江蘇省揚(yáng)州市2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷合集2套（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．a(chǎn)x2﹣3x+2＝0B．
C．x2+5x＝0D．x（x2﹣4x）＝3
2．（3分）若⊙O的半徑為4，圓心O到直線l的距離為5，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）
A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法確定
3．（3分）已知5個(gè)數(shù)a1、a2、a3、a4、a5的平均數(shù)是a，則數(shù)據(jù)a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均數(shù)為（）
A．a(chǎn)+1B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．2a
4．（3分）若a+3b＝0，且ab≠0，則的值等于（）
A．5B．﹣5C．6D．﹣6
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列變形結(jié)果正確的是（）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝7
6．（3分）一組數(shù)據(jù)26，32，32，36，46，■7，52進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字被墨水涂污看不到，則下列統(tǒng)計(jì)量與被涂污數(shù)字無(wú)關(guān)的是（）
A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．眾數(shù)D．方差
7．（3分）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上．點(diǎn)A、B的讀數(shù)分別為86°、30°，則∠ACB的大小為（）
A．15°B．28°C．29°D．34°
8．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形對(duì)角線BD所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為斜邊作等腰Rt△AEF（點(diǎn)A，E，F(xiàn)按逆時(shí)針排序），則CF長(zhǎng)的最小值為（）
A．B．C．4D．2
二.填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，請(qǐng)把你認(rèn)為正確的答案填寫在答題紙相應(yīng)位置。）
9．（3分）若關(guān)于x的方程（m+2）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是．
10．（3分）已知線段a＝2，b＝8，則a，b的比例中項(xiàng)是．
11．（3分）超市決定招聘廣告策劃人員一名，某應(yīng)聘者三項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試的成績(jī)?nèi)绫恚?br>將創(chuàng)新能力、綜合知識(shí)和語(yǔ)言表達(dá)三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)按5：3：2的比例計(jì)入總成績(jī)，則該應(yīng)聘者的總成績(jī)是分．
12．（3分）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，且AO+BO＝6，則CO＝．
13．（3分）某公司2月份的利潤(rùn)為160萬(wàn)元，4月份的利潤(rùn)250萬(wàn)元，則平均每月的增長(zhǎng)率為．
14．（3分）已知某組數(shù)據(jù)方差為S2＝，則的值為．
15．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O(shè)為位似中心的位似圖形，位似比為1：2，點(diǎn)F，B，C在x軸上，若AD＝6，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為．
16．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根為x＝2023，則關(guān)于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根為．
17．（3分）如圖，由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形，若⊙O經(jīng)過(guò)其頂點(diǎn)A、B、C，則圓心O到AB的距離為．
18．（3分）如圖，E是⊙O的直徑AB上一點(diǎn)，AB＝10，BE＝2，過(guò)點(diǎn)E作弦CD⊥AB，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PD，垂足為Q，則OQ的最小值為．
三.解答題（本大題共10小題，共96分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置。）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
20．（8分）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在相同條件下6次射擊成績(jī)的折線統(tǒng)計(jì)圖如下：
（1）填表（單位：環(huán)）
（2）計(jì)算甲、乙射擊成績(jī)的方差，并判斷哪位運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)更穩(wěn)定？
21．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）證明：無(wú)論m取何值，此方程必有實(shí)數(shù)根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝1，AC、BC的長(zhǎng)是此方程的兩個(gè)根，求m的值．
22．（8分）直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件．
（1）當(dāng)每件的售價(jià)為50元時(shí)，日銷量為件；
（2）若日利潤(rùn)為448元，為了盡快減少庫(kù)存，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？
23．（10分）請(qǐng)按下列要求作圖．
（1）如圖1，在方格紙中，點(diǎn)A在圓上，僅用無(wú)刻度直尺過(guò)點(diǎn)A畫出圓的切線；
（2）如圖2，已知⊙O2，點(diǎn)Q在⊙O2外，用尺規(guī)作⊙O2上所有過(guò)點(diǎn)Q的切線．（保留作圖痕跡）
24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AC邊上，以AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)E，連接CE，且CB＝CE．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半徑．
25．（10分）閱讀材料，解答問(wèn)題：
我們?cè)谔骄恳辉畏匠谈c系數(shù)的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)，如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是x1，x2，那么由求根公式可以推出x1+x2＝﹣，x1?x2＝；已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，則m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：
（1）直接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0，且a≠b，則a+b＝，ab＝；
（2）間接應(yīng)用：在（1）條件下，求的值；
（3）拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)m，n滿足：＝7，n2﹣n＝7且mn+1≠0，求﹣n的值．
26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo)為；
（2）這個(gè)圓的半徑為；
（3）直接判斷點(diǎn)D（5，﹣2）與⊙M的位置關(guān)系．點(diǎn)D（5，﹣2）在⊙M （填內(nèi)、外、上）；
（4）在方格中，連接AB，AC，BC，將△ABC以原點(diǎn)O為位似中心，縮小為原來(lái)的，請(qǐng)畫出縮小后的圖形△A1B1C1．
27．（12分）【基礎(chǔ)鞏固】
（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．
【拓展提高】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，EF∥AC，AC＝2EF，，AE＝3，DF＝6，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為．
28．（12分）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P以3cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以4cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圓．
（1）當(dāng)t＝1時(shí)，⊙M的半徑是 cm，⊙M與直線CD的位置關(guān)系是；
（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)⊙M與矩形ABCD相切時(shí)，求t的值．
（3）連接PD，交⊙M于點(diǎn)N，如圖2，當(dāng)∠APD＝∠NBQ時(shí)，t的值是．
答案與試題解析
一.選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題僅有一個(gè)答案正確，請(qǐng)把你認(rèn)為正確的答案填寫在答題紙相應(yīng)位置。）
1．（3分）下列屬于一元二次方程的是（）
A．a(chǎn)x2﹣3x+2＝0B．
C．x2+5x＝0D．x（x2﹣4x）＝3
【分析】根據(jù)定義（只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程）判斷即可．
解：A、ax2﹣3x+2＝0當(dāng)a＝0時(shí)方程變?yōu)橐辉淮畏匠?，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、有分式不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、x2+5x＝0滿足一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；
D、x（x2﹣4x）＝3去括號(hào)并移項(xiàng)后為x3﹣4x2﹣3＝0是一元三次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．
2．（3分）若⊙O的半徑為4，圓心O到直線l的距離為5，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）
A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法確定
【分析】若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．
解：根據(jù)圓心到直線的距離5大于圓的半徑4，則直線和圓相離．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，能夠熟練運(yùn)用數(shù)量關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系．
