一、選擇題
1．復數(shù)（i為虛數(shù)單位）復平面內對應的點位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．設集合，，則( )
A.B.C.D.
3．已知數(shù)列滿足，若，則( )
A.B.C.12D.36
4．已知向量，，若，則( )
A.-6B.0C.D.
5．遺忘曲線由德國心理學家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律，某同學利用信息技術擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率y與初次記憶經(jīng)過的時間x（小時）的大致關系：，則記憶率為20%時經(jīng)過的時間約為( )（參考數(shù)據(jù)：，）
A.80小時B.90小時C.100小時D.120小時
6．已知函數(shù)，若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為( )
A.B.7C.D.
7．已知為銳角，，則( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)，若對任意的，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．下列說法正確的是( )
A.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為
B.的最大值為
C.的圖象關于成中心對稱
D.的遞減區(qū)間是
10．已知等比數(shù)列的前n項和為，公比，，則( )
A.一定是遞增數(shù)列
B.可能是遞增數(shù)列也可能是遞減數(shù)列
C.、、仍成等比
D.，
11．已知,則( )
A.B.C.D.
12．水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時120秒.經(jīng)過t秒后，水斗旋轉到點P，設點P的坐標為，其縱坐標滿足（，，），則下列敘述正確的是( )
A.
B.當時，函數(shù)單調遞增
C.當時，的最大值為
D.當時，
三、填空題
13．展開式的常數(shù)項為________.
14．國家鼓勵中小學校開展課后服務，某中學為了搞好課后服務工作，教務科組建了一批社團，學生們都能積極選擇自己喜歡的社團.目前話劇社團、書法社團、舞蹈社團、朗誦社團分別還可以接收1名學生，恰好甲、乙、丙、丁4名同學前來教務科申請加入，按學校規(guī)定每人只能加入一個社團，則甲進朗誦社團，乙進書法社團或舞蹈社團的概率為________.
15．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，再將使得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（）得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內有5個零點，則的取值范圍是________.
16．已知正實數(shù)x,y滿足，則的最小值為________.
四、解答題
17．已知銳角中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若.
(1)證明：;
(2)若,求的取值范圍.
18．已知數(shù)列的前n項和為，且,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前n項和.
19．某專營店統(tǒng)計了最近5天到該店購物的人數(shù)和時間第天之間的數(shù)據(jù)，列表如下：
(1)由表中給出的數(shù)據(jù)，判斷是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與時間x之間的關系？（若，則認為線性相關程度高，可用線性回歸模型擬合；否則，不可用線性回歸模型擬合.計算r時精確到0.01）
(2)該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿100元可減10元；方案二，購物金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8折，中獎三次打6折.某顧客計劃在此專營店購買一件價值1000元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學期望的角度分析，選哪種方案更優(yōu)惠？
參考數(shù)據(jù)：.附：相關系數(shù).
20．如圖，在四面體中，平面，M是的中點，P是的中點，Q是線段上的一點，.
(1)若，證明：平面；
(2)若，且二面角為直二面角，求實數(shù)的值.
21．已知函數(shù)，函數(shù)與關于點中心對稱.
(1)求的解析式；
(2)若方程有兩個不等的實根，，且，求a的值.
22．已知函數(shù).
(1)若，求的極值.
(2)若方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：，所以復數(shù)在復平面內對應的點為，位于第四象限.
故選：D
2．答案：A
解析：由，得，，，
，
故選：A
3．答案：D
解析：由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
所以，
解得：.
故選：D.
4．答案：C
解析：由向量，
因為，所以，，
所以.
故選:C.
5．答案：C
解析：根據(jù)題意得，整理得到，兩邊取以10為底的對數(shù)，得到，即，又，，所以，得到，
故選：C.
6．答案：D
解析：因為，所以函數(shù)的定義域為R，關于原點對稱，
又，
所以為奇函數(shù)，且易知在R上單調遞減，
又，即
所以，即，
，當且僅當即,時等號成立，
故選：D
7．答案：C
解析：由，
得，
則，由為銳角，則，
又，，
故，
所以
，
由二倍角余弦公式得，則.
又為銳角，所以，
故.
故選：C.
8．答案：B
解析：當，恒成立，
，即恒成立.
不妨令，則
設，有，，
當時，，在上單調遞增，有，
所以時，，當且僅當時等號成立.
故，
當且僅當，即時上式取得等號，
由對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質可知，方程顯然有解，
所以，得.
故選：B.
