代入求出答案.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以.
故選：C
3. 已知函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)在上恒大于0，且單調(diào)遞增，可求的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) 在 上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，所以.
且在恒大于0，所以或.
綜上可知：.
故選：B
4. 在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若為非零實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，是直角三角形B. 當(dāng)時(shí)，是銳角三角形
C. 當(dāng)時(shí)，是鈍角三角形D. 當(dāng)時(shí)，是鈍角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第三邊等知識(shí)逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得解．
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)，，，
顯然是直角三角形，故命題正確；
對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)，，，
顯然是等腰三角形，，
說明為銳角，故是銳角三角形，故命題正確；
對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)，，，
可得，說明為鈍角，故是鈍角三角形，故命題正確；
對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)，，，
此時(shí)，不等構(gòu)成三角形，故命題錯(cuò)誤.
故選：D.
5. 耳機(jī)的降噪效果成為衡量一個(gè)耳機(jī)好壞的標(biāo)準(zhǔn)之一，降噪的工作原理就是通過麥克風(fēng)采集周圍環(huán)境的噪音，通過數(shù)字化分析，以反向聲波進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)聲波間的抵消，使噪音降為0，完成降噪（如圖所示），已知噪音的聲波曲線是，通過主動(dòng)降噪芯片生成的反向聲波曲線是（其中，，），則（ ）.