3．（3分）已知5個(gè)數(shù)a1、a2、a3、a4、a5的平均數(shù)是a，則數(shù)據(jù)a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均數(shù)為（）
A．a(chǎn)+1B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．2a
【分析】根據(jù)平均數(shù)的算法計(jì)算即可．
解：由題意得，，
則a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均數(shù)為：，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平均數(shù)的概念，熟練掌握算術(shù)平均數(shù)是計(jì)算是關(guān)鍵．
4．（3分）若a+3b＝0，且ab≠0，則的值等于（）
A．5B．﹣5C．6D．﹣6
【分析】直接利用已知代入分式化簡(jiǎn)得出答案．
解：∵a+3b＝0，且ab≠0，
∴a＝﹣3b，
則分式．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，正確對(duì)式子進(jìn)行變形，化簡(jiǎn)求值是解決本題的關(guān)鍵．在解題過(guò)程中要注意思考已知條件的作用．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列變形結(jié)果正確的是（）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝7
【分析】首先移項(xiàng)，再進(jìn)行配方，方程左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可變形成左邊是完全平方，右邊是常數(shù)的形式．
解：x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝7，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）一組數(shù)據(jù)26，32，32，36，46，■7，52進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字被墨水涂污看不到，則下列統(tǒng)計(jì)量與被涂污數(shù)字無(wú)關(guān)的是（）
A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．眾數(shù)D．方差
【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差和眾數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和中位數(shù)都與第6個(gè)數(shù)有關(guān)，而這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與第6個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．
7．（3分）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上．點(diǎn)A、B的讀數(shù)分別為86°、30°，則∠ACB的大小為（）
A．15°B．28°C．29°D．34°
【分析】根據(jù)圓周角定理可知：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半，從而可求得∠ACB的度數(shù)．
解：根據(jù)圓周角定理可知：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半，
根據(jù)量角器的讀數(shù)方法可得：（86°﹣30°）÷2＝28°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)之間的關(guān)系：圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半．
8．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形對(duì)角線BD所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為斜邊作等腰Rt△AEF（點(diǎn)A，E，F(xiàn)按逆時(shí)針排序），則CF長(zhǎng)的最小值為（）
A．B．C．4D．2
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和題干給定的△AEF是以AE為斜邊作等腰直角三角形，證明△GLA∽△FLE，得到進(jìn)一步證明△GLF∽△ALE，得到GF∥AB，由正方形的性質(zhì)得點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，有點(diǎn)F在BC的垂直平分線GH上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，CF的值最小．
解：連接AC交BD于點(diǎn)G，連接GF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H，如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，AB＝CB＝4，
∵△AEF是以AE為斜邊作等腰直角三角形，
∴AF＝EF，∠AFE＝90°，∠FAE＝∠FEA＝45°，
∵BD⊥AC，
∴∠AGL＝∠EFL＝90°，
∵∠ALG＝∠ELF，
∴△GLA∽△FLE，
∴，則，
∵∠GLF＝∠ALE，
∴△GLF∽△ALE，
∴∠LGF＝∠LAE＝45°，
∴∠LGF＝∠ABD，
則GF∥AB，
∴∠GHC＝∠ABC＝90°，
∵點(diǎn)G為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F在BC的垂直平分線GH上運(yùn)動(dòng)，
∵CH⊥GH，
∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，CF的值最小，此時(shí)．
即CF長(zhǎng)的最小值為2．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)和垂線段最短，利用相似的邊長(zhǎng)比證明對(duì)應(yīng)三角形邊長(zhǎng)的相似比，并找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
二.填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，請(qǐng)把你認(rèn)為正確的答案填寫在答題紙相應(yīng)位置。）
9．（3分）若關(guān)于x的方程（m+2）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是 m≠﹣2 ．
【分析】方程（m+2）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，由此即可求解．
解：根據(jù)題意得，m+2≠0，
∴m≠﹣2，
故m≠﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）已知線段a＝2，b＝8，則a，b的比例中項(xiàng)是 4 ．
【分析】設(shè)線段a，b的比例中項(xiàng)為c，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可知，c2＝ab，代入數(shù)據(jù)可直接求得c的值，注意兩條線段的比例中項(xiàng)為正數(shù)．
解：設(shè)線段a，b的比例中項(xiàng)為c，
∵c是長(zhǎng)度分別為2、8的兩條線段的比例中項(xiàng)，
∴c2＝ab＝2×8，
即c2＝16，
∴c＝4（負(fù)數(shù)舍去）．
故4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段的比．根據(jù)比例的性質(zhì)列方程求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握比例中項(xiàng)的定義，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么b叫做a與c的比例中項(xiàng)．
11．（3分）超市決定招聘廣告策劃人員一名，某應(yīng)聘者三項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試的成績(jī)?nèi)绫恚?br>將創(chuàng)新能力、綜合知識(shí)和語(yǔ)言表達(dá)三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)按5：3：2的比例計(jì)入總成績(jī)，則該應(yīng)聘者的總成績(jī)是 77 分．
【分析】根據(jù)該應(yīng)聘者的總成績(jī)＝創(chuàng)新能力×所占的比值+綜合知識(shí)×所占的比值+語(yǔ)言表達(dá)×所占的比值即可求得．
解：根據(jù)題意，該應(yīng)聘者的總成績(jī)是：70×+80×+90×＝77（分），
故77．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟記加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法．
12．（3分）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，且AO+BO＝6，則CO＝ 3 ．
【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)結(jié)合AO+BO＝6，即可求解．
解：∵點(diǎn)O是△ABC的外心，
∴AO＝BO＝CO，
∵AO+BO＝6，
∴CO＝3，
故3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，熟記三角形外接圓的圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）某公司2月份的利潤(rùn)為160萬(wàn)元，4月份的利潤(rùn)250萬(wàn)元，則平均每月的增長(zhǎng)率為 25% ．
【分析】設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率是x，根據(jù)2月份的利潤(rùn)為160萬(wàn)元，4月份的利潤(rùn)250萬(wàn)元，可列方程求解．
解：設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率是x，根據(jù)題意得
160（1+x）2＝250，
解得x＝25%或x＝﹣225%（舍去）．
答：平均每月的增長(zhǎng)率是25%．
故25%．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用﹣﹣增長(zhǎng)率問(wèn)題，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，增長(zhǎng)率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b（當(dāng)增長(zhǎng)時(shí)中間的“±”號(hào)選“+”，當(dāng)降低時(shí)中間的“±”號(hào)選“﹣”）．
14．（3分）已知某組數(shù)據(jù)方差為S2＝，則的值為 4 ．
【分析】由題意知，這組數(shù)據(jù)為2、3、3、8，再根據(jù)平均數(shù)的定義求解即可．
解：由題意知，這組數(shù)據(jù)為2、3、3、8，
所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝4，
故4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方差，解題的關(guān)鍵是掌握方差的計(jì)算公式和算術(shù)平均數(shù)的定義．
15．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O(shè)為位似中心的位似圖形，位似比為1：2，點(diǎn)F，B，C在x軸上，若AD＝6，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6，3）．
