考試說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分 150 分．考試時(shí)
間為 120 分鐘；
第Ⅰ卷（選擇題，共 58 分）
一、單選題：共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符
合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù) ，則 z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】計(jì)算出 ，則可選出答案.
【詳解】 ，
所以復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為 ，在第二象限.
故選：B
2. 已知向量 ， ，若 ，則實(shí)數(shù) （ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式直接求解即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄?， ，
所以 ，得 .
故選：C
3. 在 中，內(nèi)角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，若 ， ， ，則 （
）
第 1頁/共 20頁
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理即可得到答案.
【詳解】由正弦定理 ，得 .
故選：A.
4. 如圖，已知 ， ， ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算法則即可求出．
【詳解】由 ，得 ，而 ，
所以 .
故選：B
5. 已知向量 ， 滿足 ， ，則向量 在向量 上的投影向量等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算得到 ，再利用投影向量的定義，即可求解.
【詳解】因?yàn)?， ，則 ，
第 2頁/共 20頁
即 得到 ，
所以 在 上的投影向量是 ，
故選：C.
6. 如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為 400 米，一艘船從河岸的 地出發(fā)，向河對岸航行．已知船在
靜水中的航行速度 的大小為 ，水流速度 的大小為 ，船的速度與水流速度的
合速度為 ，那么當(dāng)航程最短時(shí)，下列說法正確的是（ ）
A. 船頭方向與水流方向垂直 B.
C. D. 該船到達(dá)對岸所需時(shí)間為 3 分鐘
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)航程最短的條件確定船頭方向，再利用向量關(guān)系求 、合速度 以及渡河時(shí)間.
【詳解】當(dāng)航程最短時(shí)，船的實(shí)際航線應(yīng)垂直河岸，此時(shí)船在靜水中的速度 應(yīng)斜向上游，船頭方向與水
流方向不垂直，所以 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
設(shè)船在靜水中的速度 與水流速度 的夾角為 ，因?yàn)榇膶?shí)際航線垂直河岸，所以 、 與合速度 構(gòu)
成直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系可得 .
已知 ， ，則 ，即 ，根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得
，所以 ，即 ，B 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
由 、 與合速度 構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可得 .
將 ， 代入，可得 ，C 選項(xiàng)正確.
河寬 米 千米，合速度 ，可得 .
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將 換算為分鐘，所以 分鐘 分鐘，D 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
7. 在 中，內(nèi)角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，已知 ，且 的外接圓直
徑為 4，則 周長的最大值為（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，求出角 ，再結(jié)合正弦定理求出邊 ，最后根據(jù)三角
函數(shù)的性質(zhì)求出 周長的最大值．
【詳解】已知 ，由正弦定理可得 ， ， ．
將其代入已知條件可得: ．
因?yàn)?，那么 ．
則 ，移項(xiàng)可得 ．
因?yàn)?，所以 ，兩邊同時(shí)除以 可得 ．
又因?yàn)?，所以 ．
已知 的外接圓直徑為 ，即 ，由正弦定理可得 ．
， ．且 ．
則 的周長 ．
根據(jù)兩角差的正弦公式和輔助角公式，可得：
第 4頁/共 20頁
因?yàn)?，所以 ．
當(dāng) ，即 時(shí)， 取得最大值 ．
此時(shí) 周長的最大值為 ．
故選：Ｂ．
8. 在 中，已知 ， ，若點(diǎn) 為 的外心，點(diǎn) 滿足 ，則
（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】將 用 與 表示出來，再利用外心的性質(zhì)求出 與 ，最后根據(jù)向量數(shù)量
積的運(yùn)算求出 ．
【詳解】已知 ，即 ．
根據(jù)向量加法的三角形法則可得 ，將 代入可得：
設(shè) 為 中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn) 為 的外心，則 ，即 ．
又因?yàn)?．
由于 ，且 ，則 ．
已知 ，所以 ．
