1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinB=45，則tanA等于( )
A. 34B. 43C. 45D. 35
2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(?2,4)、B(?6,?2)，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為12，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是( )
A. (?1,2)B. (?3,?1)
C. (?1,2)或(1,?2)D. (?3,?1)或(3,1)
3.已知tan(90°?α)= 33，則銳角α的度數(shù)是( )
A. 60°B. 45°C. 30°D. 75°
4.如圖，小雅家(圖中點(diǎn)O處)門(mén)前有一條東西走向的公路，經(jīng)測(cè)得有一水塔(圖中點(diǎn)A處)在距她家北偏東60°方向的500米處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是( )
A. 250米
B. 250 3米
C. 5003 3米
D. 500 2米
5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，DE/?/BC，DF/?/AC，連接BE，交DF于點(diǎn)G，則下列結(jié)論一定正確的是( )
A. ADDB=DEBCB. AEAC=BFBCC. BDAD=BFDED. DGGF=ADEC
6.如圖，已知D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，根據(jù)下列條件，不能判定△CAB∽△CBD的是( )
A. ∠A=∠CBD
B. ∠CBA=∠CDB
C. AB?CD=BD?BC
D. BC2=AC?CD
7.如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則圖中∠ABC的正切值是( )
A. 2
B. 2 55
C. 12
D. 55
8.如圖，△ABC是面積為18cm2的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積為( )
A. 4cm2
B. 6cm2
C. 8cm2
D. 10cm2
9.某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測(cè)量大樹(shù)CD高度的綜合實(shí)踐活動(dòng)，如圖，在點(diǎn)A處測(cè)得直立于地面的大樹(shù)頂端C的仰角為36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處，然后再沿水平方向行走6米至大樹(shù)腳底點(diǎn)D處，斜面AB的坡度(或坡比)i=1：2.4，那么大樹(shù)CD的高度約為(參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )
A. 8.1米B. 17.2米C. 19.7米D. 25.5米
10.由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S△AOB=1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為( )
A. (43)3B. (43)7C. (43)6D. (34)6
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.計(jì)算：2cs30°?tan60°?2sin60°=______．
12.在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是______．
13.如圖，在邊長(zhǎng)為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
14.如圖，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退，直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端，已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時(shí)量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米.則旗桿的高度為_(kāi)_____米.
15.在△ABC中，∠BAC=120°，AC=6，AB=4，則BC的長(zhǎng)是______．
16.如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)P，則APPB的值= ______，tan∠APD的值= ______．
三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
17.(本小題8分)
如圖，平行四邊形ABCD，DE交BC于F，交AB的延長(zhǎng)線于E，且∠EDB=∠C．
(1)求證：△ADE∽△DBE；
(2)若DC=9cm，BE=16cm，求DE的長(zhǎng)．
18.(本小題8分)
在襄陽(yáng)市諸感亮廣場(chǎng)上矗立著一尊諸葛亮銅像.某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量諸葛亮銅像的高度.如圖，在點(diǎn)C處，探測(cè)器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為32m，從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45°，看銅像底部B的俯角為63.4°.已知底座BD的高度為4m，求銅像AB的高度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00， 2≈1.41)．
19.(本小題8分)