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到BG∥CD，證明△OBG∽△OCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．
解：∵正方形EFBG和正方形ABCD是以O(shè)為位似中心的位似圖形，位似比為1：2，
∴BG∥CD，＝，
∴△OBG∽△OCD，
∴＝＝，即，
解得：OB＝6，BG＝3，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6，3），
故（6，3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的概念得到BG∥CD是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根為x＝2023，則關(guān)于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根為 x＝2021 ．
【分析】結(jié)合已知條件得到x+2＝2022，求得x即可．
解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，
∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根為x＝2023，
∴關(guān)于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根為x+2＝2023，
解得x＝2021．
故x＝2021．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的定義，根據(jù)題意得到x+2＝2023是解題的難點(diǎn)．
17．（3分）如圖，由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形，若⊙O經(jīng)過(guò)其頂點(diǎn)A、B、C，則圓心O到AB的距離為．
【分析】取AB的中點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于點(diǎn)D，交CF于點(diǎn)E，則圓心O在DE上，在取DE上取圓心O，連接OB，OC，根據(jù)題意可得DE⊥CF，，DE＝3，OB＝OC，再由勾股定理可得OD2+BD2＝OE2+CE2，即可求解．
解：如圖，取AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于點(diǎn)D，交CF于點(diǎn)E，則圓心O在DE上，在取DE上取圓心O，連接OB，OC，
根據(jù)題意得：DE⊥CF，，DE＝3，OB＝OC，
∵OB2＝OD2+BD2，OC2＝OE2+CE2，
∴OD2+BD2＝OE2+CE2，
∴，
解得：，
即圓心O到AB的距離為．
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題意得到圓心的位置是解題的關(guān)鍵．
18．（3分）如圖，E是⊙O的直徑AB上一點(diǎn)，AB＝10，BE＝2，過(guò)點(diǎn)E作弦CD⊥AB，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PD，垂足為Q，則OQ的最小值為．
【分析】先根據(jù)圓周角定理判斷點(diǎn)Q在以AD為直徑的圓上，連接AD，以AD為直徑作⊙M，如圖，連接MO并延長(zhǎng)交⊙M于Q′，則當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí)，OQ的值最小，連接OD，再利用勾股定理計(jì)算出DE、AD、OM，然后計(jì)算OQ′即可．
解：∵AQ⊥PD，垂足為Q，
∴∠AQD＝90°，
∴點(diǎn)Q在以AD為直徑的圓上，
連接AD，以AD為直徑作⊙M，如圖，
連接MO并延長(zhǎng)交⊙M于Q′，
當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí)，OQ的值最小，
連接OD，
在Rt△ODE中，∵OD＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴DE＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝4，
∴MA＝MQ′＝2，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，
∴OQ的最小值為．
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱藞A周角定理和勾股定理．
三.解答題（本大題共10小題，共96分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置。）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，
∴△＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
則x＝＝＝﹣2，
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）∵（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
則x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在相同條件下6次射擊成績(jī)的折線統(tǒng)計(jì)圖如下：
（1）填表（單位：環(huán)）
（2）計(jì)算甲、乙射擊成績(jī)的方差，并判斷哪位運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)更穩(wěn)定？
【分析】（1）根據(jù)圖得出兩運(yùn)動(dòng)員的涉及環(huán)數(shù)，依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義求解即可；
（2）根據(jù)方差的定義計(jì)算，再依據(jù)方差的意義求解即可．
解：（1）∵甲的6次射擊成績(jī)?yōu)椋?、8、7、10、8、9，
∴平均數(shù)：，
8環(huán)出現(xiàn)2次，其他均為1次，即眾數(shù)為8，
∵乙的6次射擊成績(jī)?yōu)椋?、6、9、7、9、8，
∴排列為：6、7、8、9、9、9，中位數(shù)為，
9環(huán)出現(xiàn)3次，其他均為1次，即眾數(shù)為9，
（2）甲射擊成績(jī)的方差為：
，
乙射擊成績(jī)的方差為
，
∵，
∴乙運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)更穩(wěn)定．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查折線統(tǒng)計(jì)圖，
21．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）證明：無(wú)論m取何值，此方程必有實(shí)數(shù)根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝1，AC、BC的長(zhǎng)是此方程的兩個(gè)根，求m的值．
【分析】（1）證明Δ＞0即可；
（2）根據(jù)△ABC是等腰三角形分類討論即可．
（1）證明：∵Δ＝（m﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）
＝m2﹣6m+9+12m
＝m2+6m+9
＝（m+3）2≥0，
∴無(wú)論m取何值，此方程必有實(shí)數(shù)根；
（2）解：當(dāng)AB＝1為腰時(shí)，則AC或BC有一條邊為腰，
x2+（m﹣3）x﹣3m＝0的解為1，
∴1+（m﹣3）﹣3m＝0，
解得：m＝﹣1，
∵m＝﹣1時(shí)原方程兩根為1和3，此時(shí)三角形三邊為1，1，3，這樣的三角形不存在，
∴m＝﹣1不合題意，應(yīng)舍去，
當(dāng)AB＝1為底時(shí)，則AC，BC為腰，
方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
Δ＝（m+3）2＝0，
解得m＝﹣3，
綜上所述，m的值﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程根的判別式的求法是解題的關(guān)鍵．
22．（8分）直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件．
（1）當(dāng)每件的售價(jià)為50元時(shí)，日銷量為 40 件；
（2）若日利潤(rùn)為448元，為了盡快減少庫(kù)存，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？
【分析】（1）利用日銷售量＝20+2×降低的價(jià)格，即可求出結(jié)論；
（2）設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為x元，則每件的銷售利潤(rùn)為（x﹣40）元，日銷售量為（140﹣2x）件，利用總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×日銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合商家想盡快銷售完該款商品，即可得出每件售價(jià)．
解：（1）20+×10＝20+2×10＝20+20＝40．
答：當(dāng)每件售價(jià)為50元時(shí)，日銷量是40件．
故40；
（2）設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為x元，則每件的銷售利潤(rùn)為（x﹣40）元，日銷售量為20+×10＝（140﹣2x）（件），
依題意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝448，
整理得：x2﹣110x+3024＝0，
解得：x1＝54，x2＝56，
又∵商家想盡快銷售完該款商品，
∴x＝54．
答：每件售價(jià)應(yīng)定為54元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
23．（10分）請(qǐng)按下列要求作圖．
（1）如圖1，在方格紙中，點(diǎn)A在圓上，僅用無(wú)刻度直尺過(guò)點(diǎn)A畫出圓的切線；
（2）如圖2，已知⊙O2，點(diǎn)Q在⊙O2外，用尺規(guī)作⊙O2上所有過(guò)點(diǎn)Q的切線．（保留作圖痕跡）
【分析】（1）根據(jù)方格的特征，因?yàn)锽D＝AE，∠BDA＝∠AEC＝90°，AD＝EC，得AB是直徑，△ABD≌△CAE，即得∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠EAC＝∠BAC＝90°，據(jù)此作圖即可；
（2）連接QO2，再作線段QO2的垂直平分線，交QO2于一點(diǎn)，即為點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OQ為半徑，⊙O2相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，連接QA，QB，因?yàn)镼O2為直徑，∠QAO2＝90°＝∠QBO2，即為切線l2，切線l2′，即可作答．
解：（1）如圖1，直線AC即為所求：
；
（2）所有過(guò)點(diǎn)Q的切線為切線l2，切線l2′，如圖2所示：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線（尺規(guī)作圖）以及方格作圖，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AC邊上，以AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)E，連接CE，且CB＝CE．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半徑．
【分析】（1）連接OE，DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直徑所對(duì)圓周角是直角得∠OEC＝90°，于是得到結(jié)論；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，由AC2+BC2＝AB2，OE2+CE2＝OC2得到關(guān)于r 的方程，即可求出半徑．