同理，設(shè) 為 中點(diǎn)，則 ．
因?yàn)?，且 ，所以 ．
已知 ，所以 ．
將 代入 可得：
第 5頁/共 20頁
故選：A．
二、多選題：共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要
求，全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分．
9. 下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若 ， ，則
B. 若 且 ，則
C. 在 中，內(nèi)角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ， 是 的充要條件
D. 在 中，內(nèi)角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，若 ，則 是等腰三角
形
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 選項(xiàng)零向量和任意向量平行，若 ，即便 且 ， 與 也不一定平行．
B 選項(xiàng) 可化為 ，這只能說明 與 垂直，不能得出 ．
C 選項(xiàng)正弦定理 ，大角對大邊， 則 ，能推出 ；反之也成立，
所以是充要條件．
D 選項(xiàng)由正弦定理把 化為 ，因?yàn)?，所以 或
，三角形可能是等腰或直角三角形．
【詳解】當(dāng) 時(shí)，對于任意向量 和 ，都有 且 ，但此時(shí) 與 不一定平行．所以 選項(xiàng)
錯(cuò)誤．
由 可得 ，根據(jù)向量數(shù)量積的分配律，即 ．
當(dāng) 時(shí)，只能說明 與 垂直或者 ， 選項(xiàng)錯(cuò)誤．
在 中，根據(jù)正弦定理 （ 為 外接圓半徑），可得 ，
．
若 ，則 （大角對大邊），即 ，所以 ；反之，若 ，
則 ，即 ，所以 ．
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因此， 是 的充要條件， 選項(xiàng)正確．
已知 ，由正弦定理 ，可得 ， ，則
，即 ．
因?yàn)?，所以 ，那么 或 ．
當(dāng) 時(shí)， ， 是等腰三角形；
當(dāng) 時(shí)， ， 是直角三角形．
所以僅由 不能得出 一定是等腰三角形， 選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ABD．
10. 在 中，內(nèi)角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，若 ， ， ，角 的平分線
交 于 ，則下列說法正確的是（ ）
A B.
C D.
【答案】AD
【解析】
【分析】對于選項(xiàng) A，用角平分線定理得 ，推出 ，再把 用 與 表示．對
于選項(xiàng) B，用三角形面積公式 ，代入 ， ， 計(jì)算面積判斷．對于選項(xiàng) C，根
據(jù) ，分別表示出三個(gè)三角形面積列方程求 ．對于選項(xiàng) D，先在 用余弦定
理求 ，再求 、 ，最后在 用余弦定理求 ．
【詳解】在 中， 是角 的平分線，則 ．
已知 ， ，即 ， ，所以 ，那么 ．
因?yàn)?，所以選項(xiàng) A 正確．
根據(jù)三角形面積公式 ．
已知 ， ， ，則 ，所以選項(xiàng) B 錯(cuò)誤．
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因?yàn)?．
由 ， ， ，可得
．
即 ， ，解得 ，所以選項(xiàng) C 錯(cuò)誤．
在 中，根據(jù)余弦定理 ．
由前面計(jì)算可知 ， ， ，則
，所以 ．
在 中，再根據(jù)余弦定理求 ， ， ，
，所以 ， ．
則 ，所以選項(xiàng) D 正確．
故選：AD．
11. 在 中，內(nèi)角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，且 ，則下列結(jié)論正確
的是（ ）
A.
B. 若 為銳角三角形，且 ，則該三角形面積的范圍為
C. 設(shè) ，且 ，則 的最小值為
D. 若 的面積為 2， ， ， 邊上的高分別為 ， ， ，且 ，則 的最大值為
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【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理和三角恒等變換得到 ，從而得到 ，求出 判
斷 A，利用 為銳角三角形求出 ，再結(jié)合正弦定理和三角形面積公式表示出 ，最后
利用正切函數(shù)性質(zhì)求解取值范圍判斷 B，將 變形為 ，兩邊
平方后得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用求解最值判斷 C，利用三角形面積公式，得到
， ，利用余弦定理及基本不等式求出 ，從而求出 的最大
值判斷 D 即可.
【詳解】對于 A，由題意得 ，
由正弦定理可得 ，
而 ，
故 ，因?yàn)?且 位于分母位置，
所以 ，得到 ，
即 ，又 ，所以 ，故 A 正確，
對于 B，因?yàn)?為銳角三角形，所以 ， ，
而 ，解得 ，
由三角形面積公式得 ，
由正弦定理得 ，解得 ，
，
則 ，因?yàn)?，所以 ，
第 9頁/共 20頁
則 ，故 ，即 ，故 B 正確，
對于 C，因 ，即 ，
得到 ，故 ，
兩邊平方并化簡得 ，
則 ，得到 ，
故 ， ，
得到 ，則 ，
，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，所以 的最小值不為 ，故 C 錯(cuò)誤，
對于 D，結(jié)合三角形面積公式得 ， ， ，
則 ，
又因?yàn)?，所以 ，
結(jié)合余弦定理得 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，則 ，
得到 ，故 D 正確.
