專題4.3 圖形規(guī)律問題 典例分析 【典例1】如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的點(diǎn)和三角形組成．第1個(gè)圖案中有3個(gè)點(diǎn)和1個(gè)三角形，第2個(gè)圖案中有6個(gè)點(diǎn)和3個(gè)三角形，第3個(gè)圖案中有9個(gè)點(diǎn)和6個(gè)三角形，??????依此規(guī)律，第10個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)與點(diǎn)個(gè)數(shù)的和為 ． 【思路點(diǎn)撥】 本題考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)圖形得出第n個(gè)圖案點(diǎn)和三角形的個(gè)數(shù)規(guī)律是解題關(guān)鍵．根據(jù)圖案得到第n個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3n個(gè)；三角形有nn+12個(gè)，再求出第10個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為30個(gè)；三角形有55個(gè)，問題得解． 【解題過程】 解：由所給圖案可得： 第1個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×2?3=3個(gè)；三角形有1個(gè)； 第2個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×3?3=6個(gè)；三角形有1+2=3個(gè)； 第3個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×4?3=9個(gè)；三角形有1+2+3=6個(gè)； …… 所以第n個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3n+1?3=3n個(gè)；三角形有1+2+3+…+n=nn+12個(gè)； 所以第10個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×10=30個(gè)；三角形有10×112=55個(gè)， 所以第10個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)與點(diǎn)個(gè)數(shù)的和為30+55=85個(gè)． 故答案為：85 學(xué)霸必刷 1．（23-24七年級(jí)上·陜西渭南·期末）用黑、白棋子按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有黑色棋子7顆，第②個(gè)圖案中有黑色棋子10顆，第③個(gè)圖案中有黑色棋子13顆，依照此規(guī)律排列下去，則第個(gè)圖案中有黑色棋子（???） A．301顆 B．304顆 C．307顆 D．310顆 2．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）下圖是一組有規(guī)律的圖案，圖1中有4個(gè)小黑點(diǎn)，圖2中有7個(gè)小黑點(diǎn)．圖3中有12個(gè)小黑點(diǎn)，圖4中有19個(gè)小黑點(diǎn)，?，按此規(guī)律圖9中的小黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為（????） A．64 B．67 C．84 D．87 3．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)圖中“○”的個(gè)數(shù)，則第10個(gè)圖中“○”的個(gè)數(shù)是（????）． ?? A．90 B．95 C．100 D．105 4．（23-24九年級(jí)下·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）如圖，是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的“紙杯蛋糕”，其中第①個(gè)圖案用了5個(gè)石子，其中第②個(gè)圖案用了11個(gè)石子，其中第③個(gè)圖案用了18個(gè)石子，其中第④個(gè)圖案用了26個(gè)石子，???，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中石子的個(gè)數(shù)為（????） A．45 B．56 C．58 D．60 5．（2024九年級(jí)下·重慶·專題練習(xí)）下列圖形都是由●按照一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖共有四個(gè)●，第②個(gè)圖中共有8個(gè)●，第③個(gè)圖中共有13個(gè)●，第④個(gè)圖中共有19個(gè)●，…，照此規(guī)律排列下去，則第10個(gè)圖形中●的個(gè)數(shù)為（　　） A．50 B．53 C．64 D．76 6．（23-24七年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）用長(zhǎng)度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，…，按此規(guī)律排列下去，則第20個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（　　） ?? A．104 B．109 C．123 D．129 7．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是（????） A．2022 B．3035 C．3029 D．3036 8．（23-24七年級(jí)上·福建寧德·期中）觀察圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知第506個(gè)正方形的左上角標(biāo)的數(shù)是（　?。? A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 9．（23-24七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a1，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a2，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a3， …， 依次類推， 則 1a1+1a2+1a3+?1a20的值為（?????） A．2122 B．144 C．419924 D．325462 10．（23-24七年級(jí)上·福建漳州·階段練習(xí)）漢諾塔問題是指有三根桿子和套在桿子上的若干大小不等的碟片，按下列規(guī)則，把碟片從一根桿子上全部移到另一根桿子上； （1）每次只能移動(dòng)1個(gè)碟片． （2）較大的碟片不能放在較小的碟片上面． 如圖所示，將1號(hào)桿子上所有碟片移到2號(hào)桿子上，3號(hào)桿可以作為過渡桿使用，稱將碟片從一根桿子移動(dòng)到另一根桿子為移動(dòng)一次，記將1號(hào)桿子上的n個(gè)碟片移動(dòng)到2號(hào)桿子上最少需要an次，則a6=（????） