1．（3分）方程2x2﹣2x﹣1＝0的一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（ ）
A．1、2B．2、﹣1C．﹣2、﹣1D．﹣2、1
2．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列變形正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣4）2＝2C．（x﹣2）2＝0D．（x﹣4）2＝1
3．（3分）若關于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個根是2，則a的值為（ ）
A．2B．3C．12D．5
4．（3分）下列一元二次方程中沒有實數(shù)根的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝0B．
C．x2+x﹣2＝0D．
5．（3分）將拋物線y＝x2+1先向上平移2個單位，再向右平移1個單位后所得的拋物線是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x+2）2D．y＝（x+1）2﹣1
6．（3分）已知方程6x2﹣7x﹣3＝0的兩根分別為x1、x2，則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）當函數(shù)是二次函數(shù)時，a的取值為（ ）
A．a＝1B．a＝±1C．a≠1D．a＝﹣1
8．（3分）若m、n是方程x2+x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．0
9．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點（﹣2，0）．若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有整數(shù)根，則p的值有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
10．（3分）函數(shù)y＝ax+（a，b為常數(shù)，且a＞0，b＜0）的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題.（共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）方程（2﹣3x）（6﹣x）＝0的根為 ．
12．（3分）拋物線y＝x2﹣2x﹣2的頂點坐標是 ．
13．（3分）關于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 ．
14．（3分）某工廠一月份生產零件30萬個，第一季度生產零件152.5萬個．設該廠二、三月份平均每月的增長率為x，則x滿足的方程是 ．
15．（3分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，其中點B坐標為（3，0），頂點D的橫坐標為1，DE⊥x軸，垂足為E，下列結論：①當x＞1時，y隨x增大而減??；②a+b＜0③3a+b+c＞0；④當時，OC＞2．其中結論正確的有 （填序號）．
16．（3分）已知拋物線y＝x2﹣（m+4）x+3m+2在﹣1≤x≤2的范圍內能使y≥2恒成立，則m的取值范圍為 ．
三、解答題.（共有8小題，共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+6x+4＝0；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
18．（8分）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3．
（1）該拋物線的對稱軸是直線 ；
（2）關于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝0的解為 ；
（3）當x滿足 時，y＞0；
（4）當x滿足0≤x≤4時，y的取值范圍是 ．
19．（8分）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣2（t﹣1）x+t2+3＝0的兩個實數(shù)根．
（1）求t的取值范圍；
（2）若，求t的值．
20．（8分）如圖，二次函數(shù)y＝（x+2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B在拋物線上，且與點C關于拋物線的對稱軸對稱，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經過該二次函數(shù)圖象上的點A（﹣1，0）及點B．
（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）根據圖象，寫出滿足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范圍．
21．（8分）在如圖所示的網格中建立平面直角坐標系，已知△ABC的頂點坐標分別為A（1，7）、B（8，6）、C（6，2），點D是AB上一點．僅用無刻度的直尺在給定的網格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示，并完成下列問題：
（1）直接寫出△ABC的形狀；
（2）作線段AB關于AC的對稱線段AE；
（3）在線段AE上找點F，使AF＝AD；
（4）在AB上畫點G，使∠BCG＝∠BAC．