故選：ABD
第Ⅱ卷（非選擇題，共 92 分）
三、填空題：本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上．
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12. 設(shè) ，在復(fù)平面內(nèi) 對應(yīng)的點(diǎn)為 ，則滿足 的點(diǎn) 的集合形成的圖形面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義確定點(diǎn) 的集合所表示的圖形，再根據(jù)圓的面積公式計(jì)算該圖形的面積．
【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離為 ．
已知 ，這表示點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離大于等于 且小于等于 ，所以點(diǎn) 的集合形成的圖形是以原點(diǎn)
為圓心，半徑 和半徑 的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)（包括內(nèi)外圓周）．
半徑為 的圓的面積 ，半徑為 的圓的面積 ．
所以圓環(huán) 面積 ．
故答案為： ．
13. 已知 的三個(gè)內(nèi)角 A、B、C 所對的邊分別是 a、b、c，且 ，則 的最小角
的余弦值為__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由題設(shè)可得 最小，利用余弦定理可求其余弦值.
【詳解】因?yàn)?，故可設(shè) ，
因?yàn)?，故 最小，從而 .
故答案為： .
14. 在 中， ， ， ， ，則 面積的最大
值為______，此時(shí) 的最小值為______．
【答案】 ①. 12 ②.
【解析】
【分析】作出輔助線，利用向量線性運(yùn)算得到 ，利用三角形面積公式求出最值.再建立坐
標(biāo)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求最值即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn) 為線段 的三等分點(diǎn)，因?yàn)?br>第 11頁/共 20頁
，
，
則 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，
故 面積的最大值為 12.
由于 ， ， ，則點(diǎn) 為線段 的三等分點(diǎn)，
則 ，設(shè) ，由 得，
，即 ，
則 ， ，得 ，
整理得到， ，則 .
則 ，
即 ， ，則 ，則 .
當(dāng) 時(shí)， 取得最小值，最小值為 .
故答案為：12； .
四、解答題：本大題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù) ，向量 ， ．
（1）求函數(shù) 周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng) ，求函數(shù) 的值域．
【答案】（1）最小正周期為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 .
第 12頁/共 20頁
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換得 ，從而得到其最小正周
期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用整體法得 ，從而得到其值域.
【小問 1 詳解】
，
則其最小正周期為 ，
令 ，
解得 ，
則其單調(diào)遞增區(qū)間 .
【小問 2 詳解】
因?yàn)?，則 ，
則其值域?yàn)?，即 .
16. 已知向量 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）求向量 與 的夾角的余弦值．
【答案】（1） ；
第 13頁/共 20頁
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用向量加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出 的值，再利用向量的模長公式計(jì)
算即可.
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的定義計(jì)算向量的夾角.
【小問 1 詳解】
由題意， ， ，
因?yàn)?，所以 ，解得 .
則 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
由（1）可知， ，故 .
所以 .
故向量 與 的夾角的余弦值為 .
17. 已知 中，內(nèi)角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，若 ， ， 為線段
中點(diǎn)，且 ．
（1）求 ；
（2）求 值．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理得 ，再利用向量中線定理和數(shù)量積運(yùn)算律即可得到答案；
第 14頁/共 20頁
（2）首先求出 ，再利用正弦定理即可得到答案.
【小問 1 詳解】
因?yàn)?，則 ，
則 ，
因?yàn)?，所以 .
因?yàn)?，則 ，
即 ，
即 ，代入 ，化簡得 ，解得 或 （舍去），則
.
【小問 2 詳解】
因?yàn)?，即 ，解得 .
根據(jù)正弦定理得 ，即 ，解得 .
18. 為響應(yīng)習(xí)總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)發(fā)展理念，哈三中學(xué)生發(fā)展中心開展“播種校園
綠色，守護(hù)綠色校園”種植活動(dòng)．已知教學(xué)樓下有一塊扇形區(qū)域，擬對這塊扇形空地 進(jìn)行改造．如圖
所示，平行四邊形 區(qū)域?yàn)閷W(xué)生的休息區(qū)域，陰影區(qū)域?yàn)椤熬G植”區(qū)域，點(diǎn) 在弧 上，點(diǎn) 和
點(diǎn) 分別在線段 和線段 上，且 ， ，設(shè) ．
第 15頁/共 20頁
（1）當(dāng) 時(shí)，求 的值；
（2）請用 表示線段 的長度，并寫出學(xué)生的休息區(qū)域 的面積 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式；
（3）擬在陰影區(qū)域種植一些花草，費(fèi)用為 6 元 ，求總費(fèi)用 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并求其最小值．
【答案】（1）
（2） ； .
