2024-2025學(xué)年寧夏石嘴山一中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

這是一份2024-2025學(xué)年寧夏石嘴山一中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案），共8頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合A={x|?30，m>0，則b+ma+m>ba
D. 若?10)關(guān)于直線y=?2x對(duì)稱(chēng)，且過(guò)點(diǎn)P(0,8)．
(1)求證：圓C與直線x+2y?16=0相切；
(2)若直線l過(guò)點(diǎn)(1,0)與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，求此時(shí)直線l的方程．
17.(本小題12分)
已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2+y2?8y=0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求M的軌跡方程；
(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積．
18.(本小題12分)
已知四棱錐P?ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一點(diǎn)，PE⊥AD．
(1)若F是PE中點(diǎn)，證明：BF//平面PCD．
(2)若AB⊥平面PED，求面PAB與面PCD夾角的余弦值．
19.(本小題12分)
為了保證我國(guó)東海油氣田海域的海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門(mén)在某平臺(tái)O的正東方向設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)站A和B(點(diǎn)A在點(diǎn)O、點(diǎn)B之間)，它們到平臺(tái)O的距離分別為1海里和4海里，記海平面上到兩觀測(cè)站的距離|PA|，|PB|之比為12的點(diǎn)P的軌跡為曲線E，規(guī)定曲線E及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)(如圖)．
(1)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，1海里為單位長(zhǎng)度，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線E的方程；
(2)海平面上有巡航觀察點(diǎn)Q可以在過(guò)點(diǎn)B垂直于AB的直線L上運(yùn)動(dòng)．
(i)若M為PB的中點(diǎn)，求|PM|+|PQ|的最小值；
(ii)過(guò)Q作直線QC，QD與曲線E相切于點(diǎn)C，D.證明：直線CD過(guò)定點(diǎn)．
參考答案
1.A
2.A
3.A
4.D
5.D
6.D
7.D
8.CD
9.ABD
10.BC
11.AD
12.(x?1)2+(y?1)2=1
13.12
14.4
15.解：(1)由題知，ca= 33,a= 3c,b= 2c，
所以橢圓C為x23c2+y22c2=1，
由點(diǎn)(2,2 33)在橢圓上得43c2+23c2=1，解得c2=2，
故橢圓方程為x26+y24=1；
(2)設(shè)P(0,t)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x26+y24=1y=kx+1，得(2+3k2)x2+6kx?9=0，Δ=36k2+36(2+3k2)=144k2+72>0，
所以x1+x2=?6k2+3k2,x1x2=?92+3k2，
所以PB?PM=PB?(PA+AM)=PB?PA+PB?AM=PB?PA=(x1,y1?t)?(x2,y2?t)=x1x2+(kx1+1?t)(kx2+1?t)=(1+k2)x1x2+k(1?t)(x1+x2)+(1?t)2=(1+k2)(?92+3k2)+k(1?t)?(?6k2+3k2)+(1?t)2=?9+2(1?t)2+(3t2?12)k22+3k2，
所以3t2?123=?9+2(1?t)22，解得t=14，
所以存在定點(diǎn)P(0,14)，使得PB?PM為定值?6316．
16.(1)證明：圓C：x2+y2+ax?by=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得(x+a2)2+(y?b2)2=a2+b24．
因?yàn)閳AC關(guān)于直線y=?2x對(duì)稱(chēng)，所以b2=?2(?a2)，解得b=2a，
由圓C：x2+y2+ax?by=0過(guò)點(diǎn)(0,8)，得82?b×8=0，解得b=8，所以a=12b=4，