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 11．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）用大小相同的小三角形擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第12個(gè)圖案中共有小三角形的個(gè)數(shù)是 ． 12．（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期末）如圖，一張長(zhǎng)方形的桌子可坐6人，按照?qǐng)D中方式繼續(xù)擺放桌子和椅子，若拼成一張大桌子后，座位剛好可坐38人，則共需要這種長(zhǎng)方形桌子 張 13．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下面的圖形是由邊長(zhǎng)為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的，如圖①，正方形的個(gè)數(shù)為8，周長(zhǎng)為18． ?? （1）推測(cè)第4個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)為 ，周長(zhǎng)為 ； （2）推測(cè)第n個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)為 ，周長(zhǎng)為 ；（都用含n的代數(shù)式表示）． 14．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期中）如圖，從原點(diǎn)A開始，以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個(gè)半圓；以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個(gè)半圓；以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個(gè)半圓；以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個(gè)半圓；?按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第7個(gè)半圓的面積為 ．（結(jié)果保留π） 15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓桌周圍有20個(gè)箱子，按順時(shí)針方向編號(hào)1～20，小明先在1號(hào)箱子中丟入一顆紅球，然后沿著圓桌按順時(shí)針方向行走，每經(jīng)過一個(gè)箱子丟一顆球，規(guī)則如下： ①若前一個(gè)箱子丟紅球，則下一個(gè)箱子就丟綠球． ②若前一個(gè)箱子丟綠球，則下一個(gè)箱子就丟白球． ③若前一個(gè)箱子丟白球，則下一個(gè)箱子就丟紅球．他沿著圓周走了2024圈，求4號(hào)箱內(nèi)有 顆紅球． 16．（23-24七年級(jí)上·浙江溫州·期中）排球比賽時(shí)，甲方6名隊(duì)員開始站位如圖所示，比賽開始由甲方1號(hào)位的選手發(fā)球，再輪到甲方選手發(fā)球時(shí)是第二輪發(fā)球，此時(shí)甲方全體隊(duì)員按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)一個(gè)位置（轉(zhuǎn)一圈），即1號(hào)位的隊(duì)員到6號(hào)位置，6號(hào)位到5號(hào)位，…，此時(shí)2號(hào)位隊(duì)員到1號(hào)位置發(fā)球，以此類推，如果甲方選手小花開場(chǎng)時(shí)站在6號(hào)位置，記a1=6；甲方第二輪發(fā)球時(shí)，小花站在a2號(hào)位置，…，這場(chǎng)比賽甲方發(fā)了21輪球，則a1+a2+…+a21的值為 ． 17．（23-24七年級(jí)上·安徽·單元測(cè)試）觀察下列圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)． （1）圖2中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ； （2）若按其規(guī)律再畫下去，如果圖形中有36個(gè)點(diǎn)，那它是第 個(gè)圖形； （3）若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個(gè)圖形中所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （用含n的代數(shù)式表示）． 18．（23-24七年級(jí)上·北京通州·期末）現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD的寬為1，長(zhǎng)為aa>1的紙片，先剪去一個(gè)正方形，余下一個(gè)長(zhǎng)方形，在余下的長(zhǎng)方形紙片中再剪去一個(gè)正方形，又余下一個(gè)長(zhǎng)方形……，依此類推，如圖是剪3次后余下的長(zhǎng)方形恰好是正方形的其中一種示意圖及相應(yīng)a的值，請(qǐng)畫出（與示意圖不同）剪3次后余下的長(zhǎng)方形恰好是正方形的示意圖，并寫出相應(yīng)a的值． 19．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）觀察如圖所示的圖形，回答下列問題： （1）圖中的點(diǎn)被線段隔開分成四層，第一層有1個(gè)點(diǎn)，第二層有3個(gè)點(diǎn)，第三層有5個(gè)點(diǎn)，第四層有______個(gè)點(diǎn)； （2）如果要你繼續(xù)畫下去，那么第五層有多少個(gè)點(diǎn)？ （3）某一層有77個(gè)點(diǎn)，你知道這是第幾層嗎？ （4）第一層與第二層的和是多少？前三層的和是多少？前四層的和是多少？根據(jù)你的推測(cè)，前十二層的和是多少？ 20．（23-24七年級(jí)上·福建三明·期中）（1）觀察下面的點(diǎn)陣圖與等式的關(guān)系，并填空： 第1個(gè)點(diǎn)陣： ??1+3+1=12+22 第2個(gè)點(diǎn)陣： ??1+3+5+3+1=______＋______ 第3個(gè)點(diǎn)陣： ??1+3+5+7+5+3+1=______＋______ （2）觀察猜想，寫出第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式． （3）根據(jù)以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值． 21．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）將一張等邊三角形紙片剪成四個(gè)大小、形狀一樣的小等邊三角形（如圖所示），記為第一次操作，然后將其中右下角的等邊三角形又按同樣的方法剪成四小片，記為第二次操作，若每次都把右下角的等邊三角形按此方法剪成四小片，如此循環(huán)進(jìn)行下去． （1）如果剪n次共能得到 個(gè)等邊三角形． （2）若原等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)an表示第n次所剪出的小等邊三角形的邊長(zhǎng)，如a1=12． ①試用含n的式子表示an= ； ②計(jì)算a1+a2+a3+?an= ． 