（1）證明：如圖，連接OE，DE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AED＝∠DEB＝90°，
∴∠DEC+∠CEB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠B＝∠CEB，
∴∠A＝∠DEC，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠A+∠ADE＝90°，
∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE．
∵OE是⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AB＝4，BC＝CE，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（2r+2）2+BC2＝（4）2，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴r2+BC2＝（r+2）2，
∴BC2＝（r+2）2﹣r2，
∴（2r+2）2+（r+2）2﹣r2＝（4）2，
解得r＝3，或r＝﹣6（舍去）．
∴⊙O的半徑為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握切線的判定定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．
25．（10分）閱讀材料，解答問(wèn)題：
我們?cè)谔骄恳辉畏匠谈c系數(shù)的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)，如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是x1，x2，那么由求根公式可以推出x1+x2＝﹣，x1?x2＝；已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，則m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：
（1）直接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0，且a≠b，則a+b＝ 7 ，ab＝ 1 ；
（2）間接應(yīng)用：在（1）條件下，求的值；
（3）拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)m，n滿足：＝7，n2﹣n＝7且mn+1≠0，求﹣n的值．
【分析】（1）由題意可知a、b是方程x2﹣7x+1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b＝7，ab＝1；
（2）將所求式子變形為，再將（1）的代數(shù)式代入求值即可；
（3）由題意可知、﹣n是方程x2+x﹣7＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．
解：（1）∵a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0，且a≠b，
∴a，b是方程x2﹣7x+1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴a+b＝7，ab＝1，
故7，1；
（2）
＝
＝，
∵a+b＝7，ab＝1，
∴原式＝；
（3）∵，n2﹣n＝7且mn+1≠0，
∴、﹣n是方程x2+x﹣7＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，弄懂題干所給的例子，靈活應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo)為（2，0）；
（2）這個(gè)圓的半徑為；
（3）直接判斷點(diǎn)D（5，﹣2）與⊙M的位置關(guān)系．點(diǎn)D（5，﹣2）在⊙M 內(nèi) （填內(nèi)、外、上）；
（4）在方格中，連接AB，AC，BC，將△ABC以原點(diǎn)O為位似中心，縮小為原來(lái)的，請(qǐng)畫出縮小后的圖形△A1B1C1．
【分析】（1）連接AB，BC，分別作線段AB，BC的垂直平分線，交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心，即可得出答案．
（2）連接AM，利用勾股定理求出AM的值，即可得出答案．
（3）連接DM，利用勾股定理求出DM的值，與⊙M的半徑作比較，即可得出結(jié)論．
（4）利用位似的性質(zhì)作圖即可．
解：（1）連接AB，BC，分別作線段AB，BC的垂直平分線，交于點(diǎn)M，
則點(diǎn)M即為經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．
故（2，0）．
（2）連接AM，
由勾股定理得，AM＝＝，
∴這個(gè)圓的半徑為．
故．
（3）連接DM，
由勾股定理得，DM＝＝，
∵＜2，
∴點(diǎn)D（5，﹣2）在⊙M內(nèi)．
故內(nèi)．
（4）如圖，△A1B1C1即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣位似變換、垂徑定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握位似的性質(zhì)、垂徑定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
27．（12分）【基礎(chǔ)鞏固】
（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．
【拓展提高】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，EF∥AC，AC＝2EF，，AE＝3，DF＝6，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為．
【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，得出，則可得出結(jié)論；
（2）證明△BFE∽△BCF，得出比例線段，則BF2＝BE?BC，求出BC，則可求出AD．
（3）分別延長(zhǎng)EF，DC相交于點(diǎn)G，證得四邊形AEGC為平行四邊形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，證明△EDF∽△EGD，得出比例線段，則，可求出DG，則答案可求出．
（1）證明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB．
∴．
∴AC2＝AD?AB；
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C．
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF．
∴．
∴BF2＝BE?BC．
∴，
∴；
（3）解：如圖，分別延長(zhǎng)EF，DC相交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∵AC∥EF，
∴四邊形AEGC為平行四邊形，
∴AC＝EG，CG＝AE＝3，∠EAC＝∠G，
∵，
∴∠EDF＝∠BAC．
∴∠EDF＝∠G．
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD．
∴．
∴DE2＝EF?EG．
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2．
∴．
又∵，
∴
∴
則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，
故．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
28．（12分）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P以3cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以4cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圓．
（1）當(dāng)t＝1時(shí)，⊙M的半徑是 cm，⊙M與直線CD的位置關(guān)系是相離；
（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)⊙M與矩形ABCD相切時(shí)，求t的值．
（3）連接PD，交⊙M于點(diǎn)N，如圖2，當(dāng)∠APD＝∠NBQ時(shí)，t的值是．
【分析】（1）先求出PB，BQ的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得PQ的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的外接圓直徑是斜邊即可求解；
（2）如圖3，根據(jù)切線的性質(zhì)作輔助線EF，則EF⊥AD，EF⊥BC，由EF＝FM+ME列方程即可求解；
（3）如圖4，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明AP＝PQ，AD＝DQ，最后根據(jù)勾股定理列方程即可求解．
解：（1）如圖1，過(guò)M作KN⊥AB于N，交CD于K，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥CD，
∴⊙M的直徑是PQ，KN⊥CD，
當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝3，CQ＝4，
∵AB＝6，BC＝8，
∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，
∴PQ＝＝5，
∴⊙M的半徑為cm，
∵M(jìn)N∥BQ，M是PQ的中點(diǎn)，
∴PN＝BN，
∴MN是△PQB的中位線，
∴MN＝BQ＝×4＝2，
∴MK＝8﹣2＝6＞，
∴⊙M與直線CD的位置關(guān)系是相離；
故，相離；
（2）如圖3，當(dāng)⊙M與AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F，連接FM并延長(zhǎng)交BC于E，則EF⊥AD，EF⊥BC，
則BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴PM＝＝FM＝5﹣t，
△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，
∵EF＝FM+ME，
∴5﹣t+3﹣t＝6，
解得：t＝；
當(dāng)⊙M與AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F，連接FM并延長(zhǎng)交BC于E，則EF⊥CD，EF⊥AB，
則BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴PM＝＝EM＝5﹣t，
∴MF＝EF﹣ME＝，
∴8﹣（5﹣t）＝，
解得：t＝；
綜上所述：當(dāng)⊙M與矩形ABCD相切時(shí)t＝或；
（3）如圖4，過(guò)D作DG⊥PQ，交PQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DQ，
∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，
∴∠APD＝∠NPQ，
∵∠A＝90°，DG⊥PG，
∴AD＝DG＝8，
∵PD＝PD，
∴Rt△APD≌Rt△GPD（HL），
∴PG＝AP＝3t，
∵BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，
∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，
∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，
∴3t2﹣10t+8＝0，
（t﹣2）（3t﹣4）＝0，
解得：t1＝2（舍），t2＝．
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題四邊形和圓的綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線是本關(guān)鍵．