某次軍事演習(xí)中，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在出發(fā)地A測(cè)得小島C在它的北偏東60°方向，2小時(shí)后到達(dá)B處，測(cè)得小島C在它的北偏西45°方向，求該船在航行過(guò)程中與小島C的最近距離(參考數(shù)據(jù)： 2≈1.41， 3≈1.73.結(jié)果精確到0.1km)．
20.(本小題8分)
2024西安城墻新春燈會(huì)聚焦了文化、科技、數(shù)字、環(huán)保、演藝五大熱門(mén)元素.部分燈組將文物與燈會(huì)相融合，如氣勢(shì)磅礴的《祥龍賀春》燈組便在“中華第一龍”紅山玉龍與浮雕龍紋宮燈石柱的基礎(chǔ)上進(jìn)行制作展示(如圖①).張敏和趙雷兩人去城墻燈會(huì)游覽，看到龍燈十分壯觀，他們合作完成寒假作業(yè)的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告．
請(qǐng)你根據(jù)活動(dòng)報(bào)告求出龍燈最高點(diǎn)到地面的高度AB．
21.(本小題9分)
如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面CQ，坡角∠QCN=30°.在陽(yáng)光下，小明觀察到AB在地面上的影長(zhǎng)為120cm，在坡面上的影長(zhǎng)為180cm.同一時(shí)刻，小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60cm的木桿的影長(zhǎng)為90cm(其影子完全落在地面上).求立柱AB的高度．
22.(本小題9分)
如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)E，求證：
(1)△ACE∽△BDE；
(2)BE?DC=AB?DE．
23.(本小題10分)
已知：如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的AB，AC，BC邊上的點(diǎn)，DE/?/BC，DF/?/AC．
(1)求證：△ADE∽△DBF．
(2)若ADAB=25，S△BDF=9cm2，求S△ADE和S△ABC．
24.(本小題12分)
【問(wèn)題呈現(xiàn)】
如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE.求證：BD=CE．
【類(lèi)比探究】
如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°.連接BD，CE.請(qǐng)直接寫(xiě)出BDCE的值．
【拓展提升】
如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=34.連接BD，CE．
(1)求BDCE的值；
(2)延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G.求sin∠BFC的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=ACAB=45，
∴設(shè)AC=4x，AB=5x，
∴BC= AB2?AC2= (5x)2?(4x)2=3x，
∴tanA=BCAC=3x4x=34．
故選：A．
先利用正弦定義得到sinB=ACAB=45，則可設(shè)AC=4x，AB=5x，利用勾股定理計(jì)算出BC=3x，然后根據(jù)正切的定義求解．
本題考查了也考查了銳角三角函數(shù)的定義．
2.【答案】C
【解析】解：∵原點(diǎn)O為位似中心，相似比為12，把△ABO縮小，
∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(?2×12,4×12)或(?2×(?12),4×(?12))，即(?1,2)或(1,?2)，
故選：C．
根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k計(jì)算．
本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k．
3.【答案】A
【解析】解：∵tan(90°?α)= 33，α為銳角，
∴90°?α=30°．
∴α=60°．
故選：A．
根據(jù)特殊角的正切值解決此題．
本題主要考查特殊角的正切值，熟練掌握特殊角的正切值是解決本題的關(guān)鍵．
4.【答案】A
【解析】解：由題意∠AOB=90°?60°=30°，OA=500，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∴AB=12AO=250米．
故選A．
在RT△AOB中，由∠AOB=30°可知AB=12AO，由此即可解決問(wèn)題．
本題考查解直角三角形，方向角，直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是搞清楚方向角的定義，利用直角三角形性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
5.【答案】C
【解析】解：∵DE/?/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=AEAC，
故A，B選項(xiàng)不符合題意，
∵DF//AC，
∴BDAD=BFCF，
又DE/?/BC，
∴四邊形DFCE為平行四邊形，
∴CF=DE，
∴BDAD=BFDE．
故C選項(xiàng)正確，
∵DE/?/AC，
∴DGGF=AEEC，
故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
利用相似三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例依次判斷可求解．
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠C是公共角，
∴再加上∠A=∠CBD或∠CBA=∠CDB都可以證明△CAB∽△CBD，故A，B不符合題意，
C選項(xiàng)中的對(duì)兩邊成比例，但不是相應(yīng)的夾角相等，所以選項(xiàng)C符合題意．
∵∠C=∠C，
若再添加CDBC=BCAC，即BC2=AC?CD，可證明△CAB∽△CBD，故D不符合題意．
故選：C．