22．（23-24六年級(jí)上·山東威?！て谀┤鐖D，將一張邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推． （1）陰影部分的面積是______； （2）以下是甲，乙兩位同學(xué)求S=12+122+123+124+125+126的方法； 甲同學(xué)的方法：利用已給正方形圖形求，S=1?S陰影； 乙同學(xué)的方法：S=12+122+123+124+125+126① 2S=1+12+122+123+124+125② ②－①即可． 根據(jù)兩位同學(xué)的方法，你認(rèn)為S=______； （3）12+122+123+124+???+127=______； （4）計(jì)算：12+122+123+124+???+122024； （5）請(qǐng)借助甲，乙同學(xué)的方法，分別求出14+142+143+144+???+142024的值． 專題4.3 圖形規(guī)律問題 典例分析 【典例1】如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的點(diǎn)和三角形組成．第1個(gè)圖案中有3個(gè)點(diǎn)和1個(gè)三角形，第2個(gè)圖案中有6個(gè)點(diǎn)和3個(gè)三角形，第3個(gè)圖案中有9個(gè)點(diǎn)和6個(gè)三角形，??????依此規(guī)律，第10個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)與點(diǎn)個(gè)數(shù)的和為 ． 【思路點(diǎn)撥】 本題考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)圖形得出第n個(gè)圖案點(diǎn)和三角形的個(gè)數(shù)規(guī)律是解題關(guān)鍵．根據(jù)圖案得到第n個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3n個(gè)；三角形有nn+12個(gè)，再求出第10個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為30個(gè)；三角形有55個(gè)，問題得解． 【解題過程】 解：由所給圖案可得： 第1個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×2?3=3個(gè)；三角形有1個(gè)； 第2個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×3?3=6個(gè)；三角形有1+2=3個(gè)； 第3個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×4?3=9個(gè)；三角形有1+2+3=6個(gè)； …… 所以第n個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3n+1?3=3n個(gè)；三角形有1+2+3+…+n=nn+12個(gè)； 所以第10個(gè)圖案點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×10=30個(gè)；三角形有10×112=55個(gè)， 所以第10個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)與點(diǎn)個(gè)數(shù)的和為30+55=85個(gè)． 故答案為：85 學(xué)霸必刷 1．（23-24七年級(jí)上·陜西渭南·期末）用黑、白棋子按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有黑色棋子7顆，第②個(gè)圖案中有黑色棋子10顆，第③個(gè)圖案中有黑色棋子13顆，依照此規(guī)律排列下去，則第個(gè)圖案中有黑色棋子（???） A．301顆 B．304顆 C．307顆 D．310顆 【思路點(diǎn)撥】 本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知圖形得出規(guī)律“第n個(gè)圖形中黑色棋子的個(gè)數(shù)為3n+1+1”，找到正確的規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 【解題過程】 解：第一個(gè)圖形中有2×3+1=7顆黑色棋子； 第二個(gè)圖形中有3×3+1=10顆黑色棋子； 第三個(gè)圖形中有4×3+1=13顆黑色棋子； ?， 則第n個(gè)圖形中黑色棋子的個(gè)數(shù)為3n+1+1， ∴第100個(gè)圖形中黑色棋子的個(gè)數(shù)為3×101+1=304個(gè)， 故選：B． 2．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）下圖是一組有規(guī)律的圖案，圖1中有4個(gè)小黑點(diǎn)，圖2中有7個(gè)小黑點(diǎn)．圖3中有12個(gè)小黑點(diǎn)，圖4中有19個(gè)小黑點(diǎn)，?，按此規(guī)律圖9中的小黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為（????） A．64 B．67 C．84 D．87 【思路點(diǎn)撥】 本題考查了圖形的變化類問題，仔細(xì)觀察圖形，找到圖形變化的規(guī)律，利用規(guī)律求解即可，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到圖形變化的規(guī)律． 【解題過程】 解：觀察圖形可知， 第一個(gè)圖有3+12=4個(gè)小黑點(diǎn)， 第二個(gè)圖有3+22=7個(gè)小黑點(diǎn)， 第三個(gè)圖有3+32=12個(gè)小黑點(diǎn)， 第四個(gè)圖有3+42=19個(gè)小黑點(diǎn) ， 故依此類推，第n個(gè)圖有3+n2個(gè)小黑點(diǎn)， ∴第九個(gè)圖有3+92=84個(gè)小黑點(diǎn) ， 故選：C． 3．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)圖中“○”的個(gè)數(shù)，則第10個(gè)圖中“○”的個(gè)數(shù)是（????）． ?? A．90 B．95 C．100 D．105 【思路點(diǎn)撥】 本題考查圖形和數(shù)字類規(guī)律探究，根據(jù)前幾個(gè)圖形中“○”的個(gè)數(shù)得到變化規(guī)律，進(jìn)而可求解． 【解題過程】 解：第1個(gè)圖形中“○”的個(gè)數(shù)為5=5+1×0， 第2個(gè)圖形中“○”的個(gè)數(shù)為7=5+2×1， 第3個(gè)圖形中“○”的個(gè)數(shù)為11=5+3×2 第4個(gè)圖形中“○”的個(gè)數(shù)為17=5+4×3， ……， 依次類推，第n個(gè)圖形中“○”的個(gè)數(shù)為5+nn?1， ∴第10個(gè)圖形中“○”的個(gè)數(shù)為5+10×9=95， 故選：B． 4．