1、函數(shù)的奇偶性
2、周期性
(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
常用結(jié)論
1．奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．
2．函數(shù)周期性常用結(jié)論
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f?x?)，則T＝2a(a>0)．
3．函數(shù)對稱性常用結(jié)論
(1)f(a－x)＝f(a＋x)?f(－x)＝f(2a＋x)?f(x)＝f(2a－x)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(a＋b,2)對稱．
f(a＋x)＝－f(b－x)?f(x)的圖象關(guān)于點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))對稱．
1、【2022年全國乙卷】已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為的圖像關(guān)于直線對稱，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
代入得，即，
所以，
.
因為，所以，即，所以.
因為，所以，又因為，
聯(lián)立得，，
所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，
所以
因為，所以.
所以.
故選：D
2、【2022年新高考2卷】已知函數(shù)的定義域為R，且，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．
因為，，，，，所以
一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．
故選：A．
3、【2021年甲卷文科】設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.
【詳解】
由題意可得：，
而，
故.
故選：C.
4、【2021年甲卷理科】設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為是奇函數(shù)，所以①；
因為是偶函數(shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
思路二：從周期性入手
由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．
所以．
故選：D．
5、【2021年乙卷文科】設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.
【詳解】
由題意可得，
對于A，不是奇函數(shù)；
對于B，是奇函數(shù)；
對于C，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；
對于D，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).
故選：B
6、【2021年新高考2卷】已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.
【詳解】
因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，
因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，
所以，，即，
故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，
故，其它三個選項未知.
故選：B.
7、【2020年新課標2卷理科】設(shè)函數(shù)，則f(x)（ ）
A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當時，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當時，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.
【詳解】
由得定義域為，關(guān)于坐標原點對稱，
又，
為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；
當時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，排除B；
當時，，
在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.
故選：D.
8、【2020年新課標2卷文科】設(shè)函數(shù),則（ ）
A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減
【答案】A
【解析】因為函數(shù)定義域為，其關(guān)于原點對稱，而，
所以函數(shù)為奇函數(shù)．
又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增．
故選：A．
9、【2020年新高考1卷（山東卷）】若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以在上也是單調(diào)遞減，且，，
所以當時，，當時，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以滿足的的取值范圍是，
故選：D.
1、下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為
A B C D
【答案】D
【解析】A是增函數(shù)，不是奇函數(shù)；B和C都不是定義域內(nèi)的增函數(shù)，排除，只有D正確，故選D．
2、已知是奇函數(shù)，且當時，．若，則__________．
【答案】
【解析】：，得，．
3、（2022·廣東省普通高中10月階段性質(zhì)量檢測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為___________.
【答案】
【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，
整理得恒成立，解得，經(jīng)檢驗當時，函數(shù)是奇函數(shù).
故答案為：
4、（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則______.
【答案】
【解析】依題意函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，
，
，
恒成立，所以，
所以.
故答案為：
考向一 奇偶性的定義與判斷
例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性．
(1)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；
(2)f(x)＝eq \r(3－2x)＋eq \r(2x－3)；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；
(5)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x>0，,x2－x，x0時，f(x)＝x2＋x，則當x0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
當x0時，－x0恒成立，
所以函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱．
因為f(x)－f(－x)＝x[lg (x＋ eq \r(x2＋1))＋lg (－x＋ eq \r(x2＋1))]＝0，
所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)為偶函數(shù)．
(2) 由題意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)≥0，,1－x≠0，))解得－1≤x0.