22．（10分）如圖1，為美化校園環(huán)境，某校計劃在一塊長為100米，寬為60米的長方形空地上修建一個長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設通道寬為a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面積；
（2）如果通道所占面積是整個長方形空地面積的，求出此時通道的寬；
（3）已知某園林公司修建通道的單價是50元/米2，修建花圃的造價y（元）與花圃的修建面積S（m2）之間的函數(shù)關系如圖2所示，并且通道寬a（米）的值能使關于x的方程x2﹣ax+25a﹣150＝0有兩個相等的實根，并要求修建的通道的寬度不少于5米且不超過12米，如果學校決定由該公司承建此項目，請求出修建的通道和花圃的造價和為多少元？
23．（10分）已知：如圖，正方形ABCD中，過點A作直線AE，作DG⊥AE于點G，且AG＝GE，連接DE．
（1）求證：DE＝DC；
（2）若∠CDE的平分線交直線AE于F點，連接BF，求證：DF﹣FB＝FA；
（3）在（2）的條件下，當正方形邊長為2時，求CF的最大值為 ．
24．（12分）已知：如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（﹣3，0），點B（﹣1，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為拋物線第三象限上的一點，若∠PBA＝2∠BCO，求點P的坐標；
（3）如圖2，點M為拋物線在點A左側上的一點，點M與點N關于拋物線的對稱軸對稱，直線BN、BM分別交y軸于點E、D，求OE﹣OD的值．
2024-2025學年湖北省武漢市部分學校九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題.（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中均有四個備選答案，其中有且只有一個正確，請在答題卡上將正確答案的字母代號涂黑。
1．【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0的一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是﹣2，﹣1，
故選：C．
2．【解答】解：移項，得：x2﹣4x＝﹣2，
配方：x2﹣4x+4＝﹣2+4，
即（x﹣2）2＝2．
故選：A．
3．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個根是2，
∴22﹣2a+6＝0，
解得a＝5．
故選：D．
4．【解答】解：x2+2x﹣1＝0的判別式Δ＝4+4＝8＞0，
∴x2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，故A不符合題意；
x2+2x+2＝0的判別式Δ＝8﹣8＝0，
∴x2+2x+2＝0有實數(shù)根，故B不符合題意；
x2+x﹣2＝0的判別式Δ＝1+8＝9＞0，
∴x2+x﹣2＝0有實數(shù)根，故C不符合題意；
x2+x+1＝0的判別式Δ＝2﹣4＝﹣2＜0，
∴x2+x+1＝0無實數(shù)根，故D符合題意；
故選：D．
5．【解答】解：拋物線y＝2x2的頂點坐標為（0，1），把（0，1）向上平移2個單位，再向右平移1個單位后得到對應點的坐標為（1，3），所以平移后拋物線解析式為y＝（x﹣1）2+3．
故選：A．
6．【解答】解：∵方程6x2﹣7x﹣3＝0的兩根分別為x1、x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
故＝＝＝﹣．
故選：B．
7．【解答】解：∵y＝（a﹣1）x+2x+3是二次函數(shù)，
∴a﹣1≠0，a2+1＝2，
解得，a＝﹣1，
故選：D．
8．【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣1，m2+m﹣1＝0，
∴m2＝﹣m+1，
∴m2+2m+
＝﹣m+1+2m+
＝+1
＝+1
＝1；
故選：A．
9．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝2，
∴﹣＝2，
解得b＝﹣4a，
又∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸的一個交點為（﹣2，0），
把（﹣2，0）和b＝﹣4a代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+8a+c，
解得：c＝﹣12a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣12a（a＞0），
對稱軸h＝2，最小值k＝＝﹣16a，
如圖：
頂點坐標為（2，﹣16a），
令ax2﹣4ax﹣12a＝0，
即x2﹣4x﹣12＝0，
解得x＝﹣2或x＝6，
∴當a＞0時，拋物線始終與x軸交于（﹣2，0）與（6，0），
若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有整數(shù)根，
即常函數(shù)直線y＝p（p＜0）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c有交點，
∴﹣16a≤y＜0，
由圖象得當﹣16a≤y＜0時，﹣2＜x＜6，其中x為整數(shù)時，x＝﹣1，0，1，2，3，4，5，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）的整數(shù)解有7個．
