本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的高階拓展，熟練掌握后能快速解決基本不等式中的最值問題，常在高考及競賽中做到類型題的秒解！
知識講解
一、柯西不等式
1.二維形式的柯西不等式
a2+b2c2+d2≥ac+bd2(a,b,c,d∈R, 當(dāng)且僅當(dāng) ad=bc 時，等號成立.)
2.二維形式的柯西不等式的變式
(1) a2+b2?c2+d2≥ac+bd(a,b,c,d∈R, 當(dāng)且僅當(dāng) ad=bc 時，等號成立.)
(2) a2+b2?c2+d2≥ac+bd(a,b,c,d∈R, 當(dāng)且僅當(dāng) ad=bc 時，等號成立.)
(3) a+bc+d≥ac+bd2(a,b,c,d≥0, 當(dāng)且僅當(dāng) ad=bc 時，等號成立.)
3.擴展： a12+a22+a32+?+an2b12+b22+b32+?+bn2≥a1b1+a2b2+a3b3+?+anbn2
權(quán)方和不等式:
若 則 當(dāng)且僅當(dāng) 時取等.
(注：熟練掌握這個足以應(yīng)付高考中的這類型最值問題可以實現(xiàn)對一些問題的秒殺)
廣義上更為一般的權(quán)方和不等式:
設(shè) ,
若 或 , 則 ;
若 , 則 ;
上述兩個不等式中的等號當(dāng)且僅當(dāng) 時取等
注意觀察這個不等式的結(jié)構(gòu)特征, 分子分母均為正數(shù), 且始終要求分子的次數(shù)比分母的次數(shù)多 1, 出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵, 特別的, 高考題中以 最為常見, 此時這個不等式是大家熟悉的柯西不等式.
考點一、權(quán)方和不等式全解析
例1：若正數(shù)，滿足，則的最小值為______________
例2：若，，，則的最小值為______________
例3：已知正數(shù)滿足，則的最小值為
例4：若，，，則的最小值為______________
例5：若，，則的最小值為______________
例6：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為______________
例7：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為______________
例8：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______________
例9：求的最小值為______________
例10：求的最小值為______________
例11：權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時，的值為（ ）
A．B．C．D．
例12：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______________
例13：已知，求的最小值為______________
例14：已知，，，求的最大值為______________
例15：求的最大值為______________
例16：已知正數(shù)，，滿足，求的最大值為___________
考點二、柯西不等式全解析
例1：用柯西不等式求函數(shù)的最大值為
A．B．3C．4D．5
例2：由柯西不等式，當(dāng)時，求的最大值為（ ）
A．10B．4C．2D．
例3：已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得實數(shù)的取值范圍是 ．
例4：已知，求的最小值.（利用柯西不等式）
例5：已知正實數(shù)，，，滿足，則的最小值是 ．
例6：已知非負(fù)實數(shù)a、b、c、d滿足，求證：
一、單選題
1．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
2．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．4B．C．6D．
3．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若是正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知點在以原點為圓心，半徑的圓上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．（高三上·浙江寧波·期中）設(shè)a，b為正實數(shù)，且，則的最大值和最小值之和為（ ）
A．2B．C．D．9
9．（2024·遼寧·一模）已知，則 的最小值為（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值（ ）
A．2B．4C．D．
二、填空題
11．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為 .
12．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實數(shù)，且，則的最小值是 ．
13．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為 ．
14．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）若實數(shù)，且，則的最小值為 .
15．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值是 ．
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為 ．
17．（21-22高三上·天津南開·期中）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為 .
18．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
19．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為 .
20．（23-24高三上·上海黃浦·開學(xué)考試）已知，則的最小值為 .
21．（2024·江西宜春·三模）已知，，且滿足，則的最大值為 ．
22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三個正數(shù)滿足，則的最小值為 .
23．（2024·上海嘉定·二模）已知，，則函數(shù)的最小值為 ．
24．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知正數(shù)滿足，則的最小值為
第06講 權(quán)方和不等式（含柯西不等式的應(yīng)用）
（高階拓展、競賽適用）
本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的高階拓展，熟練掌握后能快速解決基本不等式中的最值問題，常在高考及競賽中做到類型題的秒解！
知識講解
一、柯西不等式
1.二維形式的柯西不等式
a2+b2c2+d2≥ac+bd2(a,b,c,d∈R, 當(dāng)且僅當(dāng) ad=bc 時，等號成立.)