江蘇省揚(yáng)州市2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（二）
一、填空題（本大題共有12小題，每小題2分，共計(jì)24分．）
1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是．
2．（2分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的一個(gè)根為﹣1，則k＝．
3．（2分）已知⊙O半徑為4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為4.5cm，那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是．
4．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，可以將其變形為（x+h）2＝k（h、k為常數(shù)）的形式，則k＝．
5．（2分）已知圓錐的底面半徑是4，母線長(zhǎng)是5，則該圓錐的側(cè)面積是（結(jié)果保留π）．
6．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．
7．（2分）如圖，扇形OAB的半徑為1，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，∠BOP＝35°，則的長(zhǎng)l＝（結(jié)果保留π）．
8．（2分）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠P＝26°，則∠CAB＝．
9．（2分）鎮(zhèn)江香醋甲天下，為開(kāi)拓醋的養(yǎng)生功能，某醋廠開(kāi)發(fā)出櫻桃醋．為打開(kāi)市場(chǎng)，該櫻桃醋經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，售價(jià)由原來(lái)的每瓶25元降至每瓶16元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程．
10．（2分）《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門高是尺．
11．（2分）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E，＝2，連接AD，過(guò)點(diǎn)B的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若∠AFB＝60°，則∠DEB＝ °．
12．（2分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，，點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，連接BP，則BP的最大值是．
二、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共計(jì)18分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)符合題目要求．）
13．（3分）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）
A．2x﹣3＝xB．2x+3y＝5C．2x﹣x2＝1D．x+＝7
14．（3分）一元二次方程x2+5x+1＝0根的情況是（）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
15．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個(gè)根，則m+n的值為（）
A．2B．﹣2C．5D．﹣5
16．（3分）如圖，AB、AD、DE是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是B、C、E．若AD＝20，AB＝12，則DE的長(zhǎng)是（）
A．6B．8C．10D．12
17．（3分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADB＝18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）
A．5B．10C．12D．20
18．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以x2+2x﹣35＝0為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程x2+2x﹣35＝0變形為x（x+2）＝35，然后畫四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，按如圖①所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖①中大正方形的面積可表示為（x+x+2）2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形面積之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因?yàn)閤表示邊長(zhǎng)，所以2x+2＝12，即x＝5．遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個(gè)正根．小明用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0（m＞0、n＞0）時(shí)，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為14，小正方形的面積為4，則（）
A．m＝2，n＝3B．m＝，n＝2C．m＝，n＝2D．m＝2，n＝
三、解答題（本大題共有8小題，共計(jì)78分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
19．（20分）解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）x2+4x﹣1＝0；
（3）；
（4）3x（x﹣2）＝x﹣2．
20．（6分）關(guān)于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí)，求方程的兩個(gè)根．
21．（6分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，點(diǎn)E在AD上．
（1）∠BAD＝ °；
（2）求∠AED的度數(shù)．
22．（8分）“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神符號(hào)，中式圓的含蓄和韻味，被設(shè)計(jì)師一一運(yùn)用在了園林設(shè)計(jì)中，帶來(lái)了濃濃的古典風(fēng)情．如圖1，是某園林的一個(gè)圓形拱門，既美觀又實(shí)用，彰顯出中國(guó)元素的韻味，圖2是其示意圖．已知拱門圓的半徑為1.5m，拱門下端AB為1.8m．
（1）在圖2中畫出拱門圓的圓心O（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若拱門最高點(diǎn)為點(diǎn)D，求點(diǎn)D到地面（AB）的距離．
23．（8分）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日舉行．某商場(chǎng)銷售亞運(yùn)會(huì)文化衫，每件進(jìn)價(jià)為50元．試銷售期間發(fā)現(xiàn)，銷售定價(jià)為55元時(shí)，平均每天可售出2100件；銷售定價(jià)每上漲1元，銷售量就減少30件．
（1）當(dāng)每件文化衫的售價(jià)為58元時(shí)，平均每天售出件文化衫，銷售利潤(rùn)是元．
（2）若每件文化衫的售價(jià)上漲x元（x＞0），
①平均每天售出件文化衫（用含x的代數(shù)式表示）．
②若每天的銷售利潤(rùn)恰好為27000元，且獲利不超過(guò)35%，求x的值．
24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，與邊AC相交于點(diǎn)D，與邊AB相交于點(diǎn)E，作線段BE的垂直平分線PQ交BC、AB于點(diǎn)P、Q，連接EP．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）若AC＝3，BC＝4，OA為1，求線段EP的長(zhǎng)．
25．（10分）我們?cè)诎四昙?jí)上冊(cè)曾經(jīng)探索：把一個(gè)直立的火柴盒放倒（如圖1），通過(guò)對(duì)梯形ABCD面積的不同方法計(jì)算，來(lái)驗(yàn)證勾股定理．a(chǎn)、b、c分別是Rt△ABE和Rt△CDE的邊長(zhǎng)，易知AD＝c，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程稱為“勾氏方程”．
請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
（1）方程x2+2x+1＝0 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”；
（2）求證：關(guān)于x的“勾氏方程”ax2+cx+b＝0必有實(shí)數(shù)根；
（3）如圖2，⊙O的半徑為10，AB、CD是位于圓心O異側(cè)的兩條平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．若關(guān)于x的方程mx2+10x+n＝0是“勾氏方程”，連接AD，求∠BAD的度數(shù)．
26．（10分）如圖1，在矩形ABCD中，邊長(zhǎng)AB＝a，AD＝b，其中a、b（a＜b）分別是方程x2﹣7x+12＝0的兩個(gè)根，連接BD．點(diǎn)O從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)），速度為1個(gè)單位每秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）BD＝；
（2）如圖2，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接OD，將△ODC沿OD折疊，得到△ODP，連接BP，當(dāng)BP取最小值時(shí)，t為，此時(shí)，AP的值為；
（3）如圖3，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以O(shè)為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作半圓，交射線CB于Q，當(dāng)半圓O與△ABD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出t的取值范圍．
答案與試題解析
一、填空題（本大題共有12小題，每小題2分，共計(jì)24分．）
1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 x＝±2 ．
【分析】式子x2﹣4＝0先移項(xiàng)，變成x2＝4，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求4的平方根．
解：移項(xiàng)得x2＝4，
∴x＝±2．
故x＝±2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法．解這類問(wèn)題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開(kāi)方直接求解．
（1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”．
（2）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．
2．（2分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的一個(gè)根為﹣1，則k＝ ﹣2 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣x+k＝0得到關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得到答案．
解：根據(jù)題意得：
12﹣（﹣1）+k＝0，
解得：k＝﹣2，
故﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
3．（2分）已知⊙O半徑為4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為4.5cm，那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是在圓外．
【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓上，則d＝r；點(diǎn)在圓外，d＞r；點(diǎn)在圓內(nèi)，d＜r（d即點(diǎn)到圓心的距離，r即圓的半徑）．
解：∵OP＝4.5＞4，∴點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．
故在圓外．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價(jià)關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
4．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，可以將其變形為（x+h）2＝k（h、k為常數(shù)）的形式，則k＝ 1 ．
【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊都加上4，然后把方程左邊寫成完全平方形式，即可得出k的值．
解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，即（x﹣2）2＝1，
∴k＝1，
故1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程—配方法，熟練掌握配方法是關(guān)鍵．
5．（2分）已知圓錐的底面半徑是4，母線長(zhǎng)是5，則該圓錐的側(cè)面積是 20π （結(jié)果保留π）．
【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2．
解：∵底面圓的半徑為4，
∴底面周長(zhǎng)＝8π，
∴側(cè)面面積＝×8π×5＝20π．
故20π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解．
6．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 k＜4且k≠0 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．
解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k＞0，
解得k＜4且k≠0，
即k的取值范圍為k＜4且k≠0．
故k＜4且k≠0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
7．（2分）如圖，扇形OAB的半徑為1，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，∠BOP＝35°，則的長(zhǎng)l＝ π （結(jié)果保留π）．
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)求出∠AOB的度數(shù)，由弧長(zhǎng)公式即可計(jì)算．
解：由作圖知：OP垂直平分AB，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，
∵扇形的半徑是1，
∴的長(zhǎng)＝＝π．
故π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式．
8．（2分）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠P＝26°，則∠CAB＝ 32° ．
【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCP＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠COP，再根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．
解：連接OC，
∵CP是圓O的切線，
∴OC⊥CP，即∠OCP＝90°，
∵∠P＝26°，
∴∠COP＝90°﹣26°＝64°，
由圓周角定理得：∠CAB＝∠COP＝32°，
故32°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．
9．（2分）鎮(zhèn)江香醋甲天下，為開(kāi)拓醋的養(yǎng)生功能，某醋廠開(kāi)發(fā)出櫻桃醋．為打開(kāi)市場(chǎng)，該櫻桃醋經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，售價(jià)由原來(lái)的每瓶25元降至每瓶16元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程 25（1﹣x）2＝16 ．
【分析】設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格＝原價(jià)×（1﹣每次降價(jià)的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系．
解：由題意得：25（1﹣x）2＝16，
故25（1﹣x）2＝16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．
10．（2分）《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門高是 8 尺．
【分析】利用勾股定理建立方程，解方程得出門高即可．
解：設(shè)竿長(zhǎng)為x尺，則門寬為（x﹣4）尺，門高（x﹣2）尺，門對(duì)角線是x尺，根據(jù)勾股定理可得：
x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，
整理得：x2﹣12x+20＝0，
解得x＝2（舍去）或x＝10．
則門高：10﹣2＝8．
故8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)未知數(shù)建立關(guān)于未知數(shù)的方程是解題的關(guān)鍵．
11．（2分）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E，＝2，連接AD，過(guò)點(diǎn)B的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若∠AFB＝60°，則∠DEB＝ 90 °．
【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠ABF＝90°，結(jié)合∠AFB＝60°可求出∠BAF的度數(shù)，再根據(jù)弧之間的關(guān)系得出它們所對(duì)的圓周角之間的關(guān)系，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠DEB的度數(shù)．
解：如圖，連接OC，OD，
∵BF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，
∴OB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝60°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAF＝60°，
∵，
∴∠COA＝2∠BOD＝120°，
∴∠CDA＝∠COA＝60°，
∵∠DEB是△AED的一個(gè)外角，
∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝90°，
故90．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．
12．（2分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，，點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，連接BP，則BP的最大值是．
【分析】連接OB，OC，OA，OP，則△OBC是等腰直角三角形，得出OB＝OC＝4，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OPC＝90°，從而得出點(diǎn)P在以O(shè)C為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)C為直徑作⊙O'，連接O′B，O′P，當(dāng)P為BO′的延長(zhǎng)線與⊙O'的交點(diǎn)時(shí)，BP的長(zhǎng)取最大值，此時(shí)BP＝BO′+O′P，由勾股定理計(jì)算出O′B，即可得出答案．
解：如圖，連接OB，OC，OA，OP，
，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵，
∴OB＝OC＝4，
∵點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，OA＝OC，
∴OP⊥AC，
∴∠OPC＝90°，
∴點(diǎn)P在以O(shè)C為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
以O(shè)C為直徑作⊙O'，連接O′B，O′P，當(dāng)P為BO′的延長(zhǎng)線與⊙O'的交點(diǎn)時(shí)，BP的長(zhǎng)取最大值，此時(shí)BP＝BO′+O′P，
∵，
∴，
∴BP的最大值為，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
二、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共計(jì)18分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)符合題目要求．）
13．（3分）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）
A．2x﹣3＝xB．2x+3y＝5C．2x﹣x2＝1D．x+＝7
【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．
解：A、方程2x﹣3＝x為一元一次方程，不符合題意；
B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合題意；
C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合題意；
D、方程x+＝7是分式方程，不符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．
14．（3分）一元二次方程x2+5x+1＝0根的情況是（）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
【分析】利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可得．
解：一元二次方程x2+5x+1＝0中的a＝1，b＝5，c＝1，
則這個(gè)方程根的判別式為Δ＝52﹣4×1×1＝21＞0，
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．
15．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個(gè)根，則m+n的值為（）
A．2B．﹣2C．5D．﹣5
【分析】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：，，由此即可得出答案．
解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個(gè)根，
∴m+n＝﹣2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，AB、AD、DE是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是B、C、E．若AD＝20，AB＝12，則DE的長(zhǎng)是（）
A．6B．8C．10D．12
【分析】由題意得出AB＝AC＝12，DE＝CD，求出CD的長(zhǎng)即可得出答案．