又∵x＝﹣1與x＝5，x＝0與x＝4，x＝1與x＝3關于直線x＝2軸對稱，
當x＝2時，直線y＝p恰好過拋物線頂點，
所以p值可以有4個．
故選：C．
10．【解答】解：令y＝0得，
，
因為x≠0，
所以ax3＝﹣b，
解得x＝．
因為a＞0，b＜0，
所以x＝＞0，
則函數(shù)圖象與x軸的正半軸有一個公共點，
所以A、C選項不符合題意．
當x＜0時，
y＝ax+＜0，
所以此時函數(shù)的圖象在第三象限，
所以D選項不符合題意．
故選：B．
二、填空題.（共6小題，每小題3分，共18分）
11．【解答】解：∵（2﹣3x）（6﹣x）＝0，
∴2﹣3x＝0或6﹣x＝0，
解得x1＝，x2＝6，
故答案為：x1＝，x2＝6．
12．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
所以頂點的坐標是（1，﹣3）．
故答案為（1，﹣3）．
13．【解答】解：∵關于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+1＝0有實數(shù)根，
∴根的判別式Δ＝（﹣3）2﹣4（m+1）×1≥0，
由（﹣3）2﹣4（m+1）×1≥0，解得：m≤，
又∵（m+1）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，解得：m≠﹣1，
∴關于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是m≤且m≠﹣1．
故答案為：m≤且m≠﹣1．
14．【解答】解：依題意得二、三月份的產量為30（1+x）萬個，、30（1+x）2萬個，
∴30+30（1+x）+30（1+x）2＝152.5．
故答案為：30+30（1+x）+30（1+x）2＝152.5．
15．【解答】解：∵點D橫坐標為1，
∴拋物線對稱軸為直線x＝1，
∵圖象開口向下，
∴x＞1時，y隨x增大而減小，
故①正確，符合題意．
∵對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
∵a＜0，
∴b+a＝﹣a＞0，
故②錯誤，不符合題意．
∵點B坐標為（3，0），對稱軸為直線x＝1，
∴點A坐標為（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＝0，
∵b＝﹣2a＞0，
∴3a+b+c＝b＞0，
故③正確，符合題意．
∵3a+c＝0，
∴a＝﹣．
∵a＜﹣，
∴﹣＜﹣．
∴c＞2，
∴OC＞2，
故④正確，符合題意．
故答案為：①③④．
16．【解答】解：由題意的，y＝x2﹣（m+4）x+3m+2的對稱軸為直線x＝，開口向上，
①當≥2時，即m≥0時，
要使在﹣1≤x≤2的范圍內能使y≥1恒成立，
只需x＝2時的函數(shù)值大于等于1，即22﹣2（m+4）+3m+2≥1，
解得：m≥3，
結合m≥0，得：m≥3．
②當≤﹣1時，即m≤﹣6時，
要使在﹣1≤x≤2的范圍內能使y≥1恒成立，
只需x＝﹣1時的函數(shù)值大于等于1，即（﹣1）2+（m+4）+3m+2≥1，
解得：m≥﹣，
結合m≤﹣6，得無解．
③當﹣1≤≤2時，即﹣6≤m≤0時，
要使在﹣1≤x≤2的范圍內能使y≥1恒成立，
只需x＝時的函數(shù)值大于等于1，即，
化簡得：﹣ +3m+2≥1．
解得：（m﹣2）2+8≤0．
∵（m﹣2）2+8≥8，
∴無解．
綜上，m≥3．
故答案為：m≥3．
三、解答題.（共有8小題，共72分）
17．【解答】解：（1）∵x2+6x＝﹣4，
∴x2+6x+9＝﹣4+9，即（x+3）2＝5，
則x+3＝±，
∴，；
（2）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2．
18．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴該拋物線的對稱軸是直線x＝1；
故答案為：x＝1；
（2）當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0．
解得x1＝﹣1，x2＝3．
故答案為：x1＝﹣1，x2＝3；
（3）拋物線與x軸的交點為（﹣1，0）與（3，0）．
∴當﹣1＜x＜3時，y＞0；
故答案為：﹣1＜x＜3；
（4）由（1）可知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，故頂點坐標為（1，4）．
當x滿足0≤x≤4時，在 x＝1時函數(shù)在頂點，取到最大值，此時y＝4；當x＝4時離對稱軸最遠，函數(shù)取到最小值，此時y＝﹣42+2×4+3＝﹣5．
∴當x滿足0≤x≤4時，y的取值范圍為﹣5≤y≤4．
故答案為：﹣5≤y≤4；
19．【解答】解：（1）∵x2﹣2（t﹣1）x+t2+3＝0有兩個實數(shù)根，
∴Δ≥0，即[﹣2（t﹣1）]2﹣4（t2+3）≥0，
解得：t≤﹣1，
∴t的取值范圍是t≤﹣1；
（2）∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣2（t﹣1）x+t2+3＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝2（t﹣1），x1?x2＝t2+3，
∵，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝22，
∴4（t﹣1）2﹣2（t2+3）＝22，
解得t＝6或t＝﹣2，
∵t≤﹣1；
∴t的值為﹣2．
20．【解答】解：（1）∵拋物線y＝（x+2）2+m經過點A（﹣1，0），