根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．
本題考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
7.【答案】A
【解析】解：由圖可得，
BC= 12+22= 5，AC= 22+42=2 5，AB= 32+42=5，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴tan∠ABC=ACBC=2 5 5=2，
故選：A．
根據(jù)勾股定理可以得到AC、BC、AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以得到△ABC的形狀，從而可以求得圖中∠ABC的正切值．
本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是判斷出△ABC的形狀，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC被一平行于BC的矩形所截，
∴EH//FG//BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
又∵AB被截成三等份，
∴S△AEHS△ABC=(AEAB)2=19，S△AFGS△ABC=(AFAB)2=49，
∴S△AEH=2cm2，S△AFG=8cm2，
則S陰影=S△AFG?S△AEH=6cm2．
故選B．
根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比平方，可求出△AEH及△AFG的面積，根據(jù)S陰影=S△AFG?S△AEH，可求出陰影部分的面積．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題關(guān)鍵是掌握：相似三角形的面積比等于相似比平方，難度一般．
9.【答案】A
【解析】解：作BF⊥AE于F，如圖所示：
則FE=BD=6米，DE=BF，
∵斜面AB的坡度i=1：2.4，
∴AF=2.4BF，
設(shè)BF=x米，則AF=2.4x米，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+(2.4x)2=132，
解得：x=5，
∴DE=BF=5米，AF=12米，
∴AE=AF+FE=18米，
在Rt△ACE中，CE=AE?tan36°=18×0.73=13.14米，
∴CD=CE?DE=13.14米?5米≈8.1米；
故選A．
作BF⊥AE于F，則FE=BD=6米，DE=BF，設(shè)BF=x米，則AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的長(zhǎng)度，在Rt△ACE中，由三角函數(shù)求出CE，即可得出結(jié)果．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、三角函數(shù)；由勾股定理得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
10.【答案】C
【解析】解：在Rt△AOB中，∠AOB=30°，
∵cs∠AOB=OAOB，
∴OB=2 3OA，
同理，OC=2 3OB，
∴OC=(2 3)2OA，
……
OG=(2 3)6OA，
由位似圖形的概念可知，△GOH與△AOB位似，且位似比為(2 3)6，
∵S△AOB=1，
∴S△GOH=[(2 3)6]2=(43)6，
故選：C．
根據(jù)余弦的定義得到OB=2 3OA，進(jìn)而得到OG=(2 3)6OA，根據(jù)位似圖形的概念得到△GOH與△AOB位似，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．
本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)、余弦的定義，正確判斷出與△AOB位似的三角形是△GOH是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】? 3
【解析】解：原式=2× 32? 3?2× 32
= 3? 3? 3
=? 3．
故答案為：? 3．
直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)而計(jì)算得出答案．
此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
12.【答案】△MCB
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∴∠DNM+∠DMN=90°，由折疊的性質(zhì)可知，∠BMN=∠A=90°，
∴∠DMN+∠CBM=90°，
∴∠DNM=∠CMB，
∴△NDM∽△MCB，
故答案為：△MCB．
利用矩形的性質(zhì)得到∠D=∠C=90°，然后利用折疊的性質(zhì)推導(dǎo)出∠BMN=∠A=90°，進(jìn)而得到∠DNM=∠CMB，由此推斷出△NDM∽△MCB．
本題主要考查了相似三角形的判定、矩形的性質(zhì)以及翻折變換(折疊問(wèn)題)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵：兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
13.【答案】7
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC?BD=9?3=6；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
則ABBD=DCCE，
即93=6CE，
解得：CE=2，
故AE=AC?CE=9?2=7．
故答案為：7．
先根據(jù)邊長(zhǎng)為9，BD=3，求出CD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)∠ADE=60°和等邊三角形的性質(zhì)，證明△ABD∽△DCE，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得CE的長(zhǎng)度，即可求出AE的長(zhǎng)度．
