A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，有時可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征，已知函數(shù)在的大致圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·山西呂梁·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖象為（ ）
A． B．
C．D．
5．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·山東泰安·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)），則的大致圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
11．（2023上·上海靜安·高三上海市新中高級中學(xué)校考階段練習(xí)）定義在實數(shù)集R上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時，，則滿足的取值范圍為 .
12．（2023上·上海·高一曹楊二中?？计谀┮阎?，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.若，則正實數(shù)的最大值為 .
四、解答題
13．（2024上·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)
(1)完成下列表格，并在坐標(biāo)系中描點畫出函數(shù)的簡圖；
(2)根據(jù)（1）的結(jié)果，若（），試猜想的值，并證明你的結(jié)論.
14．（2023上·江西新余·高一校考期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，是二次函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點，與軸交于．
(1)求的解析式；
(2)若方程有四個不同的實數(shù)根，求的取值范圍．
B能力提升
1．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高級中學(xué)校聯(lián)考期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有四個不同的零點，，，，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·山東德州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，函數(shù)與有四個交點，橫坐標(biāo)依次為，，，且，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知，若方程有四個不同的解，則的取值范圍是 .
C綜合素養(yǎng)
5．（2019上·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合表示具有下列性質(zhì)的函數(shù)的集合：①的定義域為；②對任意，都有
（1）若函數(shù)，證明是奇函數(shù)；并當(dāng)，，求，的值；
（2）設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）是奇函數(shù)，判斷是否屬于，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若，討論函數(shù)的零點個數(shù).
1
2
4
第07講函數(shù)的圖象 (分層精練）
A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊點法與圖象平移即可得解.
【詳解】因為，所以當(dāng)時，，故排除ABC，
又的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移一個單位得到，則D正確.
故選：D.
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用時的解析式的圖象即可得到選項.
【詳解】令，則，
所以，
，
則在軸右側(cè)為部分拋物線，
對稱軸為，時，或，
且處為空心，，
排除ACD.
故選：B
3．（2024上·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，有時可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征，已知函數(shù)在的大致圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意取特值點分析判斷.
【詳解】由題意可知：，排除CD；，排除B.
故選：A.
4．（2023上·山西呂梁·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖象為（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函數(shù)零點判斷即可.
【詳解】令，得，所以函數(shù)的零點為，又，或，D選項符合
故選：D
5．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的判斷可排除CD，根據(jù)以及時的函數(shù)值的正負，即可排除B.
【詳解】因為，定義域為，
又
，可知為偶函數(shù)，排除CD；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，B不符題意，
故選：A.
6．（2022·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，求得為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合選項，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的定義域為，
且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
故選：C.
7．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程有四個根，且，則下列說法錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，再逐項判斷即可.
【詳解】函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，
當(dāng)時，在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，
當(dāng)時，在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，
方程的根是直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，
方程有四個根，即直線與函數(shù)圖象有4個交點，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，
觀察圖象知，，，AD正確；
顯然，而，則，即，，
，B正確；
顯然，，C錯誤.
故選：C
8．（2024上·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)定義域與特殊值應(yīng)用排除法得到答案.
【詳解】由圖象可知，的定義域為，
對于C，D選項，，定義域為，排除C，D；
對于B選項，，定義域為，
當(dāng)時，，排除B，
對于A，的定義域為，且其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確.
故選：A.
二、多選題
9．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知定義域為的函數(shù)，若對任意的且，有，則稱函數(shù)為“定義域上的凹函數(shù)”．例如，就是上的凹函數(shù)．以下函數(shù)是“定義域上的凹函數(shù)”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】畫出選項ABCD的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象上任意兩點連線的中點都在圖象的上方，逐一驗證即可求解．
【詳解】分別作出ABCD的圖象，如圖
A B
C D
根據(jù)可知定義域上的凹函數(shù)是函數(shù)圖象上任意兩點連線的中點都在圖象的上方,故CD符合，AB不符合，
故選:CD
10．（2023上·山東泰安·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)），則的大致圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合分類討論即可與二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】當(dāng)時，函數(shù)選項符合題意；
當(dāng)時，函數(shù)故選項C符合；
當(dāng)時，函數(shù)故選項B符合.
故選:BCD.
三、填空題
11．（2023上·上海靜安·高三上海市新中高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義在實數(shù)集R上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時，，則滿足的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意得周期為4，關(guān)于對稱，作出函數(shù)在上圖象，結(jié)合周期性得出答案.
【詳解】由，可得函數(shù)周期為4，當(dāng)時，，又得關(guān)于對稱，
作出函數(shù)在上圖象，
由圖像可得，在上滿足的取值范圍是，又函數(shù)周期為4，
所以函數(shù)滿足的取值范圍是.
