一、單選題
1．（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若在直線上存在點(diǎn)P滿足，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，的半徑為5，弦的長(zhǎng)為6，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得點(diǎn)為的中點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接、，則的最大值為（ ）

A．290B．272C．252D．244
3．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，為的直徑，點(diǎn)M為半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)P為另一半圓上一點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)I為的內(nèi)心，于N，下列結(jié)論：
①；②；③；④．正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
4．（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E、F分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，將矩形沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，點(diǎn)D落在H處．在點(diǎn)E從A移動(dòng)到中點(diǎn)P的過(guò)程中，線段的最大值（ ）
A．B．4C．D．
5．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿向終點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，在這個(gè)移動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為4的與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，D，連接BC，已知x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，則面積的最小值為（ ）
A．B．C．12D．16
7．（23-24九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作，為垂足，以為邊作正方形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則長(zhǎng)的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
8．（24-25九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）在中，直徑，是圓上除外的一點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，是弦DE的中點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
9．（24-25九年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，已知中，，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CE為直徑作，連接交于點(diǎn)，則AD的最小值 ．
10．（24-25九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)在以斜邊為直徑的圓上，為的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)沿圓從點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是 ．
11．（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，中，，，，D是上一點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，，若以為直徑的圓交于M、N點(diǎn)，則的最大值為 ．
12．（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中心與半徑為2的的圓心重合，E、F分別是的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是 ．
13．（23-24九年級(jí)上·江蘇常州·期中）定義：有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個(gè)圓叫做三角形的“等弦圓”．如圖，中，，，當(dāng)?shù)牡认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為 ．
14．（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，，點(diǎn)，在邊上，，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，若使點(diǎn)，，構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則的值是 ．
三、解答題
15．（23-24九年級(jí)上·江蘇淮安·期中）如圖，的圓心在格點(diǎn)上，點(diǎn)、、均在圓上，是和網(wǎng)格線的交點(diǎn)．
(1)在圖1中，在格點(diǎn)上找一點(diǎn)，使得為的切線（畫(huà)出一個(gè)點(diǎn)即可）
(2)在圖2中，在優(yōu)弧上畫(huà)點(diǎn)，使得
(3)在圖3中，在優(yōu)弧上畫(huà)點(diǎn)，使得
16．（23-24九年級(jí)上·江蘇淮安·期中）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)為上的一動(dòng)點(diǎn)，且在上方（點(diǎn)不與點(diǎn)A，重合），．
(1)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)連接，求證：；
(3)若關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)圖形為，連接，試探究，，三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
17．（24-25九年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（1）【學(xué)習(xí)心得】
小劉同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．
例如：如圖1，在中，，，是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)為圓心，為半徑作輔助，則點(diǎn)必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到________．
（2）【問(wèn)題解決】
如圖2，在四邊形中，，，求的度數(shù)．
（3）【問(wèn)題拓展】
如圖3，如圖，是正方形的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足．連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若正方形的邊長(zhǎng)為4，則線段長(zhǎng)度的最小值是_________．
18．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）【學(xué)習(xí)心得】
小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加軸助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．
例如：如圖1，在中，，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作輔助圓，則C、D兩點(diǎn)必在上，是的圓心角，是的圓周角．則．
(1)如圖2，在四邊形中，，，則 ；
(2)如圖3，已知線段和直線l，用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點(diǎn)P，使得（不寫(xiě)作法保留作圖痕跡）；
(3)①如圖4①，已知矩形，，，M為邊上的點(diǎn)，若滿足的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則m的取值范圍為 ；
②如圖4②，在中，，是邊上的高，且，，求的長(zhǎng)．
19．（24-25九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）【模型建立】
如圖①、②，點(diǎn)P分別在圓O外、在圓O內(nèi)，直線分別交圓O于點(diǎn)A，B，則是點(diǎn)P到圓O上的點(diǎn)的最短距離，是點(diǎn)P到圓O上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離．

