一、選擇題
1．已知集合,,又,那么集合P的真子集共有( )
A.3個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)
2．已知集合,集合,若,則( )
A.B.0C.1D.2
3．下列對(duì)應(yīng)關(guān)系:
①,,的平方根;
②,,的倒數(shù);
③,,;
④,,.
其中f是A到B的函數(shù)的是( )
A.①③B.②④C.②③D.③④
4．已知實(shí)數(shù),則函數(shù)的最小值為( )
A.5B.6C.7D.8
5．下列說法正確的是( ).
A.若,則
B.若,,則
C.若,,則
D.若,,則
6．設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是( )
A.B.C.D.
7．區(qū)間是關(guān)于x的一元二次不等式的解集,則的最小值是( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)，，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，與至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列四個(gè)結(jié)論中,正確的結(jié)論是( )
A.與表示同一個(gè)函數(shù).
B.“”的充分不必要條件是“”.
C.已知,,則的取值范圍的取值范圍是.
D.函數(shù)的值域?yàn)?
10．下列說法正確的有( )
A.的最小值為2.
B.函數(shù)的最小值為2.
C.若x,y為正實(shí)數(shù),若,則的最小值為3.
D.設(shè)x,y為正實(shí)數(shù),若,則的最大值為.
11．對(duì),表示不超過x的最大整數(shù),如,,我們把,叫做取整函數(shù),也稱為高斯函數(shù).以下關(guān)于“高斯函數(shù)”的命題,其中是真命題有( )
A.,,
B.,,若,則
C.,
D.不等式的解集為
三、填空題
12．若函數(shù)的定義域是,則函數(shù)的定義域是________.
13．已知函數(shù),若關(guān)于x的不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
四、雙空題
14．已知命題,,則p的否定是_________,命題p是_________（填入“真”或“假”）命題.
五、解答題
15．已知全集,集合,
（1）若,求;
（2）若“”是“”充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
16．已知,.
（1）若不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
（2）求不等式的解集.
17．某開發(fā)商計(jì)劃2024年在泉州開發(fā)新的游玩項(xiàng)目,全年需投入固定成本萬元,若該項(xiàng)目在2024年有x萬人游客,則需另投入成本萬元,且,該游玩項(xiàng)目的每張門票售價(jià)為60元.
（1）求2024年該項(xiàng)目的利潤（萬元）關(guān)于人數(shù)（萬人）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本）;
（2）當(dāng)2024年的游客為多少時(shí),該項(xiàng)目所獲利潤最大?最大利潤是多少.
18．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的解析式;
（2）設(shè),若存在使成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
19．取名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理.該定理表明:對(duì)于滿足一定條件的圖象連續(xù)不間斷的函數(shù),在其定義域內(nèi)存在一點(diǎn),使得,則稱為函數(shù)的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”.若,則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”.將函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B,即,,.已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn);
（2）若對(duì)于任意,函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
（3）若時(shí),且,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：因?yàn)?
又,所以,
所以集合的真子集有:
,,,,,,共7個(gè).
故選B.
2．答案：A
解析：因?yàn)?且集合中,
所以集合A中的元素,解得,
又因?yàn)?所以,所以或,
若,解得或,
經(jīng)檢驗(yàn),時(shí),與集合中元素的互異性矛盾,時(shí),滿足題意,
若,由上述過程可知,不滿足題意;
綜上,所以,
故選:A.
3．答案：D
解析：對(duì)于①,集合A中的一個(gè)元素,在集合B中能找到兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),不是函數(shù).
對(duì)于②,集合A中有一個(gè)元素0,在B集合中沒有對(duì)應(yīng)元素,不是函數(shù).
對(duì)于③,集合A中任一元素,都有B中唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng),是函數(shù).
對(duì)于④,集合A中任一元素,都有B中唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng),是函數(shù).
故選D.
4．答案：B
解析：實(shí)數(shù),
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,
函數(shù)的最小值為6.
故選:B.
5．答案：D
解析：對(duì)于A,若,不一定有,如當(dāng)時(shí),故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,因?yàn)?所以,
又因?yàn)?所以,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,若,,則不一定成立,
如當(dāng),,時(shí),,此時(shí),故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,,
因?yàn)?,所以,
所以,故,故D正確.
故選:D.
6．答案：B
解析：因?yàn)椋裕?br>不等式等價(jià)于或，
解得或或，
所以不等式的解集為.
故選：B
7．答案：A
解析：由題意知a,b是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
則有,,,所以,且a,b是兩個(gè)不同的正數(shù),
則有,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,,等號(hào)成立,
故的最小值是.
故選:A.
