一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（ ）

A. 或x>2B. 或
C. D.
2. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C D.
3. 橢圓的兩焦點為，，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的一段圖象如圖所示，則（ ）
A.
B. 的圖象的一個對稱中心為
C. 的單調(diào)遞增區(qū)間是
D. 函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的是一個奇函數(shù)的圖象
5. 用一個邊長為4正方形紙片，做一個如圖所示的幾何體，圖中兩個圓錐等底、等高，則該幾何體體積的最大值為（ ）
A. B. C. D.
6. 若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
7. 元旦聯(lián)歡會會場中掛著如圖所示的兩串燈籠， 每次隨機選取其中一串并摘下其最下方的一個燈箋， 直至某一串燈籠被摘完為止， 則右側(cè)燈籠先被摘完的概率為（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一條移動路線．從1移動到數(shù)字的不同路線條數(shù)記為，從1移動到11的事件中，跳過數(shù)字的概率記為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①，②，③，④．
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于直線對稱
B. 的圖象關(guān)于點對稱
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 在區(qū)間的值域為
10. 已知點為拋物線焦點，為上不重合的兩個動點，為坐標(biāo)原點，若直線（直線斜率存在且不為0）與僅有唯一交點，則（ ）
A. 的準(zhǔn)線方程為
B. 若線段與的交點恰好為中點，則
C. 直線與直線垂直
D. 若，則
11. 如圖所示曲線被稱為雙紐線，該種曲線在生活中應(yīng)用非常廣泛，其代數(shù)形式可表示為坐標(biāo)中（為坐標(biāo)原點）動點到點的距離滿足：，則（ ）

A. OP的最大值是
B. 若是曲線上一點，且在第一象限，則
C. 與有1個交點
D. 面積的最大值是
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 設(shè)拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于，兩點，若，，則___________．
13. 若曲線在點處的切線與曲線相切，則________．
14. 某射擊比賽中，甲、乙兩名選手進(jìn)行多輪射擊對決．每輪射擊中，甲命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為．若每輪射擊中，命中目標(biāo)的選手得1分，未命中目標(biāo)的選手得0分，且各輪射擊結(jié)果相互獨立．則進(jìn)行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為__________．
四、解答題： 本題共 5 小題. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，且．
（1）求角A的大??；
（2）求面積的最大值．
16. 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，an＋1＝2Sn＋2.
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若2bn＝3nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
17. 在中，角的對邊分別為的面積為，已知.
（1）求角；
（2）若的周長為，求的最大值.
18. 正四棱柱中，點分別在上，且四點共面.
（1）若，記平面與底面的交線為，證明：；
（2）已知，若，求四邊形面積的最大值.
19. 在高中數(shù)學(xué)教材蘇教版選擇性必修2上闡述了這樣一個問題：假設(shè)某種細(xì)胞分裂（每次分裂都是一個細(xì)胞分裂成兩個）和死亡的概率相同，如果一個種群從這樣的一個細(xì)胞開始變化，那么這個種群最終滅絕的概率是多少？在解決這個問題時，我們可以設(shè)一個種群由一個細(xì)胞開始，最終滅絕的概率為，則從一個細(xì)胞開始，它有的概率分裂成兩個細(xì)胞，在這兩個細(xì)胞中，每個細(xì)胞滅絕的概率都是，兩個細(xì)胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得；我們也可以設(shè)一個種群由一個細(xì)胞開始，最終繁衍下去的概率為，那么從一個細(xì)胞開始，它有的概率分裂成兩個細(xì)胞，在這兩個細(xì)胞中，每個細(xì)胞繁衍下去的概率都是，兩個細(xì)胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得．根據(jù)以上材料，思考下述問題：一個人站在平面直角坐標(biāo)系的點處，他每步走動都會有的概率向左移動1個單位，有的概率向右移動一個單位，原點處有一個陷阱，若掉入陷阱就會停止走動，以代表當(dāng)這個人由開始，最終掉入陷阱的概率．
（1）若這個人開始時位于點處，且．
（?。┣笏?步內(nèi)（包括5步）掉入陷阱的概率；
（ⅱ）求他最終掉入陷阱的概率；
（ⅲ）已知，若，求；
（2）已知是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)．
（?。┓謩e寫出當(dāng)和時，的值（直接寫出即可，不必說明理由）；
（ⅱ）求關(guān)于的表達(dá)式．
高三數(shù)學(xué)
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（ ）

A. 或x>2B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題可知圖中的陰影部分表示，再根據(jù)交集，并集和補集的定義即可得解.
【詳解】由題可知圖中的陰影部分表示，
或，
則，
所以或x>2.