（23-24九年級(jí)下·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）如圖，是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的“紙杯蛋糕”，其中第①個(gè)圖案用了5個(gè)石子，其中第②個(gè)圖案用了11個(gè)石子，其中第③個(gè)圖案用了18個(gè)石子，其中第④個(gè)圖案用了26個(gè)石子，???，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中石子的個(gè)數(shù)為（????） A．45 B．56 C．58 D．60 【思路點(diǎn)撥】 本題考查了圖形的變化類．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)前四個(gè)圖形的變化尋找規(guī)律． 根據(jù)圖形的變化分別寫出前四個(gè)圖形中石子的個(gè)數(shù)，即可解答第7個(gè)圖形中的石子數(shù)． 【解題過程】 解：觀察圖形的變化，可知， 第1個(gè)圖案要用的石子數(shù)為；S1=1+1×4=5； 第2個(gè)圖案要用的石子數(shù)為；S2=1+2+2×4=11； 第3個(gè)圖案要用的石子數(shù)為；S3=1+2+3+3×4=3×1+32+3×4=18； 第4個(gè)圖案要用的石子數(shù)為；S4=1+2+3+4+4×4=4×1+42+4×4=26； …； 第7個(gè)（n為正整數(shù)）圖案要用的石子數(shù)為，7×1+72+4×7=56． 故選：B． 5．（2024九年級(jí)下·重慶·專題練習(xí)）下列圖形都是由●按照一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖共有四個(gè)●，第②個(gè)圖中共有8個(gè)●，第③個(gè)圖中共有13個(gè)●，第④個(gè)圖中共有19個(gè)●，…，照此規(guī)律排列下去，則第10個(gè)圖形中●的個(gè)數(shù)為（　　） A．50 B．53 C．64 D．76 【思路點(diǎn)撥】 本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律． 根據(jù)已知圖形得出圖n中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(n+1)2?(1+2+3+…+n?1)，據(jù)此可得． 【解題過程】 解：因?yàn)閳D①中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4=22?0， 圖②中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8=32?1， 圖③中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為13=42?(1+2)， 圖④中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為19=52?(1+2+3)， ..., 圖n中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(n+1)2?(1+2+3+…+n?1)， 所以圖10中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為112?(1+2+3+…+9)=121?45=76， 故選：D． 6．（23-24七年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）用長(zhǎng)度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，…，按此規(guī)律排列下去，則第20個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（　?。??? A．104 B．109 C．123 D．129 【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)前幾個(gè)圖形，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)圖形的木棍數(shù)都等于4加上圖形位置序數(shù)的5的倍數(shù)，據(jù)此規(guī)律求解即可． 本題主要考查了圖形的數(shù)字規(guī)律．根據(jù)圖形，數(shù)出木棍數(shù)，數(shù)形結(jié)合找到規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵． 【解題過程】 解：由圖可知： 第1個(gè)圖案用木棍，4+5=9（根）， 第2個(gè)圖案用木棍，4+5×2=14（根）， 第3個(gè)圖案用木棍4+5×3=19（根）， 第4個(gè)圖案用木棍，4+5×4=24（根）， ∴第n個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是，4+5n； 當(dāng)n=20時(shí)，4+5×20=104． 故選：C． 7．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是（????） A．2022 B．3035 C．3029 D．3036 【思路點(diǎn)撥】 本題考查了圖形的規(guī)律變化類，根據(jù)圖形的變化規(guī)律歸納出第n個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量即可求解，通過圖形找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 【解題過程】 解：根據(jù)圖形變化規(guī)律可知： 第1個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為2， 第2個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為3， 第3個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為5， 第4個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為6， ?， ∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，黑色正方形的個(gè)數(shù)為n+n+12， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，黑色正方形的個(gè)數(shù)為n+n2， ∴第2023個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是2023+2023+12=3035， 故選：B． 8．（23-24七年級(jí)上·福建寧德·期中）觀察圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知第506個(gè)正方形的左上角標(biāo)的數(shù)是（　?。? A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【思路點(diǎn)撥】 觀察圖形可知每個(gè)正方形上標(biāo)4個(gè)數(shù)，則有506×4=2024，即第506個(gè)正方形左下角的數(shù)是2024，從而可求第506個(gè)正方形左上角的數(shù)． 