∴0＝1+m，
∴m＝﹣1，
∴拋物線解析式為y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，
∴點C坐標（0，3），
∵對稱軸x＝﹣2，B、C關于對稱軸對稱，
∴點B坐標（﹣4，3），
∵y＝kx+b經過點A、B，
∴，
解得，
∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣1；
（2）由圖象可知，滿足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范圍為x≤﹣4或x≥﹣1．
21．【解答】解：（1）∵A（1，7）、B（8，6）、C（6，2），
∴AB＝＝5，
AC＝＝5，
BC＝＝2，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如圖所示，
作法提示：構造△AEC≌△ABC，
找一點E使AE＝AB，EC＝BC；
（3）如圖所示，
作法提示，過D作直線垂直AC，交AE于點F，
（4）如圖所示，
作法提示：取BC中點N，連接AN，則∠BAN＝，構造△BCG∽△BAN，
∵∠B＝∠B，∠ANB＝90°，
∴∠BGC＝90°，即構造CM⊥AB即可．
22．【解答】解：（1）由圖可知，花圃的面積為（100﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣320a+6000；
（2）由已知可列式：100×60﹣（100﹣2a）（60﹣2a）＝×100×60，
解得：a1＝5，a2＝75（舍去），所以通道的寬為5米；
（3）∵方程x2﹣ax+25 a﹣150＝0有兩個相等的實根，
∴Δ＝a2﹣25a+150＝0，解得：a1＝10，a2＝15，
∵5≤a≤12，
∴a＝10．
設修建的花圃的造價為y元，y＝55.625S；
當a＝10時，S花圃＝80×40＝3200（m2）；y花圃＝3200×55.625＝178000（元），
S通道＝100×60﹣80×40＝2800（m2）；y通道＝2800×50＝140000（元），
造價和：178000+140000＝318000（元）．
23．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，
∵DG⊥AE于點G，且AG＝GE，
∴DG垂直平分AE，
∴DA＝DE，
∴DE＝DC．
（2）證明：如圖1，作AH⊥AF交DF于點H，則∠FAH＝∠AGD＝90°，
∴AH∥GD，
∵DA＝DE，DG⊥AE于點G，
∴DG平分∠ADE，
∴∠EDG＝∠ADG＝∠ADE，
∵∠CDE的平分線交直線AE于F點，
∴∠EDF＝∠CDF＝∠CDE，
∵∠ADC＝90°，
∴∠GDF＝∠EDF﹣∠EDG＝（∠CDE﹣∠ADE）＝∠ADC＝45°，
∴∠AHF＝∠GDF＝45°，
∴∠AFH＝∠AHF＝45°，
∴HA＝FA，
∵AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠DAH＝∠BAF＝90°﹣∠BAH，
在△DAH和△BAF中，
，
∴△DAH≌△BAF（SAS），
∴HD＝FB，
∴DF﹣FB＝DF﹣HD＝FH，
∵FH＝＝FA，
∴DF﹣FB＝FA．
（3）解：如圖2，設AB交DF于點I，
由（2）得∠ADF＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠BID﹣∠ABF＝∠BID﹣∠ADF＝∠BAD＝90°，
連接CF、BD，取BD的中點L，連接CL、FL，
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴AD＝AB＝2，
∴BD＝＝＝2，
∵∠BCD＝∠BFD＝90°，
∴CL＝FL＝BD＝，
∵CF≤CL+FL，且CL+FL＝+＝2，
∴CF≤2，
∴CF的最大值為2，
故答案為：2．
24．【解答】解：（1）把點A（﹣3，0），點B（﹣1，0），點C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
所以拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）當x＝0時，y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣3，則C（0，﹣3），
BC＝＝，
取BC的中點Q，連接OQ，作OH⊥BC于H，PK⊥x軸于K，如圖1，
設P（x，﹣x2﹣4x﹣3），
∴OQ＝BC＝，
∵OH?BC＝?OB?OC，
∴OH＝＝，
∴HQ＝＝，
∵OQ為斜邊BC上的中線，
∴QC＝QO，
∴∠QCO＝∠QOC，
∴∠OQH＝∠QCO+∠QOC＝2∠QCO，
∵∠PBA＝2∠BCO，
∴∠OQH＝∠PBA，
∴△PBK∽△OQH，
∴PK：OH＝BK：QH，即（﹣x2﹣4x﹣3）：＝（﹣1﹣x）：，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
（3）設M（t，﹣t2﹣4t﹣3），
∵M與N兩點關于拋物線的對稱軸對稱，
∴N（﹣4﹣t，﹣t2﹣4t﹣3），
設直線BM的解析式為y＝kx+b，
把B（﹣1，0），M（t，﹣t2﹣4t﹣3）代入得，
解得，
∴直線AM的解析式為y＝（﹣t﹣3）x﹣3﹣t，
∴D（0，﹣3﹣t），
同樣可得直線AN的解析式為y＝（1+t）x+t+1，
∴E（0，t+1），
∴OE﹣OD＝﹣t﹣1﹣（﹣t﹣3）＝2．

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