2.二維形式的柯西不等式的變式
(1) a2+b2?c2+d2≥ac+bd(a,b,c,d∈R, 當(dāng)且僅當(dāng) ad=bc 時，等號成立.)
(2) a2+b2?c2+d2≥ac+bd(a,b,c,d∈R, 當(dāng)且僅當(dāng) ad=bc 時，等號成立.)
(3) a+bc+d≥ac+bd2(a,b,c,d≥0, 當(dāng)且僅當(dāng) ad=bc 時，等號成立.)
3.擴展： a12+a22+a32+?+an2b12+b22+b32+?+bn2≥a1b1+a2b2+a3b3+?+anbn2
權(quán)方和不等式:
若 則 當(dāng)且僅當(dāng) 時取等.
(注：熟練掌握這個足以應(yīng)付高考中的這類型最值問題可以實現(xiàn)對一些問題的秒殺)
廣義上更為一般的權(quán)方和不等式:
設(shè) ,
若 或 , 則 ;
若 , 則 ;
上述兩個不等式中的等號當(dāng)且僅當(dāng) 時取等
注意觀察這個不等式的結(jié)構(gòu)特征, 分子分母均為正數(shù), 且始終要求分子的次數(shù)比分母的次數(shù)多 1, 出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵, 特別的, 高考題中以 最為常見, 此時這個不等式是大家熟悉的柯西不等式.
考點一、權(quán)方和不等式全解析
例1：若正數(shù)，滿足，則的最小值為______________
解：，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，時取等號
所以的最小值為
例2：若，，，則的最小值為______________
解：
即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
例3：已知正數(shù)滿足，則的最小值為
解：
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.由解得：，
例4：若，，，則的最小值為______________
解：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
例5：若，，則的最小值為______________
解：
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，所以的最小值為
例6：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為______________
解：
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
例7：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為______________
解：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
例8：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______________
解：
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
例9：求的最小值為______________
解：
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
例10：求的最小值為______________
解：
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
例11：權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時，的值為（ ）
A．B．C．D．
解：由題意得，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以．
例12：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______________
解：
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
例13：已知，求的最小值為______________
解：
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
例14：已知，，，求的最大值為______________
解：
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
例15：求的最大值為______________
解：
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
例16：已知正數(shù)，，滿足，求的最大值為___________
解：
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
考點二、柯西不等式全解析
例1：用柯西不等式求函數(shù)的最大值為
A．B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】配湊目標(biāo)函數(shù)，再利用柯西不等式即可求得結(jié)果.
【詳解】由柯西不等式可得，
函數(shù)
當(dāng)且僅當(dāng)==時，即時等號成立，
故該的最大值為4.
故選：C.
例2：由柯西不等式，當(dāng)時，求的最大值為（ ）
A．10B．4C．2D．
【答案】D
【分析】利用柯西不等式可得，即求.
【詳解】解：由柯西不等式，得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
因為，所以，
則，故的最大值為.
故選：D
例3：已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】試題分析：由柯西不等式得，所以，即.
考點：柯西不等式
例4：已知，求的最小值.（利用柯西不等式）
【答案】
【分析】利用柯西不等式進行求解．
【詳解】由柯西不等式可知：（）（4+9+36），
，當(dāng)且僅當(dāng)
【點睛】本題考查的是函數(shù)最值的求法，主要通過消元和配方解決問題，也可以是利用柯西不等式進行求解．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．
例5：已知正實數(shù)，，，滿足，則的最小值是 ．
【答案】/
【分析】
利用配湊法及柯西不等式即可求解.
【詳解】
由題意可知，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”號．
所以原式的最小值為．
故答案為：.
例6：已知非負(fù)實數(shù)a、b、c、d滿足，求證：
【答案】證明見解析
【分析】利用切比雪夫不等式的推論、柯西不等式及均值不等式即可求解.
【詳解】不妨設(shè)，則．
記，則，．
依次運用切比雪夫不等式的推論1、柯西不等式、均值不等式得到
，
故原不等式正確．
一、單選題
1．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式及“1”的妙用計算即可．
【詳解】因為，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，取得最小值，
故選：D．
2．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】D
【分析】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】因為，，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.
故選：D
3．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代換求解即可.
【詳解】因為，所以，
因為，，所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等.
故選：C.
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若是正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】觀察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得結(jié)果.
【詳解】因為
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為.
故選：A
5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知點在以原點為圓心，半徑的圓上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】由題可得點滿足的圓方程，進而，然后利用基本不等式結(jié)合條件即得.
【詳解】由題意可得點的坐標(biāo)滿足，所以，．
因此，
.