【問(wèn)題解決】
(1)請(qǐng)就圖①中為何最長(zhǎng)進(jìn)行證明．
(2)已知點(diǎn)P到圓O上的點(diǎn)的最短距離為3，最長(zhǎng)距離為7．則圓O的半徑為_(kāi)_____．
(3)如圖③，在中，，，．點(diǎn)E在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)P在半徑為2的圓E上，則的最小值是______．
(4)如圖④，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)B在以為圓心，為半徑的圓上，的中點(diǎn)為C，則線段的最大值為_(kāi)_____．
(5)如圖⑤，正方形中，點(diǎn)M，N分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，，交于E，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，．若，則的最小值為_(kāi)_____．
20．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，形如三角板的中，厘米，形如量角器的半圓的直徑在直線上，且厘米，點(diǎn)在三角形的左側(cè)，厘米．若半圓沿方向以每秒2厘米的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)當(dāng)______時(shí)，半圓與直線相切；
(2)當(dāng)時(shí)，試判斷直線與半圓的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
(3)當(dāng)時(shí)，求半圓與三角形重合部分的面積．
21．（24-25九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合），同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)C移動(dòng)（點(diǎn)Q可以與點(diǎn)B重合），其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)如圖1，幾秒后，的面積等于？
(2)如圖2，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若以P為圓心、為半徑的與相切，求t值；
(3)若以Q為圓心，為半徑作⊙Q．如圖3，若與四邊形的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，則t的取值范圍為 ．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)理）
22．（24-25九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）問(wèn)題提出
如圖①，、是的兩條弦，，是的中點(diǎn)，，垂足為，求證：．
小敏在解答此題時(shí)，利用了“補(bǔ)短法”進(jìn)行證明，她的方法如下：
如圖②，延長(zhǎng)至，使，連接、、、、．
（請(qǐng)你在下面的空白處完成小敏的證明過(guò)程．）
推廣運(yùn)用
如圖③，等邊內(nèi)接于，，是上一點(diǎn)，，，垂足為，則的周長(zhǎng)是 ．
拓展研究
如圖④，若將“問(wèn)題提出”中“是的中點(diǎn)”改成“是的中點(diǎn)”，其余條件不變，“”這一結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，寫(xiě)出、、三者之間存在的關(guān)系并說(shuō)明理由．
23．（23-24九年級(jí)上·江蘇徐州·期中）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在探究等分問(wèn)題的過(guò)程中，得到了很多成果．
成果一：制作了三分角儀．圖（1）是示意圖，點(diǎn)B在半徑延長(zhǎng)線上，，，足夠長(zhǎng)．若要將三等分，只需要適當(dāng)放置三分角儀，使點(diǎn)A在上，點(diǎn)B落在上，當(dāng)與半相切時(shí)，就將三等分了；
成果二：創(chuàng)造了只用圓規(guī)將圓四等分的方法．如圖（2），具體步驟為：①將六等分，等分點(diǎn)分別是點(diǎn)A、B、C、D、E、F；②分別以點(diǎn)A、D為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)G；③以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)A、M、D、N將四等分．
(1)請(qǐng)你說(shuō)明三分角儀的正確性；
(2)證明點(diǎn)A、M、D、N是⊙O四等分點(diǎn)．
24．（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知的半徑弦于點(diǎn)D，，點(diǎn)P為弦所對(duì)的弧上的一點(diǎn)．

(1)如圖1，若點(diǎn)P為弦所對(duì)的劣弧上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，且，則________，________；
(2)如圖2，若點(diǎn)P為弦所對(duì)的優(yōu)弧上的一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，且，過(guò)點(diǎn)P作的切線，交的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，已知，求的長(zhǎng)．
25．（23-24九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在中，是的直徑；與相切于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．
(1)求證：是的切線；
(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，
①圖中陰影部分面積是______；
②連接，若的內(nèi)切圓圓心為，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
26．（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）閱讀理解：
（1）【學(xué)習(xí)心得】
學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，有一些幾何問(wèn)題，如果添加輔助圓，可以使問(wèn)題變得容易．我們把這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為“化隱圓為顯圓”．這類(lèi)題目主要是兩種類(lèi)型．

