一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．若，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題B．和q都是真命題
C．p和都是真命題D．和都是真命題
4．已知向量與滿足，且，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個(gè)不同的平面給出下列四個(gè)命題：
①若，，α//β，則；
②若，，，則；
③若，，α//β，則；
④若，，，，則．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
6．北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過反復(fù)嘗試，終于得出了長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有依此類推，最底層有個(gè)小球，共有層.現(xiàn)有一個(gè)由小球堆成的長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，共層，小球總個(gè)數(shù)為，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式有且只有三個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知函數(shù)fx=Asinωx+φ（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．該圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象
D．函數(shù)在上單調(diào)遞增
10．等差數(shù)列中，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，則
11．已知對(duì)任意的，不等式恒成立，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．的最小值為8D．的最小值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．等比數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，，則 .
13．已知三棱錐中，為等邊三角形，，，，，則三棱錐的外接球的半徑為 ．
14．把一個(gè)三階魔方看成是棱長(zhǎng)為1的正方體（圖1），若中間層旋轉(zhuǎn)角（為銳角，如圖2所示），記表面積增加量為，則 ，S的最大值是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列前項(xiàng)的和為，求.
16．已知面積為，角，，的對(duì)邊分別為，，，請(qǐng)從以下條件中任選一個(gè)，解答下列問題：
①；
②；
③
(1)求角；
(2)若，是上的點(diǎn)，平分，的面積為，求角平分線的長(zhǎng).
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
17．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點(diǎn).
(1)設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，求證：；
(2)若，，，求棱錐的體積
18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.數(shù)列滿足，，且.
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)記，的前項(xiàng)和記為，是否存在，，使得成立？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
19．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)若函數(shù)，求函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(3)當(dāng)時(shí)，若在上恒成立，求證.
答案
1．【正確答案】A
【分析】通過解不等式求出的元素，進(jìn)而利用集合的交集運(yùn)算即可求解.
【詳解】不等式的解集等價(jià)于不等式組的解集，
即得，
又，解得，
于是，
，
則.
故選A.
2．【正確答案】D
【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)相等的概念求出，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.
【詳解】設(shè)，
則，
所以，解得，
所以，.
故選D.
3．【正確答案】B
【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取、，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.
【詳解】對(duì)于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，
對(duì)于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，
綜上，和都是真命題.
故選B.
4．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)?，所以，有?br>因?yàn)椋?
解得，,所以，
故選：C.
5．【正確答案】B
【詳解】①若，，α//β，則與平行、相交或異面，故錯(cuò)誤；
②若，，則或，又，則，故正確；
③若，α//β，則，又，則或，故錯(cuò)誤；
④假設(shè)是在面上的投影，，，即，，
若，，，得，故正確．

故選：B
6．【正確答案】B
【詳解】設(shè)各層的小球個(gè)數(shù)為數(shù)列，
由題意得，，，，
因?yàn)?，可得?br>，
，
，
則，
因?yàn)榍皩有∏蚩倐€(gè)數(shù)為，所以，即，
解得或（舍去），
所以，可得，即該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：B.
7．【正確答案】D
【分析】設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍.
【詳解】令，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù).
由，得，即，
從而，即.
故選D.
【方法總結(jié)】設(shè)，可得函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，把轉(zhuǎn)化成，再求的取值范圍.
8．【正確答案】D
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，而，故當(dāng)時(shí)，恒成立，
不等式，
當(dāng)時(shí)，或，由，得，
原不等式的整數(shù)解有無數(shù)個(gè)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，或，由，得，無正整數(shù)解，
因此原不等式有且只有3個(gè)正整數(shù)解，等價(jià)于不等式有且只有3個(gè)正整數(shù)解，
3個(gè)正整數(shù)解只能是，因此，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
9．【正確答案】BC
【詳解】由函數(shù)圖象可得，周期，所以，
又，
所以，則，
因?yàn)椋?，故?br>對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B正確；
對(duì)于C，該圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，故C正確；
對(duì)于D，若，則，此時(shí)函數(shù)不單調(diào)，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
10．【正確答案】ABD
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)于A項(xiàng)，，計(jì)算即可；對(duì)于B項(xiàng)，由已知計(jì)算數(shù)列公差，再求值即可；對(duì)于C項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性比較大小即可；對(duì)于D項(xiàng)，由，，得.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，等差數(shù)列中，，設(shè)公差為，
若，則，所以A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，若，，則，得，
所以，所以B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，若，，所以公差，
當(dāng)時(shí)，有，則有，
當(dāng)時(shí)，有，得，
所以，則有，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，若，則，
因?yàn)?，所以，所以D正確．
故選ABD．
11．【正確答案】BC
【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，
由對(duì)任意的，不等式恒成立，
則對(duì)任意的恒成立，
所以對(duì)任意的恒成立，此時(shí)不存在，所以，故B正確；