8．答案：B
解析：當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上恒成立，，
而，所以在上需恒成立，
又因?yàn)殚_口向上，所以或，
解得或，所以；
當(dāng)時(shí)，，不恒成立，故不符合；
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上恒成立，，
而，所以在上需恒成立，
又因?yàn)殚_口向下，所以在上不恒成立，故不符合；
綜上可得.
故選：B.
9．答案：AC
解析：對(duì)于A,的定義域?yàn)?與的定義域?yàn)橄嗤?
而,解析式相同,故表示同一個(gè)函數(shù),故A正確;
對(duì)于B,滿足的數(shù)不一定滿足,滿足的數(shù)一定滿足,
故B不符合題意.
對(duì)于C:因?yàn)?,又,則,
所以,所以,所以的取值范圍的取值范圍是,故C正確;
對(duì)于D,令,則,因?yàn)?,
所以,即函數(shù)的值域?yàn)?故D錯(cuò)誤;
故選:AC.
10．答案：CD
解析：對(duì)于A,取,得,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,,
但時(shí),方程無解,所以“=”取不到,最小值不是2,所以B錯(cuò).
對(duì)于C,若為正實(shí)數(shù),由,得,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),C正確.;
對(duì)于D,由,得,
則,解得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),D正確.
故選:CD
11．答案：ABD
解析：對(duì)于A,,,,所以A為真命題;
對(duì)于B,因?yàn)?
所以,,
所以,B為真命題;
對(duì)于C,,,所以C為假命題;
對(duì)于D,解不等式,
得或,
所以不等式的解集為,D為真命題.
故選:.
12．答案：
解析：由題意可得中,,,
故的定義域?yàn)?
故,故,故的定義域?yàn)?
故答案為:
13．答案：
解析：由于函數(shù),作出圖象如圖所示:
由可得:.
當(dāng)時(shí),,不等式無解;
當(dāng)時(shí),由得:,
若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解,由于,,,
則整數(shù)解為0和1,又,
;
當(dāng)時(shí),由得:,
若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解,由于,則整數(shù)解為和,
又,,,
綜上所述:實(shí)數(shù)m的取值范圍為:.
故答案為:.
14．答案：,;假
解析：命題p的否定是：,
當(dāng),且不為0時(shí),有,所以命題p是假命題.
故答案為：,;假.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）當(dāng)時(shí),,,
因?yàn)?所以;
（2）若“”是“”的充分不必要條件,即,
當(dāng)時(shí),,此時(shí),滿足,
當(dāng)時(shí),則,解得:,且和不能同時(shí)成立,
綜上所述:實(shí)數(shù)a的取值范圍為
16．答案：（1）
（2）答案見解析
解析：（1）因?yàn)?
則不等式,可化為,
即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立,
當(dāng)時(shí),即時(shí),不等式為,解得,不符合題意;
當(dāng)時(shí),則滿足,解得,
綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
（2）由不等式,可得,即,
①當(dāng)時(shí),不等式可化為,解得
當(dāng)時(shí),方程的解,或,
②當(dāng)時(shí),,或;
③當(dāng)時(shí),
（i）當(dāng)時(shí),即,;
（ii）當(dāng)時(shí)不等式的解集為,
（iii）當(dāng)時(shí),,,
綜上可得:
當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;
當(dāng),原不等式的解集為,
當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),原不等式的解集為.
17．答案：（1）
（2）游客為30萬人時(shí)利潤最大,最大為205萬.
解析：（1）依題意,
又,
所以,
即;
（2）當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),
所以,
當(dāng)時(shí),,
則在上單調(diào)遞增,所以,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,故,
,
綜上,游客為30萬人時(shí)利潤最大,最大為205萬.
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）,則,又,則;
（2）,又存在使成立,即在上有解,
令,設(shè),易得在單減,則,
即,故實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
19．答案：（1）為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)
（2）
（3）
解析：（1）當(dāng)時(shí),,
設(shè)為不動(dòng)點(diǎn),因此,解得或,
所以1,2為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).
（2）因?yàn)楹阌袃蓚€(gè)不動(dòng)點(diǎn),
即恒有兩個(gè)不等實(shí)根,
整理為,
所以且恒成立.
即對(duì)于任意,恒成立.
令,,,
故或,又,
.
（3）時(shí),
,有實(shí)根,
,
記,則關(guān)于x的方程的解為方程組的解x的值,
兩式相減可得,
,即要使與有相同的解,
則與的x的解集相同,
所以方程無解或其解與相同,
即無解或其解為,
所以,,
綜上,所以實(shí)數(shù)n的取值范圍是.

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