①類(lèi)型一，“定點(diǎn)+定長(zhǎng)”：如圖1，在中，，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．
解：若以點(diǎn)A（定點(diǎn)）為圓心，（定長(zhǎng)）為半徑作輔助圓，（請(qǐng)你在圖1上畫(huà)圓）則點(diǎn)C、D必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到 °．
②類(lèi)型二，“定角+定弦”：如圖，中，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求線段長(zhǎng)的最小值．
解：∵，
∴，∵，∴，
∴ ，（定角）
∴點(diǎn)P在以（定弦）為直徑的上，請(qǐng)完成后面的過(guò)程．
（2）【問(wèn)題解決】
如圖3，在矩形中，已知，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，則線段的最小值為 ．
（3）【問(wèn)題拓展】
如圖4，在正方形中，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上移動(dòng)，且滿足．連接和，交于點(diǎn)P．
①請(qǐng)你寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②點(diǎn)E從點(diǎn)D開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．
27．（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊落在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊與軸交于點(diǎn)．
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在軸上取點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．
①當(dāng)時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式；
②當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
28．（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）【特例感知】
（1）如圖1，是的圓周角，為直徑，平分交于點(diǎn)D，，若，則 ， ．
【類(lèi)比遷移】
（2）如圖2，是的圓周角，為的弦，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【問(wèn)題解決】
（3）如圖3，是的圓周角，為的弦，平分交于點(diǎn)D，若，，，則的內(nèi)心與外心之間的距離為_(kāi)_____．
29．（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·期中）【數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)】數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，在初中幾何學(xué)習(xí)的歷程中，常常把角與角的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊與邊的數(shù)量關(guān)系，把邊與邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為角與角的數(shù)量關(guān)系．
【構(gòu)造模型】
（1）如圖①，已知，在直線上用直尺與圓規(guī)作點(diǎn)，使得：．（簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖方法，并保留作圖痕跡）
【應(yīng)用模型】
已知是的內(nèi)接三角形．
（2）如圖②，若的半徑，，求的最大值并說(shuō)明理由．
（3）如圖③，已知線段，為的弦，用直尺與圓規(guī)作點(diǎn)，使．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
30．（23-24九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【提出問(wèn)題】如圖1，直線是足球場(chǎng)底線，是球門(mén)，點(diǎn)是射門(mén)點(diǎn)，連接，則叫做射門(mén)角．如圖2，在足球比賽場(chǎng)上，甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷T(mén)進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到點(diǎn)時(shí)，乙跟隨沖到點(diǎn)，僅從射門(mén)角度大小考慮（射門(mén)角越大，足球越容易被踢進(jìn)），甲是自己射門(mén)好，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門(mén)好，利用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明理由．
【經(jīng)驗(yàn)感知】如圖3，若球員在直線上跑動(dòng)，隨時(shí)準(zhǔn)備射門(mén)，是否存在某一點(diǎn)，使得射門(mén)角最大．人們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)時(shí)，最大，并稱(chēng)此時(shí)的為最大射門(mén)角．如圖4，為球門(mén)，直線是足球場(chǎng)的底線，直線，垂足為，若，球員丙帶球沿直線向底線方向運(yùn)球，已知丙運(yùn)球過(guò)程中的最大射門(mén)角是．
（1）尺規(guī)作圖：作經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)并且與直線相切于點(diǎn)的（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）求出最大射門(mén)角的度數(shù)．
【理解應(yīng)用】
（1）如圖5，正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，為球門(mén)，球員丁帶球沿方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在（ ）
A．點(diǎn) B．點(diǎn)或點(diǎn) C．線段（異于端點(diǎn)）上一點(diǎn) D．線段（異于端點(diǎn)）上一點(diǎn)
（2）如圖6，矩形是足球場(chǎng)的示意圖，其中寬，球門(mén)，且．點(diǎn)分別是上的點(diǎn)，，一位左前鋒球員戊從點(diǎn)處帶球，沿方向跑動(dòng)，球員戊在上何處才能使射門(mén)角（）最大，直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)度．
31．（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）【特例感知】

（1）如圖①，是的直徑，是的圓周角，平分交于點(diǎn)D，連接．已知，，則的度數(shù)為 ，點(diǎn)D到直線的距離為 ；
【類(lèi)比遷移】
（2）如圖②，是的圓周角，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為M，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【問(wèn)題解決】
（3）圖③，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，平分，，求線段的長(zhǎng)．
32．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖1，點(diǎn)是直徑上一點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作弦，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，連接．