（3） ；
【解析】
【分析】（1）在 中由正弦定理求得 ，即可由數(shù)量積的定義求得結(jié)果；
（2）在 中由正弦定理用 表示 ，結(jié)合三角形的面積公式，即可求得結(jié)果，再根據(jù)三角函
數(shù)的性質(zhì)，即可求得取得最大值時(shí)對應(yīng)的 .
（3）根據(jù)扇形面積公式計(jì)算出扇形面積，進(jìn)而求出陰影部分面積，得到費(fèi)用函數(shù)關(guān)系式，借助三角函數(shù)性
質(zhì)求最值即可.
【小問 1 詳解】
根據(jù)題意，在 中， ，又 ，
故由正弦定理 可得： ，
解得 ，
故 .
【小問 2 詳解】
在 中， ，
由正弦定理得 ，即 ，即 ，
第 16頁/共 20頁
則停車場面積 ，
即 ，其中 ，
.
則 .
【小問 3 詳解】
設(shè)陰影部分面積為 ， 扇形空地 面積為 ，則 .并且
.
則 .
則 ，
則 .
因?yàn)?，所以 ，
則當(dāng) ，即 時(shí)， 取得最小值，則總費(fèi)用 取得最小值.
求得 .
19. 定義：設(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若非零向量 ，函數(shù) 的解析式滿足 ，
第 17頁/共 20頁
則稱 為 的伴隨函數(shù)， 為 的伴隨向量．
（1）若向量 為函數(shù) 的伴隨向量，求 的坐標(biāo)；
（2）若函數(shù) 為向量 的伴隨函數(shù)，在 中，內(nèi)角 ， ， 的對邊分別為 ， ，
， 恰好為函數(shù) 的最大值．
（?。┤?的角平分線交 于點(diǎn) ， ，求 的最大值；
（ⅱ）在銳角 中，求 的范圍．
【答案】（1） ;
（2）（i） ;
(ii) .
【解析】
【分析】（1）利用兩角和正弦公式展開結(jié)合題意即可求解；
（2）(i)利用輔助角公式結(jié)合題意可求角 ，利用等面積法可表達(dá)出角平分線長，結(jié)合余弦定理和基本不等
式可求出最大值；
(ii)利用正弦定理邊化角，再利用內(nèi)角和消元，再利用和差化積和積化和差公式，再利用熟悉函數(shù)的單調(diào)性
可求出值域.
【小問 1 詳解】
由已知得： ，
根據(jù)題意可知： ；
【小問 2 詳解】
(i)根據(jù)題意由 可知： ，
利用輔助角公式得： ，
其中 ，
第 18頁/共 20頁
當(dāng) 時(shí)， 取到最大值 ，
所以 ，則
同理
由二倍角公式得： ，
如圖，由三角形面積可得：
可得： ，
再由余弦定理得： ，
因?yàn)?，
所以有 ，
則 ；
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào).
(ii)利用正弦定理角化邊可得： ，
因?yàn)?再利用和差化積和積化和差可得：
，
第 19頁/共 20頁
代入 則
，
當(dāng) 時(shí)， 取最大值 1，
利用已知函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，可知 是單調(diào)遞減函數(shù)所以可得：
，
當(dāng) 時(shí)，可得： ，
此時(shí)可得 ，
由于此三角形是銳角三角形，所以根據(jù)單調(diào)遞減性可得：
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(i)利用是等腰三角形時(shí)取到最大值，所以可利用基本不等式進(jìn)行兩次放縮證明即可；
(ii)利用邊化角思想，再用內(nèi)角和消元，最后化歸到一個(gè)角的三角復(fù)合型函數(shù)上來，可利用函數(shù)單調(diào)性來求
值域.
第 20頁/共 20頁

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黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試卷（原卷版）
黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試卷

黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試卷
黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期入學(xué)調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期入學(xué)調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）
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