故答案為：.
12．（2023上·上?！じ咭徊軛疃行？计谀┮阎?，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.若，則正實數(shù)的最大值為 .
【答案】
【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)時，取得最小值，最小值為，并得到，從而得到不等式，求解解集，得到答案.
【詳解】畫出的圖象如下：
故，
由圖象可知，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，
此時，，
則①，
故只需要②，
將①代入②得，
化簡得，解得，
故正實數(shù)的最大值為.
故答案為：
四、解答題
13．（2024上·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)
(1)完成下列表格，并在坐標(biāo)系中描點畫出函數(shù)的簡圖；
(2)根據(jù)（1）的結(jié)果，若（），試猜想的值，并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)答案見解析
(2)，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)列表描點連線即可求解函數(shù)圖象，
（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）完成下列表格；

（2）猜想，證明如下：
∵，∴，
∴或，
∵，∴，
即，∴，∴.
14．（2023上·江西新余·高一?？计谥校┮阎嵌x在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，是二次函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點，與軸交于．
(1)求的解析式；
(2)若方程有四個不同的實數(shù)根，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時，由二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點，求出解析式，由是偶函數(shù)，求出時解析式，可得的解析式；
（2）問題等價于函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象有四個不同的交點，作出函數(shù)圖象，列不等式求的取值范圍．
【詳解】（1）當(dāng)時，是二次函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點，
由題意可設(shè)，由，得，即，
所以．
又是偶函數(shù)，
當(dāng)時，，則，
所以.
（2）依題意有四個不同的實數(shù)根，
即與在同一坐標(biāo)系中的圖象有四個不同的交點．
作出函數(shù)的圖象，如圖所示，函數(shù)，
由圖可知只需滿足條件，
解得，
即實數(shù)a的取值范圍是.
B能力提升
1．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高級中學(xué)校聯(lián)考期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題意方程有兩個不同的解，利用韋達定理得，則轉(zhuǎn)化為求的范圍即可.
【詳解】，作出函數(shù)圖象如圖：

因為函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點，所以或，
且方程即有兩個不同的解.
故，所以，
因為或，所以或，
所以.
故選：B
2．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有四個不同的零點，，，，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題意可得函數(shù)與有四個不同的交點，作出函數(shù)與的圖象如圖所示，然后結(jié)合圖象逐個分析判斷即可.
【詳解】因為函數(shù)有四個不同的零點，
所以有四個不同的解，即函數(shù)與有四個不同的交點，
作出函數(shù)與的圖象如圖所示：
又時，，由圖象可得，故B不正確，
由，得或，所以由圖象可得，故A正確；
由圖象可得，所以，即，
即，所以，故C錯誤；
又，關(guān)于對稱，故，故D錯誤，
故選：A.
關(guān)鍵點點睛：此題考查對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有四個不同的交點，然后作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分析判斷，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.
3．（2024上·山東德州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，函數(shù)與有四個交點，橫坐標(biāo)依次為，，，且，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到，，，變形后得到，求出值域.
【詳解】畫出的圖象如下：
由題意得，，
令得，或4，故，
其中，
故，
，所以.
故選：D
【點睛】方法點睛：函數(shù)零點問題，將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進行解決.
（1）若函數(shù)，證明是奇函數(shù)；并當(dāng)，，求，的值；
（2）設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）是奇函數(shù)，判斷是否屬于，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若，討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】（1）見解析，，
（2），證明見解析
（3）或時，3個零點；或時，1個零點；時，5個零點.
【分析】（1）利用賦值法和奇函數(shù)的定義證明函數(shù)是奇函數(shù)，由題得的方程組，解方程組即得解；（2）先求出a的值，再利用的定義證明；（3）令h(x)=t,則h(t)=2，再分類討論數(shù)形結(jié)合分析得解.
【詳解】（1）令得.
令，，所以函數(shù)是奇函數(shù).
,
解上面關(guān)于的方程組得，.
（2）因為函數(shù)（a為常數(shù)）是奇函數(shù)，
所以.滿足函數(shù)g(x)是奇函數(shù).
設(shè)，所以，
因為，
所以.
（3）令.
令h(x)=t,則h(t)=2，
所以函數(shù)
當(dāng)k=0時，，則，此時只有一個解，一個零點；
當(dāng)時，只有一個，對應(yīng)三個零點；
當(dāng)時，，此時，
，
所以在，，三個t各對應(yīng)一個零點，共三個零點；
當(dāng)，，三個t各對應(yīng)一個，一個，三個零點，共五個零點；
當(dāng)時，h(t)=2只有一個解，，對應(yīng)一個零點.
綜合得或時，3個零點；或時，1個零點；時，5個零點.
【點睛】本題主要考查新定義，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于難題.
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