(1)求的長(zhǎng)．
(2)如圖，連接，作的角平分線交于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值．
(3)如圖，過(guò)點(diǎn)作于，連接，求的最小值．
33．（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知，如圖1，P是內(nèi)的一點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)A，B，易得是點(diǎn)P到上的點(diǎn)的距離的最大值．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，以為半徑在x軸的上方作半圓O，交x正半軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C是該半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，并延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使．
(1)連接，直接寫(xiě)出的最大值為_(kāi)____；
(2)如圖3，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，分別交x軸、直線AC于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足．
①若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，求線段的長(zhǎng)；
②若將點(diǎn)C從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，則線段（包含起點(diǎn)處）掃過(guò)的區(qū)域的面積為_(kāi)__．
34．（23-24九年級(jí)上·江蘇南通·期中）（1）如圖1，在足球比賽場(chǎng)上，甲帶球奔向?qū)Ψ角蜷T(mén)，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同伴乙已沖到B點(diǎn)，甲是自己射門(mén)好，還是將球傳給乙，讓乙射門(mén)好？
對(duì)上面這個(gè)問(wèn)題，小明結(jié)合圖1判斷甲的視角小于乙的視角，根據(jù)“僅從射門(mén)角度考慮，球員對(duì)球門(mén)的視角越大，足球越容易被踢進(jìn)”的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為甲應(yīng)該將球傳給乙．請(qǐng)結(jié)合圖1給出小明得到的理由；
（2）德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題，并得到這樣的結(jié)論：如圖2，點(diǎn)A，B是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，C是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與l相切于點(diǎn)C時(shí)，最大．
如圖3，，點(diǎn)A，B是邊上兩點(diǎn)，，點(diǎn)C是邊上一動(dòng)點(diǎn)．
①若最大為，請(qǐng)求出當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)；
②若最大不超過(guò)，直接寫(xiě)出的取值范圍．

35．（23-24九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）伽利略曾說(shuō)：“圓是最完美的圖形”，一些問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單．
【初步運(yùn)用】
（1）如圖1，四邊形中，，求的度數(shù)．
請(qǐng)完成思路分析：如圖2 ，由知在以為圓心以為半徑的圓上，由∠BAC=80° ，可得 ；（本題直接填寫(xiě)答案，不用寫(xiě)出解答過(guò)程）
【方法遷移】
（2）如圖，已知線段和直線，用直尺和圓規(guī)在上作出所有的點(diǎn)，使得（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
【問(wèn)題拓展】
（3）①如圖，已知矩形，，，為邊上的點(diǎn)．若滿足的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則的取值范圍為 ．
②如圖，在中，，AD是BC邊上的高，且，，求的長(zhǎng)．
參考答案：
1．A
【詳解】解：如圖，作等腰直角三角形，

，，
，，
E在y軸上，
當(dāng)E在上方時(shí)，以E為圓心，為半徑作圓，此時(shí)上存在點(diǎn)滿足，
設(shè)直線與相切，切點(diǎn)為P，此時(shí)m的值最大，
設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，
連接，則，直線，
，是等腰直角三角形，
， ，
，
由直線可知，
，
，
，
當(dāng)E在下方時(shí)，同理得，

