第37講平面向量的應用-2024年高考數(shù)學一輪復習精品導學案（新高考）（解析版）-學案下載-教習網

第37講平面向量的應用1、向量在平面幾何中的應用(1)證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時也用到向量減法的定義．(2)證明線段平行，三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運用向量平行(共線)的條件，a∥b?＝?x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．(3)證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．(4)求夾角問題：利用夾角公式cosθ＝＝.(5)用向量方法解決幾何問題的步驟：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；③把運算結果“翻譯”成幾何關系．2、向量在解析幾何中的應用(1)直線的傾斜角、斜率與平行于該直線的向量之間的關系．設直線l的傾斜角為α，斜率為k，向量a＝(a1，a2)平行于l，則k＝tanα＝；如果已知直線的斜率為k＝，則向量(a1，a2)與向量(1，k)一定都與l平行．(2)與a＝(a1，a2)平行且過P(x0，y0)的直線方程為y－y0＝(x－x0)，過點P(x0，y0)且與向量a＝(a1，a2)垂直的直線方程為y－y0＝－(x－x0)．1、（2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷））設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（）A. 1 B. 2 C. 4 D. 5【答案】B【解析】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.2、（2023年高考數(shù)學真題完全解讀（新高考I卷））已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為________．【答案】/ 【解析】方法一：依題意，設，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.1、已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的(　　)A．內心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】C　【解析】由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根據(jù)平行四邊形法則，知＋＝2(D為BC的中點)，所以點P的軌跡必過△ABC的重心．故選C.2、在△ABC中，(＋)·＝||2，則△ABC的形狀一定是________三角形．( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 等邊　 B. 等腰　 C. 直角　 D. 等腰直角【答案】C.【解析】　由(＋)·＝|AC|2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.又根據(jù)已知條件不能得到||＝||，故△ABC一定是直角三角形．3、若O為△ABC所在平面內的任意一點，且滿足（－）·（＋－2）＝0，則△ABC的形狀為(　　)A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等邊三角形 D. 等腰直角三角形【答案】 A【解析】由（－）·（＋－2）＝0，得·（＋）＝0，即（－）·（＋）＝0，所以||＝||，所以△ABC是等腰三角形．4、已知菱形ABCD的邊長為6，∠ABD＝30°，點E，F分別在邊BC，DC上，且BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，則λ的值為(　　)A. 2 B. 3C. 4 D. 5【答案】 B【解析】依題意，得＝＋＝－，＝＋＝＋，所以·＝·＝||2－||2＋·＝（－）×62＋×62×cos 60°＝－9，解得λ＝3.考向一　平面向量在平面幾何中的應用例1、（1）已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的______心．（2）等腰直角三角形中，，，點是斜邊上一點，且，那么（）A． B． C．2 D．4（3）已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，點E，F分別在邊AD，DC上，＝(＋)，＝，則·＝________.【答案】：1．重心 2．D　3．【解析】1．由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根據(jù)平行四邊形法則，知＋是△ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應向量的2倍，所以點P的軌跡必過△ABC的重心．2．由題意得：.3．法一　如圖，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋，所以·＝＝·＋2＋2＝×2×2×cos 120°＋＋＝1解得λ＝2．變式1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如圖，正六邊形的邊長為2，動點從頂點出發(fā)，沿正六邊形的邊逆時針運動到頂點，若的最大值和最小值分別是，，則（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解析】解：連接，在正六邊形中，，∴，∵正六邊形的邊長為2，∴，因為當在上運動時，與均逐漸增大，當從移動到時，與均逐漸減小，所以當在上運動時，取得最大值，為，當移動到點時，取得最小值，為0． ∴，，∴．故選：D. 變式2、如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.【解析】如圖，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為2，則點A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，所以＝(2，1)，＝(1，－2)，所以·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE. 