圓C方程為C：x2+y2+4x?8y=0，即(x+2)2+(y?4)2=20，圓心坐標(biāo)為(?2,4)，半徑r=2 5．
故點(diǎn)C到直線x+2y?16=0的距離d=|?2+8?16| 5=2 5=r，可知圓C與直線x+2y?16=0相切．
(2)解：設(shè)圓心C到直線1的距離為d，則|AB|=2 r2?d2=4，即 20?d2=2，解得d=4(舍負(fù))．
①當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)(1,0)，且斜率不存在時(shí)，方程為x=1，
直線x=1與圓C相交截得的弦長(zhǎng)等于2 11，不符合題意；
②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=k(x?1)，即kx?y?k=0，
所以點(diǎn)C(?2,4)到直線l的距離d=|?2k?4?k| k2+1=4，整理得7k2+24k=0，解得k=0或247．
所以直線l的方程為y=0或y=247(x?1)，即y=0或24x?7y?24=0．
綜上所述，直線l的方程為y=0或24x?7y?24=0．
17.解：(1)由圓C：x2+y2?8y=0，得x2+(y?4)2=16，
∴圓C的圓心坐標(biāo)為C(0,4)，半徑為4．
設(shè)M(x,y)，則CM=(x,y?4)，MP=(2?x,2?y)．
由題意可得：CM?MP=0．
即x(2?x)+(y?4)(2?y)=0．
整理得：(x?1)2+(y?3)2=2．
∴M的軌跡方程是(x?1)2+(y?3)2=2．
(2)由(1)知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心， 2為半徑的圓，
由于|OP|=|OM|，
故O在線段PM的垂直平分線上，
又P在圓N上，從而ON⊥PM．
∵kON=3，∴直線l的斜率為?13．
∴直線l的方程為y?2=?13(x?2)，即x+3y?8=0．
則O到直線l的距離為|?8| 12+32=4 105．
又N到l的距離為|1×1+3×3?8| 10= 105，
∴|PM|=2 2?( 105)2=4 105．
∴S△POM=12×4 105×4 105=165．
18.(1)證明：如圖，設(shè)M為PD的中點(diǎn)，連接FM，CM，
因?yàn)镕是PE中點(diǎn)，所以FM//ED，且FM=12ED，
因?yàn)锳D//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，
所以四邊形ABCE為平行四邊形，BC/?/ED，且BC=12ED，
所以FM/?/BC，且FM=BC，
即四邊形BCMF為平行四邊形，
所以BF//CM，
因?yàn)锽F?平面PCD，CM?平面PCD，
所以BF/?/平面PCD．
(2)解：因?yàn)锳B⊥平面PED，
所以CE⊥平面PED，EP，ED，EC相互垂直，
以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,2)，A(0,?1,0)，B(1,?1,0)，C(1,0,0)，D(0,2,0)，
所以AB=(1,0,0)，AP=(0,1,2)，PC=(1,0,?2)，CD=(?1,2,0)，
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1)，
則m?AB=x1=0m?AP=y1+2z1=0，取z1=?1，則m=(0,2,?1)，
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2)，
則n?PC=x2?2z2=0n?CD=?x2+2y2=0，取z2=1，則n=(2,1,1)，
設(shè)平面PAB與平面PCD夾角為θ，
則csθ=m?n|m|?|n|=2?1 5× 6=1 30= 3030．
19.解：(1)設(shè)P(x,y)，則由題意A(1,0)，B(4,0)，
根據(jù)題意可知|PA||PB|=12，
∴2|PA|=|PB|，
∴2 (x?1)2+y2= (x?4)2+y2，
故曲線E的方程為：x2+y2=4；
(2)(i)直線L的方程為x=4，
若M為PB的中點(diǎn)，
則|PM|=12|PB|=|PA|，
|PM|+|PQ|=|PA|+|PQ|≥|AQ|≥AB=3，
當(dāng)A，P，Q三點(diǎn)共線且Q，B重合時(shí)，|PM|+|PQ|的最小值為3；
(ii)極點(diǎn)(x0,0)關(guān)于圓x2+y2=4的極線為x0x+0y=4，即x=4x0=4，x0=1，
由此猜想：直線CD過(guò)定點(diǎn)A(1,0)，
證明如下：
設(shè)Q(4,t)，C(x1,y1)，D(x2,y2)，
切線CQ為x1x+y1y=4，
∵Q(4,t)∈CQ，∴4x1+ty1=4，
同理可得，4x2+ty2=4，
則直線CD的方程為4x+ty=4，
∴CD過(guò)定點(diǎn)A(1,0)．