m的取值范圍是，
故選：A．
2．B
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N，連接，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
，
，
，
，
，
當(dāng)最大時(shí)，最大，
在中，
，
當(dāng)最大時(shí)，最大，
的半徑為5，
弦最長(zhǎng)等于直徑是10，
，
．
故選：B．
3．C
【詳解】解：如圖，連接，，，，
∵點(diǎn)M為半圓的中點(diǎn)，
∴，
∴，故①符合題意；
∵點(diǎn)M為半圓的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，，
∴，，
設(shè)，點(diǎn)I為的內(nèi)心，
∴，，，
∴，
∴，
∴，故②符合題意；
∴，
當(dāng)時(shí)，
，
解得：，
∴，
∵為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴不一定為，
∴錯(cuò)誤，故③不符合題意；
過(guò)作于，作于，而為內(nèi)心，
∴，，，，四邊形為正方形，
∴，
∴，
∴，
由，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴三點(diǎn)共線，為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．故④符合題意；
故選C
4．C
【詳解】解：連接與交于點(diǎn)O，連接
∵四邊形是矩形，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴點(diǎn)O為的中點(diǎn)，
連接則與交于點(diǎn)O，
由折疊得，
又
∴，
∴
又，
∴
∴G在以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，E在A處時(shí)，G與C重合，E在P處時(shí)，G與B重合，
∴G的運(yùn)動(dòng)軌跡為，
∴連接并延長(zhǎng)，交于時(shí)，最大，
當(dāng)共線時(shí)，即G與重合時(shí)，最大，
∴，
∵P為的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，
∵，
∴,
即的最大值為，
故選：C
5．D
【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖所示：
，
，
在與中，
，
，
，，共線，
，是中點(diǎn)，
在中，，則，
的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓弧，則
當(dāng)與重合時(shí)，；當(dāng)與重合時(shí)，與重合；
走過(guò)的路程為，
故選：D．
6．B
【詳解】解：連接，
∵，
∴，
∵為直徑，
∴，
由題意知，點(diǎn)M在以A為圓心，2為半徑的上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)M點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M到
的距離最短為，
∴ △BCM面積的最小值為∶
，
故選：B．
7．C
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，
∵正方形，正方形，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的上，
當(dāng)時(shí)，最大，
∵
∴,
∴的最大值為．
故選C．
8．
【詳解】解：如圖，連接，，
∵分別是的中點(diǎn)，
∴，，
∴，，
∵AB是直徑，
∴，
即，
∴，
∵直徑，
∴，
∴，
∵是DE的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
9．
【詳解】解：連接，
∵CE為直徑作，
∴，
∴，
∵，
∴動(dòng)點(diǎn)在以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵，
當(dāng)在一直線上時(shí)，AD的值最小，
∵，，，
∴，
∴，
即AD的最小值為，
故答案為：．
10．
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，
為的中點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為，連接，當(dāng)、、共線時(shí)，最小，
在等腰直角三角形中，，
，
，
，
，，
，
，
的最小值是，
故答案為：．
11．
【詳解】如圖，連接，作于H，于K，
，
，
，
，
，
欲求的最大值，只要求出的最小值即可，
，
點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，為半徑的圓，
在中，，，
，
，
，
當(dāng)C、O、H共線，且與重合時(shí)，的值最小，
的最小值為，
的最小值為，
故答案為：．
12．
【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)交⊙O于M，N，連接，過(guò)點(diǎn)O作于H．
在中，,
∵，
∴
∴，
∴圖中陰影部分的面積．
故答案為．
13．/
【詳解】解：如圖所示：
∵圓與三角形的三條邊都有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，
∴圓心O就是三角形的內(nèi)心，
∴當(dāng)過(guò)C時(shí)，且在等腰直角三角形的三邊上截得的弦相等，此時(shí)最大，
過(guò)點(diǎn)O分別作弦的垂線，垂足分別為P、N、M，
∵，
∴，
∵，，
∴,
∵，
∴
設(shè)，則，
∴，解得，即，
在中， ．
故答案為：．
14．或或
【詳解】如圖1中，當(dāng)是等邊三角形時(shí)滿足條件，作于．
在中，．
∵，
∴．
∴．
如圖2中，當(dāng)與相切于，時(shí)，，此時(shí)滿足條件．
如圖中，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)滿足條件．
如圖4中，當(dāng)與相切于時(shí)，．
觀察圖3和圖4可知：當(dāng)時(shí)，滿足條件．
綜上所述，滿足條件的的值為：或或．
故答案為：或或．
15．(1)見(jiàn)解析；
(2)見(jiàn)解析；
(3)見(jiàn)解析．
【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)，
如圖，連接、，