故選：A.
2. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇偶性的定義確定函數(shù)為偶函數(shù)，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可求解.
【詳解】由題可知，的定義域為，
又因為，
所以，為偶函數(shù)．
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.
故選：C．
3. 橢圓的兩焦點為，，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)橢圓與正三角形另兩條邊的交點分別是A，B，易得，，由此建立a，c的齊次式，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)橢圓與正三角形另兩條邊的交點分別是A，B，
易得，，
∴，∴，
∴，
故選：D.
4. 已知的一段圖象如圖所示，則（ ）
A.
B. 的圖象的一個對稱中心為
C. 的單調(diào)遞增區(qū)間是
D. 函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的是一個奇函數(shù)的圖象
【答案】C
【解析】
【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖像求出函數(shù)解析式，即可判斷A，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；
【詳解】解：由圖可知，，所以，解得，所以，又函數(shù)過點，即，所以，解得，因為，所以，所以，故A錯誤；
因為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，故B錯誤；
令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；
將函數(shù)的圖象向左平移個單位得為偶函數(shù)，故D錯誤；
故選：C
5. 用一個邊長為4的正方形紙片，做一個如圖所示的幾何體，圖中兩個圓錐等底、等高，則該幾何體體積的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通過圓錐側(cè)面展開圖的兩種情況①側(cè)面展開圖最大為半徑為2的半圓，②側(cè)面展開圖最大為半徑為的四分之一圓，計算比較即可.
【詳解】根據(jù)題意有兩種方式可以得到這樣的幾何體，
方式一：如圖①，可以得到圓錐的側(cè)面展開圖最大為半徑為2的半圓，
因此一個圓錐的底面半徑為1，母線長為2，高為，
所以兩個圓錐體積的最大值為．
方式二：如圖②，可以得到圓錐的側(cè)面展開圖最大為半徑為的四分之一圓，
因此一個圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，
所以兩個圓錐體積的最大值為．
，
故選：A．
6. 若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合結(jié)論若，則，證明，由此可得，再證明，由此可得結(jié)論.
【詳解】若，則，且，
所以，
所以，
因為，，
所以，
所以，
故選：D．
7. 元旦聯(lián)歡會會場中掛著如圖所示的兩串燈籠， 每次隨機選取其中一串并摘下其最下方的一個燈箋， 直至某一串燈籠被摘完為止， 則右側(cè)燈籠先被摘完的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到摘取的次數(shù)為次，結(jié)合獨立重復(fù)實驗的概率計算公式，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，直至某一串燈籠被摘完為止，可得摘取的次數(shù)為次，
結(jié)合獨立重復(fù)實驗的概率計算公式，可得：
當(dāng)兩次摘完時，可得概率為；
當(dāng)三次摘完時，可得概率為；
當(dāng)四次摘完時，可得概率為，則.
故選：D.
8. 如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一條移動路線．從1移動到數(shù)字的不同路線條數(shù)記為，從1移動到11的事件中，跳過數(shù)字的概率記為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①，②，③，④．
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析，不難得到，按照規(guī)律寫出各項，即可判斷①，②正確；對于③，結(jié)合樹狀圖，考慮對立事件所包含的樣本點數(shù)，利用古典概型概率公式計算即得，同法求出即可判斷.
【詳解】由題意可知，
則，，
則①正確；顯然，故②正確；
因為，經(jīng)過數(shù)字5的路線共有條.
理由:如上樹狀圖所示，分別計算1-5的路線共有5條，5-11的路線共有13條，
利用分步乘法計數(shù)原理可得，過數(shù)字5的路線共有條.
則，故③正確；
同理可得即有，故④錯誤.
故選:A．
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于直線對稱
B. 的圖象關(guān)于點對稱
C. 區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 在區(qū)間的值域為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】因，
選項A：，所以的圖象關(guān)于直線對稱，A說法正確；
選項B：，所以的圖象關(guān)于點對稱，B說法正確；
選項C：當(dāng)時，，因為在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，C說法錯誤；
選項D：當(dāng)時，，因為在的值域為，
所以在區(qū)間的值域為，D說法正確；
故選：ABD
10. 已知點為拋物線的焦點，為上不重合的兩個動點，為坐標(biāo)原點，若直線（直線斜率存在且不為0）與僅有唯一交點，則（ ）
A. 的準(zhǔn)線方程為
B. 若線段與的交點恰好為中點，則
C. 直線與直線垂直
D. 若，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線準(zhǔn)線的定義即可判斷A；求出線段的中點坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可判斷B；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)，結(jié)合直線的斜率公式即可判斷C；根據(jù)焦半徑公式即可判斷D.