此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得△ABD∽△DCE是解答此題的關(guān)鍵．
14.【答案】8
【解析】解：由題意得：∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴ABCD=OBOD，
∵AB=1.6米，OB=2米，OD=10米，
∴1.6CD=210，
解得：CD=8，
∴旗桿的高度為8米，
故答案為：8．
證明△AOB∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ABCD=OBOD，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．
本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
15.【答案】2 19
【解析】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，

∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°，
則有∠ABD=30°，
又∵AB=4，
∴AD=12AB=2，
∴BD= AB2?AD2=2 3，CD=2+6=8，
∴BC= BD2+CD2= (2 3)2+82=2 19，
故答案為：2 19．
過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，利用∠BAC=120°，AB=4，求出BD，再用勾股定理計(jì)算即可求解．
本題考查含30度的直角三角形的性質(zhì)“30度所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”及勾股定理．
16.【答案】3；2
【解析】解：∵四邊形BCED是正方形，
∴DB//AC，
∴△DBP∽△CAP，
∴APPB=ACDB=3，
連接BE，
∵四邊形BCED是正方形，
∴DF=CF=12CD，BF=12BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根據(jù)題意得：AC/?/BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF=12CF=12BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF=BFPF=2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2，
故答案為：3，2．
首先連接BE，由題意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，繼而求得答案．
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
17.【答案】(1)證明：平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，
∵∠EDB=∠C，
∴∠A=∠EDB，
又∠E=∠E，
∴△ADE∽△DBE；
(2)解：平行四邊形ABCD中，DC=AB，
∵DC=9cm，BE=16cm，
∴AB=9，AE=25cm，
由(1)得△ADE∽△DBE，
∴DEAE=BEDE，
∴DE=20cm．
【解析】(1)由平行四邊形的對(duì)角相等，可得∠A=∠C，即可求得∠A=∠EDB，又由公共角∠E=∠E，可證得△ADE∽△DBE；
(2)根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而解答即可．
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要注意仔細(xì)識(shí)圖．
18.【答案】解：∵矩形BDEF中有EF=BD=4m，CE=32m，
∴CF=BG=32?4=28m，
∵tan∠CBF=tan63.4°=CFBF，
∴28BF≈2，即BF≈14m，
∴CG=BF=14m，
∵∠GCA=45°，
∴AG=GC=14m，
∴AB=BG?AG=CF?AG=28?14=14m．
答：銅像AB的高度為14m．
【解析】根據(jù)tan∠CBF=tan63.4°=CFBF求出BF，再在三角形ACG中求出AG，根據(jù)AB=BG?AG即可解答．
本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰直角三角形，關(guān)鍵是找準(zhǔn)三角函數(shù)．
19.【答案】解：由題意得，AB=40×2=80(海里)，∠CAB=30°，∠ABC=45°，
過(guò)C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴AD= 3CD,BD=CD，
∵AB=80海里，
∴ 3CD+CD=80，
解得CD=40 3?40≈29.2，
答：該船在航行過(guò)程中與小島C的最近距離為29.2海里．
【解析】由題意得，AB=40×2=90(海里)，∠CAB=30°，∠ABC=45°，過(guò)C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到結(jié)論．
本題考查解直角三角形應(yīng)用?方向角問(wèn)題、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．
20.【答案】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB=ABBD，
∴BD=ABtan31°≈AB0.6．
∵∠ABE=∠CDE=90°，∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=BEDE，
即AB3=BD+66，
∴2AB=AB0.6+6，
∴AB=18．
∴龍燈最高點(diǎn)到地面的高度AB為18米．
【解析】證明△ABE∽△CDE，對(duì)應(yīng)邊成比例即可解決問(wèn)題．
本題考查解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題，相似三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．