∵
∴，
∴AD是的切線；
（2）解：如圖，點(diǎn)即為所求，

連接、、BM，交BM于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∴，
∴；

（3）解：點(diǎn)F為所求，

連接BM、、CF，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．

16．(1)為等腰直角三角形
(2)證明見(jiàn)解析
(3)，證明見(jiàn)解
【詳解】（1）解：，
∴
又，
，
又是該外接圓的直徑
，
為等腰直角三角形
（2）解：如圖：作，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，
為等腰直角三角形，
，
由勾股定理可知，
，
由（1）可知為等腰直角三角形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
（3）解：，證明如下：
如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
，
為等腰直角三角形
由勾股定理可求得：，
又，
又，
，即，
為直徑，
，
在Rt中，有，
．
17．（1）；（2）；（3）
【詳解】解：（1）如圖1，
，，
以點(diǎn)為圓心，點(diǎn)、、必在上，
是的圓心角，而是圓周角，
，
故答案是：；
（2）如圖2，取BD的中點(diǎn)，連接、．
，
點(diǎn)、、、共圓，
，
，
，
（3）如圖3，在正方形中，，，，
在和中，
，
（），
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
取AB的中點(diǎn)，連接、，
則，
在中，，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，＞，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最小，
最小值-2．
故答案為：．
18．(1)25
(2)圖見(jiàn)解析
(3)①②
【詳解】（1）解：如圖，取的中點(diǎn)，連接、．
，
，，
，
點(diǎn)、、、共圓，
，
，
．
故答案為：25；
（2）作圖如下：
由圖知，；同理．
（3）①．理由如下：
在上截取，連接，以為直徑作，交于，交于，連接，過(guò)圓心作于且交圓于，過(guò)作的切線交于交于，如圖所示：
，
，
的半徑為，即，
∵，
，
，
，
，
，即，
故答案為：；
②如圖，作的外接圓，過(guò)圓心作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接、、，則四邊形是矩形，
∴．
，
．
在中，，
．
，為圓心，
，
．
在中，，，
．
在中，，，
，
．
19．(1)見(jiàn)解析
(2)2或5
(3)
(4)
(5)
【詳解】（1）證明：如圖，點(diǎn)C為上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接，，

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B不重合時(shí)，
∵在中，，
又∵，
∴，即，
∴的長(zhǎng)是點(diǎn)P到上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離．
（2）解：若點(diǎn)P在外，如圖①，

則，，
∴，
∴的半徑為2；
若點(diǎn)P在內(nèi)，如圖②，
則，，
∴，
∴的半徑為5；
綜上所述，的半徑為2或5．
故答案為：2或5；
（3）解：連接，交于點(diǎn)D，由[模型建立]可得的長(zhǎng)是點(diǎn)A到上的點(diǎn)的最短距離，
∴的最小值是的長(zhǎng)，

∵在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值是；
（4）解：取點(diǎn)，連接，
∵，，
∴點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，
∴，
∴當(dāng)線段取得最大值時(shí)，線段也取得最大值，

連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)時(shí)，線段有最大值，
∵，，
∴，
∵的半徑為，即，
∴，
∴線段有最大值為，
∴線段的最大值為．
故答案為：
（5）解：∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)E在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)；
如圖所示，取的中點(diǎn)O，作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接，
∴，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為的長(zhǎng)，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，
∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．

20．(1)或
(2)相切，見(jiàn)解析
(3)
【詳解】（1）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)剛到點(diǎn)時(shí)，，
如圖，當(dāng)點(diǎn)剛到點(diǎn)時(shí)，，
故答案為：或；
（2）相切，理由如下：
解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，
，
，
，，
當(dāng)時(shí)，直線與半圓相切；
（3）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)重合，
如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，連接，
，
，，
扇形的面積為，
根據(jù)勾股定理，可得，
，
，
半圓與三角形重合部分的面積為．
21．(1)2秒或4秒
(2)
(3)
【詳解】（1）解：由題意知，，，則，
∵
∴，
解得或，
故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒或4秒時(shí)，的面積為；
（2）解：如圖1，設(shè)切點(diǎn)為，連接．
∵，
∴與相切，
∴分別與，相切，
∴．
∵與相切，
∴，
在中，依據(jù)勾股定理可得．
∴．
∵，
∴，．
在中，依據(jù)勾股定理可得，，
解得；
（3）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，如圖4所示：
與四邊形有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（Ⅱ）如圖5所示：
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，與四邊形有兩個(gè)公共點(diǎn)，則，
得方程，
解得： （舍），，
∴當(dāng)，與四邊形有三個(gè)公共點(diǎn)．
故答案為：．
22．問(wèn)題提出：見(jiàn)解析；推廣運(yùn)用：；拓展研究：不成立，、、三者之間的關(guān)系為：，見(jiàn)解析
【詳解】問(wèn)題提出：證明：如圖2，延長(zhǎng)至，使，連接、、、、，
是的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
，
；
推廣運(yùn)用：解：如圖3，截取，連接，，，
由題意可得：，，
在和中
，
，
，
，
，則，
，
，
則的周長(zhǎng)是，
故答案為：；
拓展研究：不成立，、、三者之間的關(guān)系：，
證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，交于，
是的中點(diǎn)，
，
在和中，，
，，
，，
，
，
．
23．(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【詳解】（1）證明：∵，，即垂直平分，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴為的切線，
∵與半相切，
∴平分，
∴，
即就將三等分；
（2）解：如圖（2），連接，設(shè)的半徑為，
∵點(diǎn)A、B、C、D、E、F是六等分，
∴弧為半圓，，
∴為直徑，
∴，
∴，
由作法得，，
∴，
在中，，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴M點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，
同理可得N點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)A、M、D、N是⊙O四等分點(diǎn)．
24．(1)、
(2)
【詳解】（1）解：如圖1，連接，則，