A. B. C. πD.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由于抵消噪音，所以振幅沒有改變，即，
所以，要想抵消噪音，需要主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線是，即，
因?yàn)?，所以令，即?br>故選：D.
6. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，若，且滿足，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】依題意，是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，公眾號(hào)：高中試卷君
由得，
所以，所以或，
所以或，
所以的取值范圍是.
故選：D
7. 已知正數(shù) ，滿足 ，則下列說法不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，則，對(duì)于A，直接代入利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算判斷，對(duì)于B，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷，對(duì)于C，利用作差法分析判斷，對(duì)于D，對(duì)化簡(jiǎn)變形，結(jié)合冪的運(yùn)算性質(zhì)及不等式的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】令，則，
對(duì)于A，，所以A正確，
對(duì)于B，因?yàn)樵谏线f增，且，
所以，即，
即，所以，所以B正確，
對(duì)于C，因?yàn)?br>，
所以，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，，
因?yàn)椋裕?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以，所以D正確，
故選：C
8. 設(shè)函數(shù)在上至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先令得，并得到，從小到大將的正根寫出，因?yàn)?，所以，從而分情況，得到不等式，求出答案.
【詳解】令得，
因?yàn)椋裕?br>令，解得或，
從小到大將的正根寫出如下：
，，，，，……，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)，即時(shí)，，解得，
此時(shí)無解，
當(dāng)，即時(shí)，，解得，此時(shí)無解，
當(dāng)，即時(shí)，，解得，
故，
當(dāng)，即時(shí)，，解得，
故，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
綜上，的取值范圍是.
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中，對(duì)整個(gè)圖象性質(zhì)影響最大，因?yàn)榭筛淖兒瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間，極值個(gè)數(shù)和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解的取值范圍是經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容，綜合性較強(qiáng)，除掌
握三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，還要準(zhǔn)確發(fā)掘題干中的隱含條件，找到切入點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出相關(guān)性質(zhì)，如最小正周期，零點(diǎn)個(gè)數(shù)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)等，此部分題目還常常和導(dǎo)函數(shù)，去絕對(duì)值等相結(jié)合考查綜合能力.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9. 下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)解析式直接判斷奇偶性與單調(diào)性即可求解.
【詳解】選項(xiàng)A：為奇函數(shù)不是增函數(shù)，選項(xiàng)B：，為奇函數(shù)和增函數(shù)，
選項(xiàng)C：為奇函數(shù)和增函數(shù)，選項(xiàng)D：不是奇函數(shù).
故選：BC.
10. 函數(shù)，（，）部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)解析式為
B. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D. 為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】AB
【解析】
【分析】由題意求出的解析式可判斷A；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性可判斷BC；由三角函數(shù)的平移變換可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由圖可知，，又因?yàn)?
由，則，
兩式相減得：
，所以①，
又因?yàn)椋?br>所以，結(jié)合①，，
因?yàn)?，所?br>所以，故A正確；
對(duì)于B，，
解得：，故B正確；
對(duì)于C，令，解得：，
函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以C不正確；
對(duì)于D，將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到，故D不正確.
故選：AB.
11. 已知函數(shù)，若有6個(gè)不同的零點(diǎn)分別為，且，則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 的取值范圍為
C. 當(dāng)時(shí)，的取值范圍為
D. 當(dāng)時(shí)，的取值范圍為
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)A選項(xiàng)，對(duì)求導(dǎo)，得到其最值即可判斷，對(duì)B選項(xiàng)，將看成整體解出或，通過圖像找到所在位置，依據(jù)，假設(shè)通過消元解出范圍，再通過數(shù)形結(jié)合求出的范圍，兩者比較即可，對(duì)C,D通過減少變量，將式子化為，然后轉(zhuǎn)化為的范圍進(jìn)行分類討論即可判斷.
詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令，解得，
令，解得，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
∴當(dāng)時(shí)，，故A正確；
作出如圖所示圖像：
由有6個(gè)不同的零點(diǎn)，
等價(jià)于有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
解得或，
∵，∴若，可得，而當(dāng)時(shí)，，可得，而；
當(dāng)時(shí)，，可得而，
故的范圍為的子集，的取值范圍不可能為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
該方程有6個(gè)根，且，知且，
當(dāng)時(shí)，，
，聯(lián)立解得，
，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，
，聯(lián)立解得，
．故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)的理解，將看成一個(gè)，解出其值，然后通過圖像分析，轉(zhuǎn)化為直線與圖像的交點(diǎn)情況，對(duì)于C,D選項(xiàng)式子，我們謹(jǐn)記要減少變量，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)或兩個(gè)變量的相關(guān)式子，常見的如，有兩根，則，如一元二次方程存在實(shí)數(shù)解，則.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，則用表示______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算.
【詳解】.
故答案為：.
13. 已知，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】我們可以通過對(duì)已知等式進(jìn)行變形，將表示成一個(gè)關(guān)于或的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.
【詳解】，我們可以將其變形為.
可得，即，那么.
當(dāng)時(shí)，.
設(shè)，，則.
根據(jù)二倍角公式，，
則.
由輔助角公式（其中），
這里，，則，其最小值為.
當(dāng)時(shí)，同理可得的最小值也是.
故答案為：
14. 在銳角中，角的對(duì)邊分別為，的面積為，滿足，若，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】由結(jié)合余弦定理和面積公式可得，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求得的值，由化簡(jiǎn)得，由三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，從而可求出的最小值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>即，解得或（舍去），
因?yàn)?，所以?br>在銳角中，有，，則，
所以，
因?yàn)?br>，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以，
因?yàn)椋?br>所以
，
設(shè)（），則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用余弦定理解三角形，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查基本不