解：∵AB、AD、DE是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是B、C、E，
∴AB＝AC＝12，DE＝CD，
∵CD＝AD﹣AC＝20﹣12＝8，
∴DE＝CD＝8，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解此題的關(guān)鍵．
17．（3分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADB＝18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）
A．5B．10C．12D．20
【分析】作正多邊形的外接圓，連接 AO，BO，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB＝36°，根據(jù)中心角的定義即可求解．
解：如圖，作正多邊形的外接圓，連接AO，BO，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為＝10．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．
18．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以x2+2x﹣35＝0為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程x2+2x﹣35＝0變形為x（x+2）＝35，然后畫四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，按如圖①所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖①中大正方形的面積可表示為（x+x+2）2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形面積之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因?yàn)閤表示邊長(zhǎng)，所以2x+2＝12，即x＝5．遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個(gè)正根．小明用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0（m＞0、n＞0）時(shí)，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為14，小正方形的面積為4，則（）
A．m＝2，n＝3B．m＝，n＝2C．m＝，n＝2D．m＝2，n＝
【分析】仿照題目中的運(yùn)算方法，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n，
∴四個(gè)矩形的長(zhǎng)為x+m，寬為x，
∴大正方形的面積可以表示為（x+x+m）2＝14，中間小正方形的面積為m2＝4，
∴m＝2，
∵大正方形的面積還可以表示為4x（x+m）+m2＝14，
∴，
∴，
綜上所述，，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共有8小題，共計(jì)78分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
19．（20分）解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）x2+4x﹣1＝0；
（3）；
（4）3x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】（1）利用直接開(kāi)平方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
解：（1）∵（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，
∴，
解得：，；
（3）∵，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3；
（4）∵3x（x﹣2）＝x﹣2，
∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
解得：x1＝2，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法，選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
20．（6分）關(guān)于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí)，求方程的兩個(gè)根．
【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，求解即可；
（2）根據(jù)（1）確定的k的取值范圍，得出k取最大整數(shù)值，代入方程，求解方程即可．
解：∵方程x2+2x+2k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，
∴k＜1，
∴當(dāng)k＜1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）∵k＜1，
∴k的最大整數(shù)值為0，
把k＝0代入方程x2+2x+2k﹣1＝0，
得方程x2+2x﹣1＝0，
解得，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根的情況，熟練掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
21．（6分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，點(diǎn)E在AD上．
（1）∠BAD＝ 70 °；
（2）求∠AED的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
（2）連接BD，由等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠ABD＝∠ADB＝55°，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
解：（1）∵在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝110°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
故70；
（2）如圖，連接BD，
∵AB＝AD，
∴，
∵四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠AED+∠ABD＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠ABD＝125°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
22．（8分）“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神符號(hào)，中式圓的含蓄和韻味，被設(shè)計(jì)師一一運(yùn)用在了園林設(shè)計(jì)中，帶來(lái)了濃濃的古典風(fēng)情．如圖1，是某園林的一個(gè)圓形拱門，既美觀又實(shí)用，彰顯出中國(guó)元素的韻味，圖2是其示意圖．已知拱門圓的半徑為1.5m，拱門下端AB為1.8m．
（1）在圖2中畫出拱門圓的圓心O（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若拱門最高點(diǎn)為點(diǎn)D，求點(diǎn)D到地面（AB）的距離．
【分析】（1）在拱門上找任意一點(diǎn)C，連接AC、BC，并做垂直平分線，利用垂徑定理可確定圓心的位置；
（2）連接AO，設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，構(gòu)造直角三角形AOE，然后根據(jù)勾股定理解答即可．
解：（1）如圖2，點(diǎn)O即為所求，
；
（2）連接AO，如圖3，
，
設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)O為圓心，連接EO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)D，
∴點(diǎn)D即為拱門為最高點(diǎn)，
∴DE⊥AB，
∵AB＝1.8m，OA＝1.5m，
，OD＝1.5m，
在Rt△AEO中，
＝1.2（m），
∴DE＝DO+OE＝1.5+1.2＝2.7（m），
∴點(diǎn)D到地面（AB）的距離為2.7m．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，能夠準(zhǔn)確作出輔助線，根據(jù)直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
23．（8分）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日舉行．某商場(chǎng)銷售亞運(yùn)會(huì)文化衫，每件進(jìn)價(jià)為50元．試銷售期間發(fā)現(xiàn)，銷售定價(jià)為55元時(shí)，平均每天可售出2100件；銷售定價(jià)每上漲1元，銷售量就減少30件．
（1）當(dāng)每件文化衫的售價(jià)為58元時(shí)，平均每天售出 2010 件文化衫，銷售利潤(rùn)是 16080 元．
（2）若每件文化衫的售價(jià)上漲x元（x＞0），
①平均每天售出（2100﹣30x）件文化衫（用含x的代數(shù)式表示）．
②若每天的銷售利潤(rùn)恰好為27000元，且獲利不超過(guò)35%，求x的值．
【分析】（1）利用日銷售量＝2100﹣30×每件文化衫的售價(jià)上漲的錢數(shù)，可求出日銷售量，再利用每天的銷售利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×日銷售量，即可求出每天的銷售利潤(rùn)；
（2）①利用日銷售量＝2100﹣30×每件文化衫的售價(jià)上漲的錢數(shù)，可用含x的代數(shù)式表示出日銷售量；
②利用每天的銷售利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×日銷售量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
解：（1）根據(jù)題意得：當(dāng)每件文化衫的售價(jià)為58元時(shí)，平均每天售出2100﹣30×（58﹣55）＝2010（件）文化衫，
銷售利潤(rùn)是（58﹣50）×2010＝16080（元）．
故2010，16080；
（2）①根據(jù)題意得：平均每天售出（2100﹣30x）件文化衫．
故（2100﹣30x）；
②根據(jù)題意得：（55+x﹣50）（2100﹣30x）＝27000，
整理得：x2﹣65x+550＝0，
解得：x1＝10，x2＝55，
又∵獲利不超過(guò)35%，
∴x＝10．
答：x的值為10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（2）①根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出日銷售量；②找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，與邊AC相交于點(diǎn)D，與邊AB相交于點(diǎn)E，作線段BE的垂直平分線PQ交BC、AB于點(diǎn)P、Q，連接EP．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）若AC＝3，BC＝4，OA為1，求線段EP的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的兩銳角互余得出∠NEB+∠AEO＝90°即可；
（2）利用線段中垂線的性質(zhì)以及勾股定理列方程求解即可．
（1）證明：如圖，連接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵PQ是BE的中垂線，
∴PE＝PB，
∴∠B＝∠PEB，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠PEB+∠OEA＝90°，
∴∠OEP＝180°﹣90°＝90°，