∴，
∵于點(diǎn)D，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：30，45；
（2）解：如圖2，連接，則，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵與相切于點(diǎn)P，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴PE的長(zhǎng)是
25．(1)見(jiàn)解析
(2)①；②
【詳解】（1）證明：連接?，
點(diǎn)在上，
為半徑．
與相切于點(diǎn)，
．
．
在和中，
，
．
．
．
是的切線．
（2）①作于點(diǎn)，
，
，．
四邊形是矩形．
．
．
．
，
是等邊三角形．
．
．
．
．
在中，,則，
∴
∵
∴，
．
②如圖所示
是等邊三角形，

又為正的內(nèi)心，則
26．（1）① 28度；②見(jiàn)解析；（2）4；（3）①相等且垂直，見(jiàn)解析；②
本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的定義，構(gòu)造輔助圓的基本方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）①∵，，
∴點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓上，

如圖1，．
（2），，
，，，
點(diǎn)在以（定弦）為直徑的上，
如圖2，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小，

點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
在中，，，，
，．
最小值為4．
（2）如圖3，連接，

點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值，
，，，
∴的最小值為．
（3）①結(jié)論：，
理由：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，，
，，，
，．
②如圖4，連接，交于點(diǎn)O，
∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以為直徑的圓的，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．
27．(1)
(2)①或；②或
【詳解】（1）解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
．
∵矩形中，
．
；
（2）解：①∵點(diǎn)，
．
，
．
．
，
或．
或．
或．
∴或．
解得：或
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：或；
②設(shè)的中點(diǎn)為G，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，則，如圖，
由題意：以線段EM為直徑的圓與矩形的邊，所在直線相交．
∴以線段為直徑的圓與矩形的邊，所在直線可能相切，
Ⅰ、以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線可能相切時(shí)，
則．
設(shè)，則，
．
，
．
，
∴為梯形的中位線．
．
∴．
解得：．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，
；
Ⅱ、以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線可能相切時(shí)，
則．
，
．
，
∴為梯形的中位線．
．
∴．
解得：．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，
．
綜上，當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．
28．（1）3，；（2），理由見(jiàn)解析；（3）
【詳解】解；（1）作于點(diǎn)F，
∵平分，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
故答案為：3，；
（2）如圖，結(jié)論：．
理由：作于，連接，．
平分，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，
．
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，交于點(diǎn)E，連接，作的內(nèi)切圓，圓心為M，N為切點(diǎn)，連接．由（1）（2）可知，四邊形是正方形，是對(duì)角線．
，
正方形的邊長(zhǎng)為，
由（2）可知：，
，
由切線長(zhǎng)定理可知：，
，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，
則
解得，
即，
在中，．
故答案為：．
29．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析
【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，即為所求；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，以點(diǎn)為圓心， 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，即為所求；

（2），
如圖，連接并延長(zhǎng)至，使得，連接，
，
為定角，
為定角，
當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，即時(shí)，最長(zhǎng)，
，
，
，
最長(zhǎng)為
（3）如圖，第步：作AB的垂直平分線交于點(diǎn)；
第步：以點(diǎn)為圓心，為半徑作；
第步：以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)；
第步：連接交于點(diǎn)．
則．
30．[提出問(wèn)題] 甲自己射門(mén)好，理由見(jiàn)解析；[經(jīng)驗(yàn)感知]（1）作圖見(jiàn)解析；（2）；[理解應(yīng)用] （1）C；（2）
【詳解】[提出問(wèn)題]解：甲自己射門(mén)好，理由如下：
如圖2，記與過(guò)兩點(diǎn)的圓的交點(diǎn)為，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴甲自己射門(mén)好；
[經(jīng)驗(yàn)感知]（1）如圖4，即為所求；