【解題過程】 解：由題意可知每個(gè)正方形上標(biāo)4個(gè)數(shù)，且所有圖形標(biāo)注的數(shù)字都是從右下角開始，沿逆時(shí)針依次標(biāo)注四個(gè)連續(xù)的且依次增大的正整數(shù)，且第一個(gè)圖形右下角是從1開始標(biāo)注， ∴第506個(gè)正方形標(biāo)注的最大數(shù)字是：506×4=2024， 即第506個(gè)正方形的左下角的數(shù)是2024 ， ∴第506個(gè)正方形左上角的數(shù)是2024?1=2023． 故選：D． 9．（23-24七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a1，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a2，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a3， …， 依次類推， 則 1a1+1a2+1a3+?1a20的值為（?????） A．2122 B．144 C．419924 D．325462 【思路點(diǎn)撥】 本題主要考查圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是得出 an=nn+2及1nn+2=12×1n?1n+2． 【解題過程】 解：a1=3=1×3, a2=8=2×4， a3=15=3×5,a4=24=4×6， ?， an=nn+2； ∴1a1+1a2+1a3+?+1a20 =11×3+12×4+13×5++120×22 =12×(1?13+12?14+13?15+?+120?122) =12×1+12?121?122 =12×650462 =325462， 故選: D． 10．（23-24七年級(jí)上·福建漳州·階段練習(xí)）漢諾塔問題是指有三根桿子和套在桿子上的若干大小不等的碟片，按下列規(guī)則，把碟片從一根桿子上全部移到另一根桿子上； （1）每次只能移動(dòng)1個(gè)碟片． （2）較大的碟片不能放在較小的碟片上面． 如圖所示，將1號(hào)桿子上所有碟片移到2號(hào)桿子上，3號(hào)桿可以作為過渡桿使用，稱將碟片從一根桿子移動(dòng)到另一根桿子為移動(dòng)一次，記將1號(hào)桿子上的n個(gè)碟片移動(dòng)到2號(hào)桿子上最少需要an次，則a6=（????） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【思路點(diǎn)撥】 本題考查了歸納推理、圖形變化的規(guī)律問題．根據(jù)移動(dòng)方法與規(guī)律發(fā)現(xiàn)，隨著盤子數(shù)目的增多，都是分兩個(gè)階段移動(dòng)，用盤子數(shù)目減1的移動(dòng)次數(shù)都移動(dòng)到2柱，然后把最大的盤子移動(dòng)到3柱，再用同樣的次數(shù)從2柱移動(dòng)到3柱，從而完成，然后根據(jù)移動(dòng)次數(shù)的數(shù)據(jù)找出總的規(guī)律求解即可． 【解題過程】 解：n=1時(shí)，an=1； n=2時(shí)，小盤→3柱，大盤→2柱，小盤從3柱→2柱，完成，即a2=3=22?1； n=3時(shí)，小盤→2柱，中盤→3柱，小盤從2柱→3柱，大盤→2柱，再用n=2的方法轉(zhuǎn)移， 即a3=7=23?1， …… 以此類推，an=2n?1， ∴ a6=26?1=63． 故選：D． 11．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）用大小相同的小三角形擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第12個(gè)圖案中共有小三角形的個(gè)數(shù)是 ． 【思路點(diǎn)撥】 此題考查圖形的變化規(guī)律，觀察與比較每個(gè)圖案相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，得出后一個(gè)圖案總是在與之相鄰的前一個(gè)圖案基礎(chǔ)上有規(guī)律地增加小三角形數(shù)，即在前一個(gè)圖案的基礎(chǔ)上增加比圖案序號(hào)數(shù)多3個(gè)的小三角形數(shù)，從而解決該題，解決本題的關(guān)鍵是找出圖形之間的運(yùn)算規(guī)律． 【詳解】解：當(dāng)n=1時(shí)，第1個(gè)圖案的小三角形的個(gè)數(shù)是=2（個(gè)）)． 當(dāng)n=2時(shí)，第2個(gè)圖案的小三角形的個(gè)數(shù)是=3+2=5（個(gè)）． 當(dāng)n=3時(shí)，第3個(gè)圖案的小三角形的個(gè)數(shù)是=3×2+2=8（個(gè)）． 當(dāng)n=4時(shí)，第4個(gè)圖案的小三角形的個(gè)數(shù)是=3×3+2=11（個(gè)）． 以此類推，第n個(gè)圖案的小三角形的個(gè)數(shù)是=3(n?1)+2=3n?1； ∴第12個(gè)圖案中共有小三角形的個(gè)數(shù)是3×12?1=35（個(gè)）， 故答案為：35． 12．（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期末）如圖，一張長(zhǎng)方形的桌子可坐6人，按照?qǐng)D中方式繼續(xù)擺放桌子和椅子，若拼成一張大桌子后，座位剛好可坐38人，則共需要這種長(zhǎng)方形桌子 張 【思路點(diǎn)撥】 本題考查了圖形規(guī)律問題，根據(jù)圖形得出2張桌子，3張桌子拼在一起可坐的人數(shù)，然后得出每多一張桌子可多坐4人的規(guī)律，進(jìn)而得出n張桌子拼在一起可坐4n+2人，再列方程解答即可． 【解題過程】 解：由圖可知， 1張長(zhǎng)方形桌子可坐6人，6=4×1+1， 2張桌子拼在一起可坐10人，10=4×2+2， 3張桌子拼在一起可坐14人，14=4×3+2， … 以此類推，每多一張桌子可多坐4人， 所以，n張桌子拼在一起可坐4n+2人； 若拼成一張大桌子后，座位剛好可坐38人，可得：4n+2=38， 解得：n=9 故答案為：9 13．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下面的圖形是由邊長(zhǎng)為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的，如圖①，正方形的個(gè)數(shù)為8，周長(zhǎng)為18． ?? （1）推測(cè)第4個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)為 ，周長(zhǎng)為 ； （2）推測(cè)第n個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)為 ，周長(zhǎng)為 ；（都用含n的代數(shù)式表示）． 