1．設(shè)，為非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．已知角是第二象限角，，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，是單位向量，且，則為（ ）
A．B．C．3D．5
4．已知等邊三角形的邊長是，、分別是、的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量、滿足，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
6．先把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸可以是（ ）
A．B．C．D．
7．已知角滿足，則（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在中，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、設(shè)，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．下列選項(xiàng)說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，，均為非零向量，則
B．已知向量，滿足，，則的取值范圍是
C．已知非零向量，滿足，則A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)梯形
D．若，則
10．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像
D．若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是
11．對(duì)于函數(shù)，下列正確的有（ ）
A．是偶函數(shù)B．在區(qū)間單調(diào)遞增
C．是周期函數(shù)且最小正周期為D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
三、填空題
12．已知向量，的模相等且夾角為，若向量與向量垂直，則實(shí)數(shù) ．
13．已知平面向量，滿足，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為 .
14．函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)對(duì)稱中心是，則的值為 .
四、解答題
15．（1）已知，求的值；
（2）若，求的值.
16．設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．
(1)若，求證：三點(diǎn)共線；
(2)若與共線，求實(shí)數(shù)k的值，并指出與反向共線時(shí)k的取值
17．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖像向左平移單位長度，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求在上的值域．
18．如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
(1)令，，用，表示；
(2)求線段的長．
19．已知函數(shù)（其中，，）的圖象過點(diǎn)，且圖象上與點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求函數(shù)的解析式并用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象簡圖；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值.
(3)利用上一問的結(jié)果，若對(duì)任意的，恒有，求的取值范圍.
答案
1．B
【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可得兩者之間的條件關(guān)系.
【詳解】若，則，模長相等，但它們的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，則，
故“”是“”的必要不充分條件，
故選：B.
2．A
【分析】由已知直接利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算求解.
【詳解】因?yàn)榻鞘堑诙笙藿牵?，又，所以?br>故選：A.
3．B
【分析】由，兩邊平方可得，再將平方即可得答案.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，是單位向量，所?br>由則，
所以，
故選：B.
4．B
【分析】將向量、用基底表示，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.
【詳解】如下圖所示：

