一、單選題：本大題共8小題，共40分。
1.設(shè)z=(1+2i)(1?i)，則|z|=( )
A. 1B. 2C. 5D. 10
2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?i)2z=2?4i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部為( )
A. 2B. 1C. ?2D. i
3.已知向量a=(1,?2),b=(3,5)，則2a+b=( )
A. (4,3)B. (5,1)C. (5,3)D. (7,8)
4.已知平面向量a=(1,2)，b=(2x,x?1)，且a//(b?a)，則x=( )
A. ?13B. 13C. 53D. 3
5.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=5，b=2，C=π3，則c=( )
A. 2 6B. 39C. 29D. 19
6.已知向量a和b滿足|a|=3，|b|=2，|a+b|= 7，則向量b在向量a上的投影向量為( )
A. ?13aB. ?aC. 13aD. a
7.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若B=60°，b2=ac，則△ABC一定是( )
A. 直角三角形B. 鈍角三角形C. 等邊三角形D. 等腰直角三角形
8.如圖，在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，設(shè)BA=a，BC=b，則BE=( )
A. 12a+14bB. 13a+56bC. 23a+23bD. 12a+34b
二、多選題：本大題共3小題，共18分。
9.已知向量a=(1,?2)，b=(?1,m)，則( )
A. 若a與b垂直，則m=?12B. 若a/?/b，則a?b的值為?5
C. 若m=2，則|a?b|=2 5D. 若m=?2，則a與b的夾角為60°
10.下列說法正確的有( )
A. 已知a=(?1,2)，b=(2,x)，若a與b共線，則x=?4
B. 若a/?/b，b/?/c，則a/?/c
C. 若|a|≠|(zhì)b|，則a一定不與b共線
D. 若AB=(3,1)，AC=(m?1,m)，∠BAC為銳角，則實(shí)數(shù)m的范圍是m>34
11.如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為400米，一艘船從河岸的A地出發(fā)，向河對(duì)岸航行．已知船的速度v1的大小為|v1|=8km/?，水流速度v2的大小為|v2|=2km/?，船的速度與水流速度的合速度為v，那么當(dāng)航程最短時(shí)，下列說法正確的是( )
A. 船頭方向與水流方向垂直B. cs=?14
C. |v|=2 17km/?D. 該船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間為3分鐘
三、填空題：本大題共3小題，共15分。
12.設(shè)i是虛數(shù)單位，a是實(shí)數(shù)，若(1+i)(1?ai)是實(shí)數(shù)，則a= ．
13.在△ABC中，若a=3，b=4，csB=14，則sinA= ______．
14.在△ABC中，AC=2AE，且B、P、E三點(diǎn)共線，若AP=xAB+yAC，則2x+1y的最小值是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.已知平面向量a，b的夾角為2π3，且|a|=2，|b|=3，c=λa+b．
(1)當(dāng)λ=?1時(shí)，求|c|；
(2)當(dāng)b⊥c時(shí)，求λ的值．
16.為了繪制海底地圖，測(cè)量海底兩點(diǎn)C，D間的距離，海底探測(cè)儀沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，C，D在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)．海底探測(cè)儀測(cè)得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B兩點(diǎn)的距離為 3海里．

(1)求△ABD的面積；
(2)求C，D之間的距離．
17.已知a=(1,0),b=(2,1)
(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka?b與a+2b垂直
(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb，且A、B、C三點(diǎn)共線，求m的值．
18.在△ABC中，角A，B，C的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知a=3，asinB=2bsinAcsA．
(1)求角A；
(2)求△ABC周長(zhǎng)l的取值范圍．
19.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量m=(x1,y1)，n=(x2,y2)，作：OM=m，ON=n.當(dāng)m，n不共線時(shí)，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為S(m,n)=|x1y2?x2y1|；當(dāng)m，n共線時(shí)，規(guī)定S(m,n)=0．
(1)分別根據(jù)下列已知條件求S(m,n)：
①m=(2,1)，n=(?1,2)；②m=(1,2)，n=(2,4)；
(2)若向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，
求證：S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(3)若A，B，C是以O(shè)為圓心的單位圓上不同的點(diǎn)，記OA=a，OB=b，OC=c．
(ⅰ)當(dāng)a⊥b時(shí)，求S(c,a)+S(c,b)的最大值；
(ⅱ)寫出S(a,a)+S(b,c)+S(c,a)的最大值．(只需寫出結(jié)果)
參考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.D
6.A
7.C
8.D
9.ABC
10.AD
11.B
12.1
13.3 1516
14.8
15.解：(1)λ=?1時(shí)，|c|2=|?a+b|2=(?a+b)2
=a2+b2?2(a?b)
=a2+b2?2|a||b|cs120°
=4+9?2?2?3?(?12)=19，
所以|c|= 19．
(2)當(dāng)b⊥c時(shí)，b?c=0，
所以0=b?c=b?(λa+b)=λ(a?b)+b2=λ|a||b|cs120°+|b|2=?3λ+9，
解得λ=3．
16.解：(1)∠ADB=180°?30°?45°?45°=60°，
在△ABD中，由正弦定理，得BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，
∴BDsin∠75°= 3sin∠60°，解得BD= 6+ 22．
∴S△ABD=12AB?BDsin∠ABD=12× 3× 6+ 22×sin45°=3+ 34；
(2)△ABC中，∠ACB=180°?30°?45°?75°=30°，
∴BC=BA= 3，
△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2?2BC?BDcs∠DBC
=3+( 6+ 22)2?2× 3× 6+ 22× 6? 24=5，
∴CD= 5．
17.解：(1)ka?b=k(1,0)?(2,1)=(k?2,?1)，a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2)，
因?yàn)閗a?b與a+2b垂直，所以5(k?2)+(?1)×2=0，
即5k?10?2=0，得k=125．
(2)AB=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3)，
BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m)
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AB//BC．
所以8m?3(2m+1)=0，即2m?3=0，
所以m=32．
18.
19.解：(1)因?yàn)閙=(2,1),n=(?1,2)，
且S(m,n)=|x1y2?x2y1|，
所以S(m,n)=|2×2?1×(?1)|=5；
又m=(1,2),n=(2,4)，
是S(m,n)=|1×4?2×2|=0；
(2)因?yàn)橄蛄縨=(x1,y1),n=(x2,y2)，
且向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，
則p=(λx1+μx2,λy1+μy2)，
所以S(p,m)=|(λx1+μx2)y1?(λy1+μy2)x1|=|μ||x1y2?x2y1|，
同理S(p,n)=|λ||x1y2?x2y1|．
所以S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(3)(i)設(shè)?c,a?=α，因?yàn)閍⊥b，
所以?c,b?=3π2?α，
所以S(c,a)+S(c,b)=sinα+sin(3π2?α)，
=sinα?csα= 2sin(α?π4)．
當(dāng)α?π4=π2，即α=3π4時(shí)，
S(c,a)+S(c,b)取得最大值 2；
(ii)S(a,b)+S(b,c)+S(c,a)的最大值為3 32．

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