【思路點(diǎn)撥】 （1）依次數(shù)出n=1，2，3，4時(shí)正方形的個(gè)數(shù)，算出圖形的周長(zhǎng)； （2）根據(jù)規(guī)律以此類推，可得出第n個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)為及周長(zhǎng)； 本題考查了根據(jù)圖示尋找規(guī)律，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 【解題過程】 解：（1）因?yàn)閚=1時(shí)，正方形有8個(gè)，即8=5×1+3，周長(zhǎng)是18，即18=10×1+8， n=2時(shí)，正方形有13個(gè)，即13=5×2+3，周長(zhǎng)是28，即28=10×2+8， n=3時(shí)，正方形有18個(gè)，即18=5×3+3，周長(zhǎng)是38，即38=10×3+8， n=4時(shí)，正方形有23個(gè)，即23=5×4+3，周長(zhǎng)是48，即48=10×4+8， 故答案為：① 23；② 48； （2）解：由（1）總結(jié)可得，第n個(gè)圖形時(shí)，正方形有5n+3個(gè)，周長(zhǎng)是10n+8， 故答案為：③ 5n+3，④ 10n+8． 14．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期中）如圖，從原點(diǎn)A開始，以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個(gè)半圓；以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個(gè)半圓；以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個(gè)半圓；以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個(gè)半圓；?按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第7個(gè)半圓的面積為 ．（結(jié)果保留π） 【思路點(diǎn)撥】 本題以圖形作為背景考查數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出第n個(gè)半圓的直徑為2n?1是解題的關(guān)鍵． 先根據(jù)規(guī)律得出第n個(gè)半圓的直徑為2n?1，再除以2得到半徑，進(jìn)而可求出第7個(gè)半圓的面積． 【解題過程】 解：根據(jù)已知可得出第n個(gè)半圓的直徑為2n?1， ∴第7個(gè)半圓的直徑為：27?1=26=64，半徑為32， 第7個(gè)半圓的面積為：12×π×322=512π， 故答案為：512π． 15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓桌周圍有20個(gè)箱子，按順時(shí)針方向編號(hào)1～20，小明先在1號(hào)箱子中丟入一顆紅球，然后沿著圓桌按順時(shí)針方向行走，每經(jīng)過一個(gè)箱子丟一顆球，規(guī)則如下： ①若前一個(gè)箱子丟紅球，則下一個(gè)箱子就丟綠球． ②若前一個(gè)箱子丟綠球，則下一個(gè)箱子就丟白球． ③若前一個(gè)箱子丟白球，則下一個(gè)箱子就丟紅球．他沿著圓周走了2024圈，求4號(hào)箱內(nèi)有 顆紅球． 【思路點(diǎn)撥】 本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意先找到各個(gè)紅球都在那個(gè)箱內(nèi)，然后找到哪一圈會(huì)在4號(hào)箱內(nèi)丟紅球，從而得到規(guī)律即可求解，根據(jù)題意找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵. 【解題過程】 解：根據(jù)題意可知， 第1圈紅球在1、4、7、10、13、16、19號(hào)箱內(nèi)， 第2圈紅球在2、5、8、11、14、17、20號(hào)箱內(nèi)， 第3圈紅球在3、6、9、12、15、18號(hào)箱內(nèi)， 第4圈紅球在1、4、7、10、13、16、19號(hào)箱內(nèi)， ?， ∴第1、4、7、10?2023圈會(huì)在4號(hào)箱內(nèi)丟一顆紅球， ∵2023?1÷3=674， ∴紅球顆數(shù)為674顆， 故答案為：674． 16．（23-24七年級(jí)上·浙江溫州·期中）排球比賽時(shí)，甲方6名隊(duì)員開始站位如圖所示，比賽開始由甲方1號(hào)位的選手發(fā)球，再輪到甲方選手發(fā)球時(shí)是第二輪發(fā)球，此時(shí)甲方全體隊(duì)員按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)一個(gè)位置（轉(zhuǎn)一圈），即1號(hào)位的隊(duì)員到6號(hào)位置，6號(hào)位到5號(hào)位，…，此時(shí)2號(hào)位隊(duì)員到1號(hào)位置發(fā)球，以此類推，如果甲方選手小花開場(chǎng)時(shí)站在6號(hào)位置，記a1=6；甲方第二輪發(fā)球時(shí)，小花站在a2號(hào)位置，…，這場(chǎng)比賽甲方發(fā)了21輪球，則a1+a2+…+a21的值為 ． 【思路點(diǎn)撥】 此題主要考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意列舉發(fā)現(xiàn)發(fā)球輪數(shù)與所占位置的規(guī)律是解題關(guān)鍵．分別列舉出發(fā)球與所占位置的規(guī)律，進(jìn)而得出兩者之間的數(shù)字規(guī)律進(jìn)而得出答案． 【解題過程】 解：小花上場(chǎng)時(shí)，站在6號(hào)位置，第1輪發(fā)球時(shí)，站在⑥號(hào)位置，則a1=6； 第2輪發(fā)球時(shí)，站在⑤號(hào)位置，則a2=5； 第3輪發(fā)球時(shí)，站在④號(hào)位置，則a3=4； 第4輪發(fā)球時(shí)，站在③號(hào)位置，則a4=3； 第5輪發(fā)球時(shí)，站在②號(hào)位置，則a5=2； 第6輪發(fā)球時(shí)，站在①號(hào)位置，則a6=1； 第7輪發(fā)球時(shí)，站在⑥號(hào)位置，則a7=6； 第8輪發(fā)球時(shí)，站在⑤號(hào)位置，則a8=5； … 由此可得，每6輪重復(fù)出現(xiàn)相應(yīng)的位置上， ∵21÷6=3……3，6+5+4+3+2+1=21， ∴a21=4 ∴a1+a2+…+a21 =6+5+4+3+2+1+6+…+6+5+4 =21×3+6+5+4 =63+15 =78． 故答案為：78 17．（23-24七年級(jí)上·安徽·單元測(cè)試）觀察下列圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)． （1）圖2中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ； （2）若按其規(guī)律再畫下去，如果圖形中有36個(gè)點(diǎn)，那它是第 個(gè)圖形； （3）若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個(gè)圖形中所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （用含n的代數(shù)式表示）． 