因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L是，、分別是、的中點(diǎn)，
則，
由得，可得，
由平面向量數(shù)量積的定義可得，
因此，
.
故選：B.
5．C
【分析】設(shè)向量、的夾角為，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，再利用投影向量的定義可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)向量、的夾角為，因?yàn)椋傻茫?br>所以，在上的投影向量為.
故選：C.
6．D
【分析】利用輔助角公式化簡整理函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的變換得到函數(shù)，令，求得函數(shù)的對(duì)稱軸.
【詳解】由題意可得：，
經(jīng)過題中的一系列變換得到，
令，，解得：，，
對(duì)各項(xiàng)驗(yàn)證可得：當(dāng)時(shí)，.
故選：D.
7．A
【分析】法一，根據(jù)條件，通過構(gòu)角，得到，即可求解；法二，利用余弦的和角公式，得到，再利用條件和平方關(guān)系，直接求出，代入即可求解.
【詳解】法一：因?yàn)?，所以?br>整理得，所以，又，
則，
法二：，所以，
即①，又，，
解得或，
代入①式，得到，化簡得，
故選：A.
8．C
【分析】根據(jù)，結(jié)合平面向量的減法可得出，結(jié)合，，可得出，利用、、三點(diǎn)共線，可求出的值.
【詳解】連接，因?yàn)辄c(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，
即，所以，，
又因?yàn)?，，則，
因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，設(shè)，則，
所以，，且、不共線，
所以，，，故，因此，.
故選：C.
9．ACD
【分析】通過分析不同情況下的向量的特點(diǎn)，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，
選項(xiàng)A，
與共線，與共線，
∴不一定成立，
∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，
與的方向相同時(shí)，取得最小值3，
與的方向相反時(shí)，取得最大值5，
∴選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C，
A，B，C，D四點(diǎn)共線時(shí)不能構(gòu)成一個(gè)梯形，
∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，
，，方向不確定，
∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：ACD．
10．ACD
【分析】首先根據(jù)題意得到，
對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)，即可判斷B錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)C，將向右平移，得到，即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)的圖象即可判斷D正確.
【詳解】由圖可知：的最小正周期，
當(dāng)時(shí)，，所以；
對(duì)于A，，正確；
對(duì)于B，，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，將向右平移，得到，正確；
對(duì)于D，的大致圖像如下：
欲使得在內(nèi)方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則，正確；
故選：ACD.
11．ABD
【分析】對(duì)于A根據(jù)奇偶性的定義驗(yàn)證即可判斷，對(duì)于B當(dāng)時(shí)，，則 即可判斷，對(duì)于C驗(yàn)證即可判斷，對(duì)于D驗(yàn)證是否成立即可.
【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故A正確；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，
且，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知B正確；
因?yàn)椋?br>所以是的一個(gè)周期，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確．
故選：ABD.
12．2
【分析】利用向量數(shù)量積的定義、數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算得解.
【詳解】由向量，的模相等且夾角為，得，
由向量與向量垂直，得，
而，所以.
故2
13．
【分析】根據(jù)條件，利用投影向量的定義得到，再利用向量夾角公式，即可求解.
【詳解】因在上的投影向量為，即，
則，又，則得，
所以，
又，故向量與向量的夾角為，
故答案為.
14．
【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱中心可得結(jié)果.
【詳解】由題意得，，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，，故的值為.
故答案為.
15．（1），（2）
【分析】（1）根據(jù)余弦的和差角公式的展開式，聯(lián)立可得即可根據(jù)弦切互化求解，
（2）根據(jù)平方和公式，結(jié)合余弦和角公式即可求解.
【詳解】（1）由可得故
故，
（2）由可得，故，
即，解得
16．(1)證明見解析
(2)，
【分析】（1）要證明三點(diǎn)共線，即證明三點(diǎn)組成的兩個(gè)向量共線即可.
（2）由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.
【詳解】（1）由，
得，
，
所以，且有公共點(diǎn)B，
所以三點(diǎn)共線.
（2）由與共線，
則存在實(shí)數(shù)，使得，
即，
又是不共線的兩個(gè)非零向量，因此，
解得，或，
實(shí)數(shù)k的值是.
當(dāng)時(shí)，與反向共線
17．(1)最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
(2).
【分析】（1）利用二倍角正余弦公式及輔助角公式可得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期和遞減區(qū)間.
（2）由（1）及圖象平移有，應(yīng)用整體法及正弦函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間值域.
【詳解】（1）由題設(shè)，，
所以的最小正周期為，
令，，解得，，
因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．
（2）由（1）知，，
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得的圖象，
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，
∵，則，
∴，則．
∴在上的值域?yàn)椋?br>18．(1)
(2)
【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算求解；
（2）利用三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，求得，同時(shí)證明是等邊三角形，然后把平方可得．
【詳解】（1）∵，分別為，的中點(diǎn)，
∴；
（2）設(shè)，
∵，分別為，的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，
所以，解得，
即，
由已知與平行且相等，因此是平行四邊形，
所以，是等邊三角形，
所以．
19．(1),圖象如圖所示
(2)
(3)
【分析】（1）利用已知條件依次確定的值，即得函數(shù)解析式，通過函數(shù)的一個(gè)周期，運(yùn)用五點(diǎn)法作圖即得；
（2）利用平移變換和題設(shè)條件，求得，即可求得的最小值；
（3）根據(jù)不等式恒成立等價(jià)于求函數(shù)在上的最大值，接著求解一元二次不等式即得.
【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由題意，，
且，解得，則，即有，
將點(diǎn)代入，化簡可得，則，
即，因，故得，即.
取函數(shù)在一個(gè)周期上的五點(diǎn)列表如下：
在直角坐標(biāo)系中作圖如下：
（2）依題意，是偶函數(shù)，
故，解得，即，
因，則得，則時(shí)，取得最小值為 .
（3）由（2）分析可得，因，則，
結(jié)合余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)可得，故得，
因?qū)θ我獾?，恒有成立，故得?br>解得或，即的取值范圍為.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
C
D
A
C
ACD
ACD
題號(hào)
11









答案
ABD









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