當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)和的圖象的示意圖如圖所示，
當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，此時(shí)不恒成立，
由對(duì)任意的，不等式恒成立，
所以，故A錯(cuò)誤；
所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8，故C正確；
，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
12．【正確答案】
【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可 。
【詳解】等比數(shù)列an的前項(xiàng)和記為, ，顯然.
則 ，化簡(jiǎn)得，
解得,則，.
當(dāng)時(shí),，
當(dāng)時(shí),，.
故答案為.
13．【正確答案】3
【詳解】取線段的中點(diǎn)，分別連接，因?yàn)闉榈冗吶切危?br>則，所以，因?yàn)?，且，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，則垂直平分，因?yàn)椋?br>所以，所以為等腰直角三角形，
所以，因?yàn)椋瑒t，
所以，又因?yàn)?，平面，，所以平面?br>則易知，，兩兩垂直且長(zhǎng)度均為，
所以可將三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示三棱錐的外接球就是正方體的外接球，
設(shè)外接球的半徑為，則.
故3.
14．【正確答案】
【詳解】顯然這些個(gè)三角形全等，且增加的三角形個(gè)數(shù)為16個(gè)，
設(shè)三角形的斜邊長(zhǎng)為，則①，
所以，
當(dāng)時(shí)，由①式得，，
所以；
，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又由①可得，，
所以，
因?yàn)闉殇J角，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
即．
故，
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，，
所以，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
故.
（2），
所以
.
16．【正確答案】(1)；
(2).
【分析】（1）若選①，由三角形的面積公式及余弦定理可得的值，再由角的范圍，可得角的大??；如選②，由正弦定理及二倍角公式可得的值，再由角的范圍，可得角的大?。蝗暨x③，由正弦定理及誘導(dǎo)公式可得角的大小；
（2）由等面積法及余弦定理可得角平分線的值．
【詳解】（1）若選①，
由三角形的面積公式及余弦定理可得，
可得，又因?yàn)?，所以?br>若選②，由正弦定理可得，
因?yàn)椋瑒t，所以，所以，
又，則，所以，
所以，所以，則；
若選③，由正弦定理可得，
因?yàn)?，則，所以，
即，所以，
即，
又，則，所以，則；
（2）因?yàn)?，是上的點(diǎn)，平分，的面積為，
所以，
可得，，
由余弦定理可得，
即，解得（負(fù)值已舍去），
即角平分線的長(zhǎng)為.
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）∵平面與直線相交于點(diǎn)，
∴平面平面．
∵四邊形是菱形，∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴，故．
（2）∵底面為菱形，，∴，為正三角形，
又，∴，
∵為的中點(diǎn)，∴到平面的距離與到平面的距離相等，
又平面，即平面，，
∴棱錐的體積為
．
18．【正確答案】(1)，
(2)實(shí)數(shù)的取值范圍為
(3)存在這樣的，使得成立
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，由可得：，兩式相減得：，
又，從而數(shù)列為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
又，兩邊同除以得：，
從而數(shù)列為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，
所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）因?yàn)?，結(jié)合（1）可得，
所以①，
②，
①-②可得，
，
，
由（1）可得，所以，
因?yàn)椋裕?br>，又單調(diào)遞增，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（3）由（1）可得，所以，
由，可得，所以，
所以，所以，所以，
，所以，
所以，因?yàn)椋?br>所以，所以，
當(dāng)時(shí)，解得，解得（舍去），
當(dāng)時(shí)，解得，解得（舍去），
當(dāng)時(shí)，解得，解得.
所以存在這樣的，使得成立.
19．【正確答案】(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，即可求出切線方程；
（2）求導(dǎo)，分類討論求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值點(diǎn)的概念即可判斷極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）由題意在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求解最值即可證明.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?br>所以，，所以曲線在處的切線方程為.
（2），，
對(duì)于方程，，
①當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)沒有極值點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，，不妨設(shè)，
則，，，當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，，且，，
故，，當(dāng)時(shí)，，故沒有極值點(diǎn)；
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).
（3）證明：由在上恒成立，
得在上恒成立，
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)顯然不恒成立.
當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞增，
若，則，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以.
要證成立，因?yàn)椋醋C明.
因?yàn)椋?br>令，，，令得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，所以成立.

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