【思路點(diǎn)撥】 此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題． （1）圖2中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3+5=9; （2）由第1個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3=4=22， 第2個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3+5=9=32，第3個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3+5+7=16=42，得出第n個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3+5++2n+1=n+12，進(jìn)一步得出36=5+12,也就是第5個(gè)圖形； （3）利用 （2）中的規(guī)律得出答案即可． 【解題過程】 （1）解：圖2中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：1+3+5=9， 故答案為：9； （2）解：第1個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3=4=22, 第2個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3+5=9=32, 第3個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3+5+7=16=42， … ∴第n個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為： 1+3+5+?+2n+1=n+12， ∴36=5+12, ∴是第5個(gè)圖形， 故答案為：5； （3）解：第n個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為： 1+3+5++2n+1=n+12. 故答案為：n+12． 18．（23-24七年級(jí)上·北京通州·期末）現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD的寬為1，長(zhǎng)為aa>1的紙片，先剪去一個(gè)正方形，余下一個(gè)長(zhǎng)方形，在余下的長(zhǎng)方形紙片中再剪去一個(gè)正方形，又余下一個(gè)長(zhǎng)方形……，依此類推，如圖是剪3次后余下的長(zhǎng)方形恰好是正方形的其中一種示意圖及相應(yīng)a的值，請(qǐng)畫出（與示意圖不同）剪3次后余下的長(zhǎng)方形恰好是正方形的示意圖，并寫出相應(yīng)a的值． 【思路點(diǎn)撥】 a有四個(gè)值：當(dāng)a=4時(shí)，三個(gè)最大的正方形邊長(zhǎng)都為1，余下的正方形邊長(zhǎng)為1；當(dāng)a=52時(shí)，第一個(gè)和第二個(gè)正方形邊長(zhǎng)都為1，第三個(gè)正方形邊長(zhǎng)為12，余下的正方形邊長(zhǎng)為12；當(dāng)a=53時(shí)，第一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1，第二個(gè)正方形邊長(zhǎng)為23，第三個(gè)正方形邊長(zhǎng)為13，余下的正方形邊長(zhǎng)為13；當(dāng)a=43時(shí)，第一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1，第二個(gè)和第三個(gè)正方形邊長(zhǎng)都為13，余下的正方形邊長(zhǎng)為13． 【解題過程】 解：①如圖， a=1+1+1+1=4； ②如圖， a=1+1+12=52； ③如圖， a=1+13+13=53； ④如圖， a=1+13=43． 19．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）觀察如圖所示的圖形，回答下列問題： （1）圖中的點(diǎn)被線段隔開分成四層，第一層有1個(gè)點(diǎn)，第二層有3個(gè)點(diǎn)，第三層有5個(gè)點(diǎn)，第四層有______個(gè)點(diǎn)； （2）如果要你繼續(xù)畫下去，那么第五層有多少個(gè)點(diǎn)？ （3）某一層有77個(gè)點(diǎn)，你知道這是第幾層嗎？ （4）第一層與第二層的和是多少？前三層的和是多少？前四層的和是多少？根據(jù)你的推測(cè)，前十二層的和是多少？ 【思路點(diǎn)撥】 本題考查了圖形類規(guī)律探索，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵． （1）由圖形即可得出答案； （2）由題意得出規(guī)律：第n層有2n?1個(gè)點(diǎn)，由此計(jì)算即可得解； （3）由（2）可得，第n層有2n?1個(gè)點(diǎn)，令2n?1=77，計(jì)算即可得解； （4）分別計(jì)算出第一層與第二層的和，前三層的和、前四層的和，得出規(guī)律前n層的和是n2，即可得解． 【解題過程】 （1）解：由圖可得：第四層有7個(gè)點(diǎn)； （2）解：∵第一層有1=2×1?1個(gè)點(diǎn)， 第二層有3=2×2?1個(gè)點(diǎn)， 第三層有5=2×3?1個(gè)點(diǎn)， 第四層有7=2×4?1個(gè)點(diǎn)， …， ∴第n層有2n?1個(gè)點(diǎn)， ∴第五層有2×5?1=9個(gè)點(diǎn)； （3）解：由（2）可得，第n層有2n?1個(gè)點(diǎn)， 令2n?1=77， 解得：n=39， ∴某一層有77個(gè)點(diǎn)，這是第39層； （4）解：第一層與第二層的和是：1+3=4=22， 前三層的和是：1+3+5=9=32； 前四層的和是：1+3+5+7=16=42； …， 故前n層的和是：n2， ∴前十二層的和是：122=144． 20．（23-24七年級(jí)上·福建三明·期中）（1）觀察下面的點(diǎn)陣圖與等式的關(guān)系，并填空： 第1個(gè)點(diǎn)陣： ??1+3+1=12+22 第2個(gè)點(diǎn)陣： ??1+3+5+3+1=______＋______ 第3個(gè)點(diǎn)陣： ??1+3+5+7+5+3+1=______＋______ （2）觀察猜想，寫出第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式． （3）根據(jù)以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值． 【思路點(diǎn)撥】 （1）根據(jù)點(diǎn)陣圖即可求解； （2）根據(jù)（1）中的3個(gè)等式得出規(guī)律，進(jìn)而寫出第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式； （3）根據(jù)（2）中得出的規(guī)律，進(jìn)行計(jì)算即可． 