方法總結：利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題1、若證明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個向量的垂直關系，求解相關參數(shù)的值根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數(shù)考向二平面向量與三角綜合例2、已知a＝(cos x，2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，f(x)＝a·b.(1) 將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)的單調增區(qū)間；(2) 當a≠0，a與b共線時，求f(x)的值．【解析】 (1) 因為f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinx cos x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin （2x＋）＋1，所以g(x)＝sin ＋1＝sin （2x－）＋1.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)g(x)的單調增區(qū)間為[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.(2) 因為a≠0，a與b共線，所以cos x≠0，所以sin x cos x－4cos2x＝0，所以tanx＝4，所以f(x)＝2 cos2x＋2sinx cos x＝＝＝.變式1、本題中，求|a－b|的最大值．【解析】|a－b|＝＝＝＝，所以|a－b|max＝＋1.變式2、（2022·河北深州市中學高三期末）的內角，，的對邊分別為，，.已知向量，，且.（1）求；（2）若，且，求的周長.【解析】解：（1）根據(jù)題意，可得，化簡整理得，即.因為，所以，又，則.（2）由（1）知，則.又因為，所以，故，因此.因為，所以，故的周長為.方法總結：(1)以向量為載體考查三角函數(shù)的綜合應用題目，通過向量的坐標運算構建出三角函數(shù)，然后再考查有關三角函數(shù)的最值、單調性、周期性等三角函數(shù)性質問題，有時還加入參數(shù)，考查分類討論的思想方法．(2)向量與三角函數(shù)結合時，通常以向量為表現(xiàn)形式，實現(xiàn)三角函數(shù)問題，所以要靈活運用三角函數(shù)中的相關方法與技巧求解．(3)注意向量夾角與三角形內角的區(qū)別與聯(lián)系，避免出現(xiàn)將內角等同于向量夾角的錯誤．考向三平面向量與解析幾何例3　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三點共線，當k<0時，若k為直線的斜率，則過點(2，－1)的直線方程為________________．(2)若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為________．【答案】（1）2x＋y－3＝0.（2）6.【解析】(1)∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，且∥，∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0可知k＝－2，則過點(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.(2)由題意，得F(－1,0)，設P(x0，y0)，則有＋＝1，解得y＝3，因為＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，對應的拋物線的對稱軸方程為x0＝－2，因為－2≤x0≤2，故當x0＝2時，·取得最大值＋2＋3＝6.變式1、（2022·江蘇通州·高三期末）（多選題）已知點A(4，3)在以原點O為圓心的圓上，B，C為該圓上的兩點，滿足，則（）A．直線BC的斜率為 B．∠AOC＝60°C．△ABC的面積為 D．B、C兩點在同一象限【答案】ABD【解析】，則平行且相等，，A正確；而，所以是菱形，且都是正三角形，即，B正確，，，C錯誤，設的傾斜角為，由且，若直線在直線上方，則，，均在第二象限，若直線在直線下方，由于，，因此點在第四象限，則（取較小角），在第四象限，綜上，在同一象限，D正確．故選：ABD．方法總結：向量在解析幾何中的作用：(1)載體作用，向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題關鍵是利用向量的意義、運算，脫去“向量外衣”；(2)工具作用，對于解析幾何中出現(xiàn)的垂直可轉化為向量數(shù)量積等于0，對于共線的線段長度乘積可轉化為向量的數(shù)量積等． 1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，為的重心，若，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，則有又在中，，為的重心，則為等邊三角形.則解之得，則外接圓的半徑為故選：C2、（2022·江蘇揚州·高三期末）如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，設初始正方形ABCD的邊長為，則＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】解：由題意可知，，故選：B．3、（2022·江蘇無錫·高三期末）已知點在圓上，點的坐標為，為坐標原點，則的最小值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，，所以（其中），故選：B.4、（2022·廣東羅湖·高三期末）（多選題）已知點O是邊長為1的正方形ABCD的中心，則下列結論正確的為（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】通過向量加法的平行四邊形法則可知，，選項A正確；，選項B錯誤；與方向不同，選項C錯誤；延長到,使,通過向量減法的三角形法則可知,在中，，，選項D正確.故選：AD.5、（2022·江蘇蘇州·高三期末）（多選題）折紙發(fā)源于中國．世紀，折紙傳入歐洲，與自然科學結合在一起成為建筑學院的教具，并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學的一個分支．我國傳統(tǒng)的一種手工折紙風車（如圖）是從正方形紙片的一個直角頂點開始，沿對角線部分剪開成兩個角，將其中一個角折疊使其頂點仍落在該對角線上，同樣操作其余三個直角制作而成的，其平面圖如圖，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】
，則與不平行，A錯．設，，B對．，C對，D對，故選:BCD．

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