因為f(x)＋f(－x)＝－x2＋2x＋1＋x2－2x－1＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)為奇函數(shù)．
(4) 由題意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,|x＋3|≠3，))解得－2≤x≤2，且x≠0，所以定義域關(guān)于原點對稱．
因為f(x)＝ eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x＋3－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x)，
所以f(x)＋f(－x)＝ eq \f(\r(4－x2),x)－ eq \f(\r(4－x2),x)＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)為奇函數(shù)．
方法總結(jié)：1. 判斷函數(shù)的奇偶性，首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱．若函數(shù)定義域關(guān)于原點不對稱，則此函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；若定義域關(guān)于原點對稱，再化簡解析式，根據(jù)f(－x)與f(x)的關(guān)系結(jié)合定義作出判斷．
2. 在函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的條件下，要說明一個函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，必須證明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))對定義域中的任意x都成立；而要說明一個函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，則只須舉出一個反例就可以了．
3. 分段函數(shù)指在定義域的不同子集有不同對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x＞0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關(guān)系時，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性．
考向二 函數(shù)的周期性及應(yīng)用
例2、已知定義在上的函數(shù)滿足，且圖像關(guān)于對稱，當時，，則________.
【答案】-2
【解析】
因為圖像關(guān)于對稱，則，
，
故是以8為周期的周期函數(shù)，
故答案為：.
變式1、函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為 ．
【答案】
【解析】因為函數(shù)滿足()，所以函數(shù)的最小正周期是4．因為在區(qū)間 上，，所以．
變式2、已知函數(shù)f(x)的定義域為R．當x0，))則f(2 023)＝________.
【答案】 －1
【解析】 當x>0時，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期為6，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)
＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
方法總結(jié)：(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期為T．
(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．
(3)在解決具體問題時，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用．
(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隱含周期的條件：，，，，，等
考向三 函數(shù)奇偶性與單調(diào)性、周期性的應(yīng)用
例3、（1）設(shè)是定義域為R的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則
A．（lg3）＞（）＞（）
B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3）
D．（）＞（）＞（lg3）
【答案】C
【解析】 是定義域為的偶函數(shù)，所以，因為，，所以，又在上單調(diào)遞減，所以． 故選C．
（2）(2022·沭陽如東中學(xué)期初考試)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，有下列四個命題：
甲：f(x)是奇函數(shù)； 乙：f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱；
丙：f(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減； ?。汉瘮?shù)f(x)的周期為2．
如果只有一個假命題，則該命題是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】由函數(shù)f(x)的特征可知：函數(shù)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減，其中該區(qū)間的寬度為2，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減，與函數(shù)f(x)的周期為2互相矛盾，即：丙和丁中有一個為假命題，若甲乙成立，故f(－x)＝－f(x)，則f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)的周期為4，即丁為假命題，由于只有一個假命題，故答案選D．
變式1、函數(shù)f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1) 求f(1)的值；
(2) 判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
(3) 當x>0時，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．
【解析】 (1) 由題意，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
(2) 函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱．
因為f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝f(1)＝0，
所以f(－1)＝0，
所以f(－1·x)＝f(x)＋f(－1)，
即f(x)＝f(－x)，
所以f(x)為偶函數(shù)．
(3) 由題意，得f(4)＋f(4)＝f(16)＝2，
f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝f(1)＝0，
所以f(x)＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))).
不妨設(shè)x1>x2>0，
則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))＝f(x1)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))＝f(x1)－f(x2)>0，
所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
又f(x)為偶函數(shù)．
所以f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減．
因為f(x－1)

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講精練 第03講 函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講精練 第03講 函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講精練第03講函數(shù)的奇偶性對稱性與周期性原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講精練第03講函數(shù)的奇偶性對稱性與周期性解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共60頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練第03講 函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性（分層精練)（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練第03講 函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性（分層精練)（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練第03講函數(shù)的奇偶性對稱性與周期性分層精練原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練第03講函數(shù)的奇偶性對稱性與周期性分層精練解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共19頁， 歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第10講函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第10講函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性(原卷版+解析)，共25頁。試卷主要包含了函數(shù)的奇偶性，周期性等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案(新高考)第10講函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案(新高考)第10講函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性(原卷版+解析)
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講練+易錯題型第09講 函數(shù)的奇偶性與周期性（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講練+易錯題型第09講 函數(shù)的奇偶性與周期性（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第10講 函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第10講 函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性（2份打包，原卷版+解析版）
高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.3函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性(精講)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.3函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性(精講)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部