21.【答案】解：延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
則DF=12CD=90cm，CF=CD?cs∠DCF=180× 32=90 3cm，
由題意得：DFEF=6090，即90EF=6090，解得：EF=135，
又BC=120cm，
∴BE=BC+CF+EF=(255+90 3)cm，
則AB255+90 3=6090，
解得：AB=170+60 3，
答：立柱AB的高度為(170+60 3)cm．
【解析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問(wèn)題、平行投影的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可．
22.【答案】證明：(1)∵∠ADB=∠ACB，
∴∠DAC=∠DBC．
∵∠E=∠E，
∴△ACE∽△BDE；
(2)∵△ACE∽△BDE，
∴AEBE=CEDE，
∴AECE=BEDE．
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=BEDE，
∴BE?DC=AB?DE．
【解析】(1)由∠ADB=∠ACB結(jié)合對(duì)頂角相等及三角形內(nèi)角和定理可求出∠DAC=∠DBC，再結(jié)合公共角∠E=∠E即可證出△ACE∽△BDE；
(2)由△ACE∽△BDE可得出AEBE=CEDE，進(jìn)而可得出AECE=BEDE，結(jié)合∠E=∠E即可證出△ABE∽△CDE，再利用相似三角形的性質(zhì)可得出ABCD=BEDE，即BE?DC=AB?DE．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、對(duì)頂角以及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：(1)利用三角形內(nèi)角和定理找出∠DAC=∠DBC；(2)利用相似三角形的判定定理證出△ABE∽△CDE．
23.【答案】(1)證明：∵DE/?/BC，DF/?/AC，
∴∠ADE=∠DBF，∠AED=∠C，∠DFB=∠C，
∴∠AED=∠DFB，
∴△ADE∽△DBF．
(2)解：∵ADAB=25，
∴ADBD=23．
又∵△ADE∽△DBF，
∴S△ADES△DBF=(ADBD)2=49，而S△BDF=9，
∴S△ADE=4；
∵DE/?/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2=425，
∴S△ABC=25；
∴S△ADE和S△ABC的面積分別為4cm2和25cm2．
【解析】(1)證明∠AED=∠DFB，∠ADE=∠DBF，即可解決問(wèn)題．
(2)根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，列出比例式即可解決問(wèn)題．
本題考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．
24.【答案】【問(wèn)題呈現(xiàn)】證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE?∠BAE=∠BAC?∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
【類(lèi)比探究】解：BDCE= 22；
【拓展提升】解：(1)∵ABBC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE=35，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=35；
(2)由(1)得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴∠BFC=∠BAC，
∴sin∠BFC=sin∠BAC=BCAC=45．
【解析】【問(wèn)題呈現(xiàn)】證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；
【類(lèi)比探究】證明△BAD∽△CAE，進(jìn)而得出結(jié)果；
解：BDCE= 22；
證明過(guò)程如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ADAE=ABAC=1 2= 22，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE?∠BAE=∠BAC?∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC= 22；
【拓展提升】(1)先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進(jìn)而得出結(jié)果；
(2)在(1)的基礎(chǔ)上得出∠ACE=∠ABD，進(jìn)而∠BFC=∠BAC，進(jìn)一步得出結(jié)果．
本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．活動(dòng)報(bào)告
課題
測(cè)量龍燈最高點(diǎn)到地面的高度AB
目的
運(yùn)用相似三角形與三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題
工具
標(biāo)桿、皮尺、測(cè)角儀、激光筆等
測(cè)量方案及示意圖
如圖②，張敏在D處用測(cè)角儀測(cè)得龍燈最高點(diǎn)A的仰角∠ADB為31°，趙雷在D處豎立高3米的標(biāo)桿CD，利用激光筆測(cè)得地面上的點(diǎn)E、點(diǎn)A和點(diǎn)C在一條直線上，DE=6米．
說(shuō)明
AB⊥BE，CD⊥BE，點(diǎn)B、D、E在一條水平線上，圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86tan31°≈0.60，測(cè)角儀、激光筆與地面的距離忽略不計(jì)．
安全
測(cè)量過(guò)程中注意自己及他人的安全．

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