【詳解】對于A，由拋物線拋物線，得的準(zhǔn)線方程為，故A正確；
對于B，F(xiàn)1,0，則線段的中點坐標(biāo)為，則，解得，故B正確；
對于C，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消得，則，所以，
則，所以直線與直線垂直，故C正確；
對于D，設(shè)，則，所以，
所以，所以，故D錯誤.
故選：ABC.
11. 如圖所示的曲線被稱為雙紐線，該種曲線在生活中應(yīng)用非常廣泛，其代數(shù)形式可表示為坐標(biāo)中（為坐標(biāo)原點）動點到點的距離滿足：，則（ ）

A. OP的最大值是
B. 若是曲線上一點，且在第一象限，則
C. 與有1個交點
D. 面積的最大值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)對稱性可知運動到軸上時，此時OP最大，即可求解A，根據(jù)特殊位置法即可求解B，利用與的交點，即可結(jié)合，求解C，利用判別式可得，即可求解D.
【詳解】由雙紐線的對稱性可知：當(dāng)運動到軸上時，此時OP最大，不妨設(shè)此時在軸的正半軸上，設(shè)此時，
由，得，解得，故OP的最大值是，A正確，
設(shè)Px,y，則，令，則，解得，而此時，不滿足，故B錯誤，
聯(lián)立與，則，解得，
故直線與曲線只有一個交點，而，，由A易知雙紐線中，
根據(jù)對稱性，只需研究上與的交點情況，顯然只有原點這1個交點，C正確，
對于D，由可得，
令，則，該方程有實數(shù)根，故，解得，故，
，故D正確，
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)與的交點，結(jié)合，，可判斷與的交點，由二次型方程的根，利用判別式可求解最大的縱坐標(biāo).
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 設(shè)拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于，兩點，若，，則___________．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，根據(jù)拋物的定義表示出，，再根據(jù)三角形相似得到，即可求出.
【詳解】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，
因為，，根據(jù)拋物線的定義可得，，
過點作軸于點，過點作軸于點，
則，所以，
所以，即，解得．
故答案為：．
13. 若曲線在點處的切線與曲線相切，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再聯(lián)立切線方程與，消元，根據(jù)計算可得.
【詳解】由，所以，則，
所以曲線在點處的切線為，即；
又與曲線相切，
由，可得，
則，解得或（舍去），
故答案為：
14. 某射擊比賽中，甲、乙兩名選手進(jìn)行多輪射擊對決．每輪射擊中，甲命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為．若每輪射擊中，命中目標(biāo)的選手得1分，未命中目標(biāo)的選手得0分，且各輪射擊結(jié)果相互獨立．則進(jìn)行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算可得答案.
【詳解】則進(jìn)行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為
.
故答案為：.
四、解答題： 本題共 5 小題. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，且．
（1）求角A的大??；
（2）求面積的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理邊化角，然后利用兩角和的余弦公式及誘導(dǎo)公式變形可得答案；
（2）先利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，進(jìn)而可得面積的最大值.
【小問1詳解】
，
，
，，
，；
【小問2詳解】
由余弦定理可得：，
即，
則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
，
面積的最大值為．
16. 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，an＋1＝2Sn＋2.
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若2bn＝3nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由的關(guān)系可得，求出，再由的關(guān)系，得到，進(jìn)而根據(jù)等比定義求得{an}的通項公式；
（2），由錯位相減法可求得{bn}的前n項和Tn．
小問1詳解】
,
為首項是3，公比為3的等比數(shù)列，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，符合上式，
【小問2詳解】
，
，
，
.
17. 在中，角的對邊分別為的面積為，已知.
（1）求角；
（2）若的周長為，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等變換即可求解；
(2)由余弦定理及三角形的面積公式得，再由基本不等式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
因為，
所以，
即，
由正弦定理，得，
因為，
所以，
因為，所以，所以，
又，所以.