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號．
故選: D．
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得，根據(jù)“1”的代換化簡得出.進而根據(jù)基本不等式，即可求得答案.
【詳解】因為，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值為．
故選：C．
7．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依題意得，則，進而由柯西不等式可得最大值.
【詳解】由可得，即.
由可知，所以.
由，可得，
由柯西不等式得
，
所以，當(dāng)即時，取等號.
所以的最大值為.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：在得出之后，關(guān)鍵在于根據(jù)題目特點應(yīng)用柯西不等式求最大值.
8．（高三上·浙江寧波·期中）設(shè)a，b為正實數(shù)，且，則的最大值和最小值之和為（ ）
A．2B．C．D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，再由“1”與相乘利用基本不等式轉(zhuǎn)化為，解不等式即可求解.
【詳解】由，則，
所以


，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即或時，等號成立，
即，解得
所以的最大值為；最小值為；
所以最大值和最小值之和為.
故選：C
【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，運用基本不等式求最值需驗證等號成立的條件，屬于中檔題.
9．（2024·遼寧·一模）已知，則 的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，，將所求式子變形，利用基本不等式求解.
【詳解】由，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
故選：A.
10．（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】
首先不等式變形為恒成立，再利用兩次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.
【詳解】不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為
恒成立，其中，
令，
，
，
第二次使用基本不等式，等號成立的條件是且，
得且，此時第一次使用基本不等式，說明兩次基本不等式能同時取得，
所以的最小值為，
即，則，
所以實數(shù)的最大值為.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是再求的最值時，需變形為，再通過兩次基本不等式求最值.
二、填空題
11．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】因為，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.
故答案為：
12．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實數(shù)，且，則的最小值是 ．
【答案】24
【分析】變形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
【詳解】因為，且，
所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，
故答案為：
13．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】是的邊長，所以它們是正數(shù)，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】因為，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為．
故答案為：.
14．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）若實數(shù)，且，則的最小值為 .
【答案】4
【分析】根據(jù)，將化簡可得，再根據(jù)基本不等式“1”的巧用求解最值即可.
【詳解】由可得，
因為，所以，即，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為.
故答案為：.
15．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值是 ．
【答案】/．
【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
【詳解】由，得，
因為，，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
所以的最小值是．
故答案為：．
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為 ．
【答案】12
【分析】令，，從而可得，，再根據(jù)，結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】令，，則，，且，，
所以，．
又，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時，等號成立．
故答案為：12
17．（21-22高三上·天津南開·期中）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，應(yīng)用柯西不等式求的取值范圍，進而可得目標(biāo)式的最小值，注意等號成立條件.
【詳解】由題設(shè)，，則，
又，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
∴的最小值為.
故答案為：.
18．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】
將變形為，利用均值不等式求的最小值即可求解.
【詳解】因為，
所以
，
所以
，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，
所以，，
故實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是先得到，再進一步結(jié)合乘“1”法即可順利得解.
19．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由，結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】因為，
所以，
所以，
因為為正實數(shù)，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時等號成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以的最小值為，
故答案為：.
20．（23-24高三上·上海黃浦·開學(xué)考試）已知，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】依題意可得，再由基本不等式“”的妙用即可得解.
【詳解】因為，
所以，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
顯然此時有解，所以的最小值為.
故答案為：.
21．（2024·江西宜春·三模）已知，，且滿足，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】解法1、根據(jù)題意，得到，結(jié)合基本不等式求得，進而求得的最大值；
解法2、根據(jù)題意，得到，利用權(quán)方和不等式得，進而求得的最大值．
【詳解】解法1、由，可得，
由基本不等式得，可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
聯(lián)立方程組，解得，，故的最大值為2．
解法2、由，可得，
因為，由權(quán)方和不等式得，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
聯(lián)立方程組，解得，，故的最大值為2．
故答案為：.
22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三個正數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】依題意為正數(shù)，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，
，時等號成立.
故答案為：
23．（2024·上海嘉定·二模）已知，，則函數(shù)的最小值為 ．
【答案】
【分析】令，可求t的范圍，利用同角的基本關(guān)系對已知函數(shù)化簡計算，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】由題意知，，
令，由，得，
所以，則.
由，得，
所以，則原函數(shù)可化為，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，取得最大值，此時取得最小值.
故答案為：
24．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)分離常量法可得，結(jié)合權(quán)方和不等式計算可得，即，即可求解.
【詳解】，
，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
所以，得，
所以或（舍去），
即的最小值為.
故答案為：

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