9．答案：AC
解析：對于A，由題意得，得，所以函數(shù)的定義域為，所以A正確，
對于B，令，則，因為，且在定義域內遞減，
所以，所以的最小值為，所以B錯誤，
對于C，因為，所以是由反比例函數(shù)向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的，
因為的對稱中心為，所以的對稱中心為，所以C正確，
對于D，由，得或，所以函數(shù)的定義域為，令，則，
因為在上遞減，在上遞增，且在上遞增，
所以在上遞減，在上遞增，所以D錯誤，
故選：AC
10．答案：BCD
解析：對于A，當，時，為遞減數(shù)列，故A錯誤；
對B，當，時，為遞減數(shù)列，當，時，為遞增數(shù)列，故B正確；
對C，等比數(shù)列，則、、仍成等比，故C正確；
對D，等比數(shù)列中，，則必不為0，故D正確.
故選：BCD.
11．答案：BCD
解析：對于A中，由，可得，所以A不正確；
對于B中，由，，可得，
所以，所以B正確；
對于C中，由，因為，所以，所以C正確；
對于D中，由，，
可得，
因為，所以等號不成立，所以，
又因為，所以，所以D正確.
故選：BCD.
12．答案：AD
解析：由題意，，，所以，
則，
又點，此時代入可得，解得，
又，所以，故A正確；
因為，當時，，
所以函數(shù)先增后減，故B錯誤；
當時，所以，
則，則，故C錯誤；
當時，，P的縱坐標為，橫坐標為，
所以，故D正確；
故選：AD
13．答案：15
解析：展開式的通項公式為，
令，解得，
所以常數(shù)項為，
故答案為：15.
14．答案：
解析：4名同學分別進入話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團共有種，其中甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團有種，由古典概型的概率計算公式可得，按學校規(guī)定每人只能加入一個社團，則甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率為，
故答案為：.
15．答案：
解析：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，
再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象.
時，，
在y軸右方的零點為
因為函數(shù)的圖象在區(qū)間內有5個零點，
所以，解得.
故答案為：.
16．答案：2
解析：變形為，
則，即，
令，則恒成立，
則，單調遞增，
又，所以，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為2.
故選：A
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)因為,由正弦定理得,
所以,
所以,
而,,則或,
即或（舍去）,故.
(2)因為是銳角三角形,所以,解得,
所以的取值范圍是,
由正弦定理可得：,則,
所以,所以,
因為,所以,
所以,所以,
所以,
因為,所以,
所以的取值范圍是.
18．答案：(1)，；
(2)，.
解析：（1）由，則當時
兩式相減得，所以.
將代入得，，
所以對于，，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
（2）.
，
因為當時，當時，
所以當時，，
當時，.
故.
19．答案：(1)可以，理由見解析；
(2)方案二更優(yōu)惠，理由見解析
解析：（1），，
所以，，
，，
所以，，
所以，y與x的線性相關性很強，故可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與時間x之間的關系.
（2）設方案一的實際付款金額為X元，方案二的實際付款金額為Y元，
由題意可知，（元），
Y的可能取值有600、800、900、1000，
，，
，，
所以，，
所以，方案二更優(yōu)惠.
20．答案：(1)證明見解析；
(2)
解析：（1）證明：取的中點E，連接、，如下圖所示：
因為M為的中點，E為的中點，則，所以，，
又因為，即，所以，，則，
因為平面，平面，所以，平面，
又因為P為的中點，則，
因為平面，平面，所以，平面，
因為，平面，所以，平面平面，
因為平面，故平面.
（2）因為，則為等邊三角形，
又因為平面，以點D為原點，、所在直線分別為x、z軸，
平面內過點D且與垂直的直線為y軸建立如下所示的空間直角坐標系，
則、、、、，
，其中，
，，
設平面的法向量為，則，
取，則，，則，
易知平面的一個法向量為，
因為二面角為直二面角，則，即，解得.
21．答案：(1)；
(2)
解析：（1）已知函數(shù)，函數(shù)與關于點中心對稱
所以，則
（2）由于方程有兩個不等的實根，，不妨設
即兩個不等的實根，則，由于函數(shù)是遞增函數(shù)，所以①，②
因為，，則，
所以，則代入②得：，解得，
代入①得.
22．答案：(1)極小值為，無極大值；
(2)
解析：（1）因為定義域為，
所以，
當時，，，令得
當時，，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的極小值為，無極大值.
（2）因為，
①若，當時恒成立，所以在上單調遞增
要使方程在上有解，則
即得，因為，所以.
②若，當時恒成立，所以在上單調遞減，
此時不符合條件.
③若，當時，，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
此時，，要使方程在上有解，則需，
解得，所以.
綜上可知，a的取值范圍為
1
2
3
4
5
75
84
93
98
100

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