【小問2詳解】
由余弦定理，得，即，
所以，即，
因為，，
所以，
所以，
又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
即的最大值為.
18. 正四棱柱中，點分別在上，且四點共面.
（1）若，記平面與底面的交線為，證明：；
（2）已知，若，求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）證明見解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）連接，利用已知可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得平面，由線面平行的性質(zhì)可得；
（2）以為坐標(biāo)原點，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得，結(jié)合已知計算可求四邊形面積的最大值.
【小問1詳解】
連接，
由正四棱柱，可得，，，又因為，所以由勾股定理可得，
又，所以，所以四邊形是平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面，又平面平面，平面平面，
所以，所以；
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因為，又底面是正方形，所以，
又，所以，
所以，
所以，
所以，
，
由正四棱柱，可得平在面，
又四點共面，過有唯一平面，
又平面平面，平面平面，
所以，同理可得，所以四邊形是平行四邊形，
又，所以，
所以，又，
所以，解得，
所以
，
所以四邊形面積的最大值為.
19. 在高中數(shù)學(xué)教材蘇教版選擇性必修2上闡述了這樣一個問題：假設(shè)某種細(xì)胞分裂（每次分裂都是一個細(xì)胞分裂成兩個）和死亡的概率相同，如果一個種群從這樣的一個細(xì)胞開始變化，那么這個種群最終滅絕的概率是多少？在解決這個問題時，我們可以設(shè)一個種群由一個細(xì)胞開始，最終滅絕的概率為，則從一個細(xì)胞開始，它有的概率分裂成兩個細(xì)胞，在這兩個細(xì)胞中，每個細(xì)胞滅絕的概率都是，兩個細(xì)胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得；我們也可以設(shè)一個種群由一個細(xì)胞開始，最終繁衍下去的概率為，那么從一個細(xì)胞開始，它有的概率分裂成兩個細(xì)胞，在這兩個細(xì)胞中，每個細(xì)胞繁衍下去的概率都是，兩個細(xì)胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得．根據(jù)以上材料，思考下述問題：一個人站在平面直角坐標(biāo)系的點處，他每步走動都會有的概率向左移動1個單位，有的概率向右移動一個單位，原點處有一個陷阱，若掉入陷阱就會停止走動，以代表當(dāng)這個人由開始，最終掉入陷阱的概率．
（1）若這個人開始時位于點處，且．
（?。┣笏?步內(nèi)（包括5步）掉入陷阱的概率；
（ⅱ）求他最終掉入陷阱的概率；
（ⅲ）已知，若，求；
（2）已知是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)．
（?。┓謩e寫出當(dāng)和時，的值（直接寫出即可，不必說明理由）；
（ⅱ）求關(guān)于表達(dá)式．
【答案】（1）（?。?；（ⅱ）；（ⅲ）
（2）（?。┊?dāng)時，；當(dāng)時，；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用全概率公式分互斥事件計算概率，再根據(jù)遞推公式構(gòu)造數(shù)列，計算得出等比數(shù)列結(jié)合累加法得出通項公式；
（2）針對定義域分段求解函數(shù)表達(dá)式.
【小問1詳解】
（?。┰O(shè)事件：“這個人在第1步掉入陷阱”，事件：“這個人在第3步掉入陷阱”，事件：“這個人在第5步掉入陷阱”，
則他在5步內(nèi)掉入陷阱的概率．
（ⅱ）他從1,0開始，最終掉入陷阱的概率為，則這個人如果第一步向左走，就會掉入陷阱，
若他第一步向右走，如果最終掉入陷阱，則需要由2,0先到達(dá)1,0處，
而這個概率和他從1,0開始，最終掉入陷阱的概率相同，所以，
由此可得（舍去）或．
（ⅲ）由（ⅱ）可知，，
方法一：由，得，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則．
則
累加得，所以．
方法二：由，得，即，
所以是以為首項，為公比等比數(shù)列，所以．
【小問2詳解】
（?。┯深}意得，當(dāng)時，；當(dāng)時，．
（ⅱ）這個人如果第一步向左走，就會掉入陷阱，
若他第一步向右走，如果最終掉入陷阱，則需要由2,0先到達(dá)1,0處，
而這個概率和他從1,0開始，最終掉入陷阱的概率相同，
所以，即，得或．
因為是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，．
所以
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)遞推公式構(gòu)造數(shù)列，計算得出等比數(shù)列，結(jié)合累加法得出通項公式.

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