【解題過程】 解：（1）由圖可得：1+3+5+3+1=22+32，1+3+5+7+5+3+1=32+42， 故答案為：22，32，32，42； （2）∵第1個(gè)點(diǎn)陣： ??1+3+1=12+22 第2個(gè)點(diǎn)陣： ??1+3+5+3+1=22+32 第3個(gè)點(diǎn)陣： 1+3+5+7+5+3+1=32+42 … ∴第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式為： 1+3+5+…+2n?1+2n+1+2n?1+…+5+3+1=n2+n+12； （3）由（2）可得： 1+3+5+…+2n?1+2n+1+2n?1+…+5+3+1=n2+n+12， ∵2n+1=201， ∴n=100， ∴1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1 =1002+100+12 =1002+1012 =10000+10201 =20201． 21．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）將一張等邊三角形紙片剪成四個(gè)大小、形狀一樣的小等邊三角形（如圖所示），記為第一次操作，然后將其中右下角的等邊三角形又按同樣的方法剪成四小片，記為第二次操作，若每次都把右下角的等邊三角形按此方法剪成四小片，如此循環(huán)進(jìn)行下去． （1）如果剪n次共能得到 個(gè)等邊三角形． （2）若原等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)an表示第n次所剪出的小等邊三角形的邊長(zhǎng)，如a1=12． ①試用含n的式子表示an= ； ②計(jì)算a1+a2+a3+?an= ． 【思路點(diǎn)撥】 本題主要考查圖形變化的規(guī)律、數(shù)字變化規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)三角形的個(gè)數(shù)及邊長(zhǎng)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵． （1）觀察發(fā)現(xiàn)：每剪一次，等邊三角形的個(gè)數(shù)增加3，據(jù)此寫出代數(shù)式即可； （2）①依次求出等邊三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解答； ②運(yùn)用①中的結(jié)論進(jìn)行解答即可． 【解題過程】 （1）解：由題意可知： 剪1次共得到的等邊三角形個(gè)數(shù)為：4=1×3+1； 剪2次共得到的等邊三角形個(gè)數(shù)為：7=2×3+1； 剪3次共得到的等邊三角形個(gè)數(shù)為：10=3×3+1； …， 所以剪n次共得到的等邊三角形個(gè)數(shù)為3n+1個(gè)． 故答案為：3n+1． （2）解：①因?yàn)樵冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為1， 所以第1次所剪出的小等邊三角形的邊長(zhǎng)為：12； 第2次所剪出的小等邊三角形的邊長(zhǎng)為：14=122； 第3次所剪出的小等邊三角形的邊長(zhǎng)為：18=123； …， 所以第n次所剪出的小等邊三角形的邊長(zhǎng)為：12n，即an=12n， 故答案為：12n； ②由①題可知： a1+a2+a3+．．．+an=12+122+123+?+12n； 令S=12+122+123+?+12n①， 則2S=1+12+122+?+12n?1②， ②?①得：S=1?12n ， 即a1+a2+a3+．．．+an=1?12n． 故答案為：1?12n． 22．（23-24六年級(jí)上·山東威?！て谀┤鐖D，將一張邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推． （1）陰影部分的面積是______； （2）以下是甲，乙兩位同學(xué)求S=12+122+123+124+125+126的方法； 甲同學(xué)的方法：利用已給正方形圖形求，S=1?S陰影； 乙同學(xué)的方法：S=12+122+123+124+125+126① 2S=1+12+122+123+124+125② ②－①即可． 根據(jù)兩位同學(xué)的方法，你認(rèn)為S=______； （3）12+122+123+124+???+127=______； （4）計(jì)算：12+122+123+124+???+122024； （5）請(qǐng)借助甲，乙同學(xué)的方法，分別求出14+142+143+144+???+142024的值． 【思路點(diǎn)撥】 本題考查了圖形規(guī)律的探究，有理數(shù)的運(yùn)算．熟練掌握?qǐng)D形規(guī)律的探究，有理數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)S陰影=1×12×12×12×12×12×12，計(jì)算求解即可； （2）甲同學(xué)： S=1?S陰影=1?164；乙同學(xué)：②?①得，S=1?126，計(jì)算求解即可； （3）設(shè)T=12+122+123+124+???+127，則2T=1+12+122+123+124+???+126，T=1?127，計(jì)算求解即可； （4）同理（3）計(jì)算求解即可； （5）甲同學(xué)：如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形四等分，每分割一次面積為原來的14，依此類推，則圖中陰影部分的面積為143=1?34?342?343，可得一般性規(guī)律為14n=1?34?342?343?......?34n，整理得1?14n=314+142+143+......+14n，然后求解即可；乙同學(xué)：令S=14+142+143+144+???+142024，則4S=1+14+142+143+144+???+142023，3S=1?142024，計(jì)算求解即可． 【解題過程】 （1）解：由題意知，S陰影=1×12×12×12×12×12×12=164， 故答案為：164； （2）解：甲同學(xué)： S=1?S陰影=1?164=6364； 乙同學(xué)：S=12+122+123+124+125+126①，2S=1+12+122+123+124+125② ②?①得，S=1?126=6364， 故答案為：6364； （3）解：設(shè)T=12+122+123+124+???+127，則2T=1+12+122+123+124+???+126， ∴T=1?127=127128， 故答案為：127128； （4）解：令S=12+122+123+124+???+122024，則2S=1+12+122+123+124+???+122023， ∴S=1?122024， ∴12+122+123+124+???+122024=1?122024； （5）解：甲同學(xué)：如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形四等分，每分割一次面積為原來的14，依此類推， 則圖中陰影部分的面積為143=1?34?342?343， ∴可得一般性規(guī)律為：14n=1?34?342?343?......?34n，整理得1?14n=314+142+143+......+14n， ∴14+142+143+144+???+142024=131?142024； 乙同學(xué)：令S=14+142+143+144+???+142024，則4S=1+14+142+143+144+???+142023， ∴3S=1?142024， 解得，S=131?142024， ∴14+142+143+144+???+142024的值為131?142024．

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