即OE⊥PE，
∵OE是半徑，
∴PE是⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接OP，
∵PQ是BE的中垂線，
∴EP＝PB，
設(shè)EP＝x＝PB，
在Rt△COP中，OP2＝OC2+CP2，
在Rt△OEP中，OP2＝OE2+EP2，
∴OC2+CP2＝OE2+EP2，
即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2，
解得x＝，
即EP＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定，線段的中垂線以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握切線的判定方法，線段中垂線的性質(zhì)以及勾股定理是正確解答的前提．
25．（10分）我們?cè)诎四昙?jí)上冊(cè)曾經(jīng)探索：把一個(gè)直立的火柴盒放倒（如圖1），通過(guò)對(duì)梯形ABCD面積的不同方法計(jì)算，來(lái)驗(yàn)證勾股定理．a(chǎn)、b、c分別是Rt△ABE和Rt△CDE的邊長(zhǎng)，易知AD＝c，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程稱為“勾氏方程”．
請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
（1）方程x2+2x+1＝0 是（填“是”或“不是”）“勾氏方程”；
（2）求證：關(guān)于x的“勾氏方程”ax2+cx+b＝0必有實(shí)數(shù)根；
（3）如圖2，⊙O的半徑為10，AB、CD是位于圓心O異側(cè)的兩條平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．若關(guān)于x的方程mx2+10x+n＝0是“勾氏方程”，連接AD，求∠BAD的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)“勾氏方程”的定義即可判斷；
（2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定義即可解決問(wèn)題；
（3）如圖，連接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延長(zhǎng)線交AB于F，利用勾股定理求出OE＝m，OF＝n，在利用全等三角形的判定與性質(zhì)推導(dǎo)出∠DOB＝90°即可解決問(wèn)題．
（1）解：x2+2x+1＝0是“勾氏方程”，理由如下：
∵x2+2x+1＝0中，，
∴，
∴a2+b2＝c2，a，b，c能構(gòu)成直角三角形，
∴方程x2+2x+1＝0是“勾氏方程”；
（2）證明：∵關(guān)于x的方程是“勾氏方程”，
∴a，b，c構(gòu)成直角三角形，c是斜邊，
∴c2＝a2+b2，
∵Δ＝2c2﹣4ab，
∴Δ＝2（a2+b2﹣2ab）＝2（a﹣b）2≥0，
∴關(guān)于x的“勾氏方程”必有實(shí)數(shù)根．
（3）解：連接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延長(zhǎng)線交AB于F，如圖：

∵關(guān)于x的方程是“勾氏方程”，
∴m，n，10構(gòu)成直角三角形，10是斜邊，
∴m2+n2＝102
∵AB∥CD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，，
∴∠OED＝∠OFB＝90°，，
∴DE2+OE2＝OD2，OF2+BF2＝OB2，即n2+OE2＝102，OF2+m2＝10，
又m2+n2＝102，
∴OE＝m，OF＝n，
∴DE＝OF，OE＝BF，
∴△OED≌△BFO（SSS），
∴∠EOD＝∠OBF，
∵∠OBF+∠BOF＝90°，
∴∠EOD+∠BOF＝90°，
∴∠DOB＝90°，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、一元二次方程根的判別式、全等三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是挖掘新定義中最本質(zhì)的關(guān)系：勾氏方程滿足a2+b2＝c2，利用這個(gè)關(guān)系即可轉(zhuǎn)化邊并證明邊相等．
26．（10分）如圖1，在矩形ABCD中，邊長(zhǎng)AB＝a，AD＝b，其中a、b（a＜b）分別是方程x2﹣7x+12＝0的兩個(gè)根，連接BD．點(diǎn)O從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)），速度為1個(gè)單位每秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）BD＝ 5 ；
（2）如圖2，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接OD，將△ODC沿OD折疊，得到△ODP，連接BP，當(dāng)BP取最小值時(shí)，t為，此時(shí)，AP的值為；
（3）如圖3，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以O(shè)為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作半圓，交射線CB于Q，當(dāng)半圓O與△ABD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出t的取值范圍．
【分析】（1）先解一元二次方程，得到AB＝3，AD＝4根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到∠ABD＝90°，利用勾股定理即可求解；
（2）由折疊的性質(zhì)得到△DOP≌△DOC，即DP＝CD＝AD，∠DPO＝90°，當(dāng)點(diǎn)O在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DP的長(zhǎng)度和BD的長(zhǎng)度是固定不變的，由此可以得到當(dāng)點(diǎn)B、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，BP的長(zhǎng)度最短，即有最小值，最小值為BD﹣DP，此時(shí)∠BPO＝90°，再根據(jù)正弦的定義即可求解，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB垂足為E點(diǎn)，證明△PBO∽△EPB，利用相似三角形的性質(zhì)求出AE，EP，再利用勾股定理即可求AP的值；
（3）根據(jù)題意，分為當(dāng)半圓O與BD有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)半圓O與BD有1個(gè)交點(diǎn)，與AB有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)半圓O與BD有1個(gè)交點(diǎn)，與AD有1個(gè)交點(diǎn)；三種情況討論，分別求出半徑的范圍，即可得到t的取值范圍．
解：（1）x2﹣7x+12＝0，即（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∵邊長(zhǎng)AB＝a，AD＝b，其中a、b（a＜b）分別是方程x2﹣7x+12＝0的兩個(gè)根，
∴AB＝3，AD＝4，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，，
故5；
（2）由折疊的性質(zhì)得：△DOP≌△DOC，
∴DP＝CD＝AB，∠DPO＝∠DCB＝90°，
點(diǎn)O在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
∵DP的長(zhǎng)度和BD的長(zhǎng)度是固定不變的，如圖2.1，
∵BD﹣DP≤BP，
∴當(dāng)點(diǎn)B、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，BP的長(zhǎng)度最短，即有最小值，最小值為BD﹣DP，
如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB垂足為E點(diǎn)，
此時(shí)，∠BPO＝90°，
由（1）知BD＝5，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴
∵PO＝OC，
∴，，
∴，
此時(shí)，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB＝∠BPO＝90°，
∵∠CBD+∠ABD＝∠BPE+∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠BPE，
∴△PBO∽△EPB，
∴，
∴，
∴，
在Rt△AEP中，，
故，；
（3）如圖3.1，當(dāng)半圓O與BD相切時(shí)，此時(shí)半圓O與△ABD的邊有1個(gè)交點(diǎn)，即為切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為H，連接OH，

∵∠BHO＝90°，OH＝OC，
∴，
∴，
此時(shí)，，
如圖3.2，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)半圓O與△ABD的邊有2個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)，BC為半圓O的直徑，
∴，
∴t＝2÷1＝2，
∴當(dāng)時(shí)，半圓O與BD有2個(gè)交點(diǎn)，
即半圓O與△ABD的邊有2個(gè)交點(diǎn)；
如圖3.3，此時(shí)，半圓O與BD有1個(gè)交點(diǎn)，與AB有1個(gè)交點(diǎn)，
如圖3.4，當(dāng)半圓O與AD相切時(shí)，此時(shí)半圓O與△ABD的邊有3個(gè)交點(diǎn)，設(shè)AD與半圓O相切點(diǎn)為M，連接OM，
∵OM＝OC＝AB＝3，
∴t＝3÷1＝3，
∴當(dāng)2＜t＜3時(shí)，半圓O與BD有1個(gè)交點(diǎn)，與AB有1個(gè)交點(diǎn)，
即半圓O與△ABD的邊有2個(gè)交點(diǎn)；
如圖3.5，當(dāng)半圓O與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)半圓O與△ABD的邊有3個(gè)交點(diǎn)；連接OA，
∵∠ABD+∠CBD＝∠CBD+∠BDC＝90°，
∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABO＝∠BCD＝90°，
∴△ABO∽△BCD，
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖3.6，當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)，
∴OC＝BC＝4，
∴t＝4÷1＝4，
∴當(dāng)時(shí)，半圓O與BD有1個(gè)交點(diǎn)，與AD有1個(gè)交點(diǎn)，
即半圓O與△ABD的邊有2個(gè)交點(diǎn)；
綜上，半圓O與△ABD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，矩形判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是畫出圖形，分類討論．
測(cè)試項(xiàng)目
創(chuàng)新能力
綜合知識(shí)
語(yǔ)言表達(dá)
測(cè)試成績(jī)（分?jǐn)?shù)）
70
80
90
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
甲的射擊成績(jī)

8

乙的射擊成績(jī)
8

測(cè)試項(xiàng)目
創(chuàng)新能力
綜合知識(shí)
語(yǔ)言表達(dá)
測(cè)試成績(jī)（分?jǐn)?shù)）
70
80
90
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
甲的射擊成績(jī)
8
8
8
乙的射擊成績(jī)
8
8.5
9

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