等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用余弦定理和三角形的面積公式對(duì)化簡(jiǎn)變形，考查計(jì)算能力，屬于難題.
四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 為了研究學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)的100名學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：
（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩有關(guān)聯(lián)？
（2）已知該校學(xué)生每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)，該校學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練后，跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步.假設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)都增加10，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）.公眾號(hào)：高中試卷君
附：，其中.
若，則，.
【答案】（1）不能 （2）人
【解析】
【分析】（1）首先假設(shè)，再計(jì)算，并和參考數(shù)據(jù)比較，即可作出判斷；
（2）轉(zhuǎn)化為訓(xùn)練前的人數(shù)估計(jì).由題意得的值，則即，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性與區(qū)間的概率參考數(shù)據(jù)
男學(xué)生
女學(xué)生
合計(jì)
喜歡跳繩
35
35
70
不喜歡跳繩
10
20
30
合計(jì)
45
55
100
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
【小問1詳解】
：學(xué)生的性別和是否喜歡運(yùn)動(dòng)無關(guān).
，
所以根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為學(xué)生的性別與是否喜歡跳繩有關(guān).
【小問2詳解】
訓(xùn)練前該校學(xué)生每人每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)，
則，，，
即訓(xùn)練前學(xué)生每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在，，，
，
由（人）
估計(jì)訓(xùn)練前該校每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為.
即預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為.
16. 已知函數(shù)．
（1）若在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）若，判斷是否有最大值，若有，求出最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）有最大值，最大值為e
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，得到恒成立，根據(jù)根的判別式得到不等式，求出a的取值范圍；
（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，所以恒成立，
所以，，所以a的取值范圍是．
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，，
令，解得，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
又時(shí)，，
所以有最大值，最大值為e．
17. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，．
（1）證明是等差數(shù)列；
（2）是否存在常數(shù)a、b，使得對(duì)一切正整數(shù)n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在，.
【解析】
【分析】(1)由數(shù)列的前n項(xiàng)和為，可求得，，再由等比數(shù)列的定義證明即可.
(2)根據(jù)題意可求得，，代入中得，只需滿足以即可，從而求解的值即可.
【小問1詳解】
解：證明：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，滿足，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，
所以，，
所以是等差數(shù)列；
【小問2詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以；
所以，
要使對(duì)一切正整數(shù)n都有成立．
即，
即，
所以，解得 .
故存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)n都有成立.
18. 在中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足．
（1）求角B；
（2）若，求面積的最大值；
（3）求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可；公眾號(hào)：高中試卷君
（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理以及基本不等式求解即可；
（3）利用正弦定理邊角互化將原式轉(zhuǎn)化為，然后令，將原式化為：，最后結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解值域.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>根據(jù)正弦定理得：，
且，
可得，
即，
又因，則，
可得，整理可得，
且，則，
可得，解得.
【小問2詳解】
由余弦定理得：，即，
可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的面積為：，
故面積的最大值為.
【小問3詳解】
根據(jù)正弦定理得：
，
令，則，
可得，
將原式化為：，
因，則，可得，
根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)得到，
當(dāng)時(shí)，原式取得最小值，；
當(dāng)時(shí)，原式取得最大值，；
故的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于（3）：對(duì)于已知角的范圍問題，解題關(guān)鍵是利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)有界性分析求解.
19. 已知集合是具有下列性質(zhì)的函數(shù)的全體，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都成立.
（1）判斷函數(shù)，是否屬于集合，并說明理由；
（2）若函數(shù)（，、為常數(shù)）具有反函數(shù)，且存在實(shí)數(shù)對(duì)使，求實(shí)數(shù)、滿足的關(guān)系式；
（3）若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，存在滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)和，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋螽?dāng)時(shí)函數(shù)的值域.
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知中集合的定義，分別判斷兩個(gè)函數(shù)是否滿足條件，可得結(jié)論；
（2）假定，求出的的關(guān)系；
（3）利用題中的新定義，列出兩個(gè)等式恒成立將用代替，兩等式結(jié)合得到函數(shù)的遞推關(guān)系；用不完全歸納的方法求出值域．
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，
不是常數(shù)，所以；
當(dāng) 時(shí)，，故存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，
使得對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)都成立．故．
（2）因?yàn)椋?br>所以對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)都成立，∴， ∴，
∴．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無反函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，存在反函數(shù)符合題意．
故．
（3）依題意得且 ，
在中，則有，
當(dāng)時(shí)，， ，
∴時(shí)， ，
又∵則有，即
故，即，則有，
∴時(shí)，，
時(shí)，，
時(shí)，，
…
以此類推可知： 時(shí)，，
故時(shí)， ，
綜上所述：時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)，屬難題．

相關(guān)試卷

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這是一份[數(shù)學(xué)]遼寧省本溪市第一中學(xué)2024～2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考試卷(有答案)，共8頁(yè)。

遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

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