（2）如圖4，連接，于，
∵是的切點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，，
∵，
∴，
∴最大射門(mén)角的度數(shù)為；
[理解應(yīng)用]（1）解：如圖5，連接，作的垂直平分線的交點(diǎn)為，連接，，

由勾股定理得，，
∴，
∴四點(diǎn)共圓，如圖5，
∴，
∴當(dāng)射點(diǎn)在線段（異于端點(diǎn)）上一點(diǎn)時(shí)，射門(mén)角最大，
故選：C；
（2）解：∵，，，
∴，
如圖，過(guò)作與相切，切點(diǎn)為， 線段的垂直平分線交于點(diǎn)，于，、的延長(zhǎng)線交點(diǎn)為，則是最大的射門(mén)角，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
由題意知，，，
∴均為等腰直角三角形，
∴，，
設(shè)的半徑為，則，，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
∴射門(mén)角（）最大，此時(shí)的長(zhǎng)度為米．
31．（1）；；（2），詳見(jiàn)解析；（3）．
【詳解】（1）∵平分，
∴，
∴，
∵AB為直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則，，
則有，
∴，即點(diǎn)D到直線的距離為，

故答案為：；；
（2），理由如下：
如圖②，連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
（3）如圖③，作于點(diǎn)G，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，
∵，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得， (不符合題意，舍去)，
∴，
∴線段的長(zhǎng)為．
32．(1)8
(2)的長(zhǎng)度不發(fā)生變化；
(3)
【詳解】（1）如圖，連接，
∵，，
∴，
∴圓的半徑為5，

∵，
∴，
∴．
（2）的長(zhǎng)度不發(fā)生變化；．理由如下：
如圖，連接，

∵直徑，，，弦，，
∴，
∴，
∵的角平分線交于點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故的長(zhǎng)度不發(fā)生變化；．
（3）如圖，連接，
∵，

∴點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的上的，
當(dāng)D、H、N三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
連接，交于點(diǎn)M，
故當(dāng)H與M重合時(shí)，取得最小值，
∵，，，
∴，
∴，
過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)F，
則，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
故最小值為．
33．(1)
(2)①；②
【詳解】（1）解：如圖1，連接AD，
∵點(diǎn)，
∴， ，，
∵，點(diǎn)C是該半圓周上一動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，，如圖，
此時(shí)取得最大值；
（2）解：①如圖，連接，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)G，
∵軸，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半圓O的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
即線段的長(zhǎng)為；
②依題意，如圖3：
因?yàn)闉橹睆剑?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以是的垂直平分線，
則，
故點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心，為半徑的半圓上，點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的半圓上，
所以點(diǎn)C從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，線段（包含起點(diǎn)處）掃過(guò)的區(qū)域的面積為半圓的面積減去半圓的面積，
即，
故答案為：．
34．（1）見(jiàn)解析（2）①②
【詳解】解：（1）連接，

則：，
∵是的外角，
∴，
∴；
（2）①當(dāng)時(shí)，的外接圓的圓心在斜邊的中點(diǎn)上，設(shè)圓心為，連接，則：，

∵的外接圓與l相切于點(diǎn)C，
∴，
∵，
∴，
∴；
②當(dāng)時(shí)，如圖：

連接， 則：，，過(guò)點(diǎn)作，則：，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
過(guò)點(diǎn)作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由題意，可知越大，越短，
∴．
35．（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）①；②
【詳解】解：（1），
三點(diǎn)都在以為圓心，以長(zhǎng)為半徑的圓上，
，
，
故答案為：；
（2）如圖所示，點(diǎn)即為所求，
；
（3）①如圖所示，在上截取一點(diǎn)使得，連接，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交于，延長(zhǎng)交于，當(dāng)與圓相切時(shí)，
∵四邊形是矩形，
，
，，
四邊形是正方形，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案為：；
②如圖所示，作的外接圓，過(guò)圓心作于，于，連接，，則四邊形是矩形，
，
，
，
在直角中，
∴，
，為圓心，
∴，
，，
∴，
∴．

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